广东省四校2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题

PAGEPAGE7广东省四校2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题卷面总分：150分考试时长：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，且，则 A． B． C． D．2．设复数满意，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，则 A． B． C． D．4．如图，在△中，，点是的中点，设，，则 A． B． C． D．5．已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．6．已知，，则△的面积的最大值为 A． B． C． D．7．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为 A． B． C． D．8．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为 A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．以下是真命题的是 A．已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角 B．已知，，为两两非共线向量，若，则 C．在三角形中，若，则三角形是等腰三角形 D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心10．已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有 A．与和都平行的有且只有一个 B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交 C．与正方体的全部棱所成的角都相等的有且只有四个 D．过点可以作四条直线与正方体的全部棱所成的角都相等11．已知圆锥的母线长为，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则 A．三棱锥体积的最大值为 B．直线与所成角的范围为 C．三角形面积的最大值为 D．三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为12．若，是两个非零向量，且，，则以下可能是与的夹角的是 A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，则．14．已知，是单位向量，且，则．15．已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为的正三角形（如右图所示），则．16．在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知，，．（1）若，，三点共线，求与满意的关系式；（2）若，求点的坐标．18．（12分）如图，已知点，，，在同一平面内，且，，，，．（1）求的长；（2）求△的面积．19．（12分）在锐角△中，角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求的取值范围；（2）若，求的取值范围．（可能会用到的公式：，）20．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面．（1）证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．21．（12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，，的平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．22．（12分）如图直角坐标系内，在半径为的上半圆上，，△是以为直角的等腰直角三角形，设，且.（1）求（用表示）；（2）求点的坐标（用表示）；（3）求△的面积的最大值．参考答案一、选择题12345678CABBDCBA9．BD10．CD11．ABD12．ABC13．14．15．16．17．解：（1），，（2分）因为，，三点共线，所以向量与也共线，所以，所以与满意的关系式为．（4分）（2）由，可得，或，（6分）当时，有，；当时，有，；所以点的坐标为或．（10分）18．解：(1)连，在△中，由余弦定理可得，，所以，所以，所以（6分）（2），，，所以△的面积为．（12分）19．解：（1）由题意及余弦定理可得，（2分）由正弦定理，可得，，，，．（6分）（2）由（1）可得，（9分），，（11分）所以．（12分）20．解：（1）证明:在平面内过作于，（2分）因为平面平面，又平面平面，所以平面，，所以，（4分）过分别作于，易得，即，（5分），且平面，所以平面，，所以，因为，，平面．（7分）（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，由（1）可得，为二面角的平面角，（9分）在△中，为与平面所成的角，由其正弦值为，可得，因为，所以，所以，（11分）所以二面角的余弦值为．（12分）21．解:(1)证明：，所以平面，（2分）因为平面与平面的交线为，且，所以，（4分）因为平面，所以平面．（6分）（2）设与交于，易得为的中点，连，，，，设四棱锥的体积为，所以，（8分）又，，（10分）所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为，所以上面部分的体积为，所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为．（12分）22．（1），，（2分）