内蒙古通辽市蒙古族中学2024-2025学年高二数学下学期第一次月考试题理

PAGE9-内蒙古通辽市蒙古族中学2024-2025学年高二数学下学期第一次月考试题理选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则（A）A．B．C．D．2．若为实数且,则（B）A．B．0C．1D．23．已知，，向量的夹角为，则（D）A．B．C．1D．24．已知p：，q：，则是成立的（A）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（C）A．升B．升C．升D．升6．函数的大致图象为（A）A.B.C.D.7．已知等比数列满意，，则数列前项的和（A）A．B．C．D．8．把函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（C）A．B．C.D．9．已知命题．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(D)A.B．C．D．10．下列大小关系正确的是（C）A.B.C.D.11．若函数，又，且的最小值为，则正数的值为（B）A.B.C.D.12．已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为（B）A.B.C.D.第12题【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再依据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与其次个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令，则有由同样由与第三个半椭圆无交点，由可计算得综上知．完整计算出来太困难，时间不允许，可用解除法.要留意的是：直线与半椭圆相切，切点不在顶点，而在侧面，若直线与其次个半椭圆相切，则应当比小，假如，那么只要比大一点，就有两个交点，明显C、D选项范围小了；再考虑直线和第三个半椭圆相切时，应当比小，例如，那么要比要小，明显选项A范围太大.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量，，则．14．在极坐标系中，点A到点B的距离为．15．点M是椭圆上随意点，则点M到直线的距离的最大值为．16．某煤气站对外输送煤气时，用号个阀门限制，且必需遵守以下操作规则：（i）若开启号，则必需同时开启号并且关闭号；（ii）若开启号或号，则关闭号；（iii）禁止同时关闭号和号，现要开启号，则同时开启的另外个阀门是3号和4号．三、解答题（本小题共6小题，第17题10分，第18—22题各12分，共计70分；解答时请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤。）17．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的一般方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求的值解：（1）曲线化为一般方程为：,----------------得2分由，得，-------------得3分所以直线的直角坐标方程为.------------------得5分（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），---------得6分代入化简得：，----------------得7分设两点所对应的参数分别为，∴，----------------得8分∴-----------得10分18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=,PD⊥平面ABCD,PD=AB=1，点E,F分别为AB和PD中点。（I）求证：直线AF//平面PEC；（Ⅱ）求PE与平面PBC所成角的正弦值。解：（I）证明：取PC的中点为M，连接FM，EM,∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∴直线AF∥平面PEC．----------得6分（Ⅱ）连接DE，∴以D为坐标原点，以DE,DC,DP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系D-xyz，----------------得7分则P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0)，，∴----------------得8分设平面PBC的一个法向量为.∵∴，∴.----得10分设PE与平面PBC所成角为，∴∴PE平面PBC所成角的正弦值为.---------------得12分19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的挚友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户运用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：A组B组合计男性262450女性302050合计5644100（Ⅰ）依据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送养分面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中.临界值表：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3233.8415.0246.635解：（1）K2==≈0.649＜0.708；∴没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；------------得4分（2）由题意得，所抽取的5位女性中，“A组”有5×=3人，“B组”有5×=2人；------------得6分（3）X的全部可能取值为1，2，3，------------得7分则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，全部X的分布列为：X123P------------得10分∴数学期望为EX=1×+2×+3×=．-----------得12分20．在数列中，（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.解：（1）证明：-----------得4分是首项为4，公比为2的等比数列------------得5分------------得7分（2）---------得9分（会分组给2分）------------得12分（两个和，每一个和给2分，都对给3分）21．已知的内角所对应的边分别为，且满意.（1）推断的形态；（2）若，，为角的平分线，求的面积.解：（I）由，得,-----------得2分,.-----------得4分<A+B<,,所以为直角三角形.---得6分(II)由（I）知，又，，,-----------得8分由正弦定理得,，---------得10分-----------得12分另外：可用角平分线定理，22．已知椭圆的离心率为，且过点；若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试推断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．解：（1）解：由题意知，∴，即又∴，∴椭圆的方程为-----------得4分（2）设，则由于以为直径的圆经过坐标原点，所以即-----------得5分由得，，.