2025高考数学一轮复习-第36讲-空间直角坐标系与空间向量【课件】

第36讲

空间直角坐标系与空间向量第七章

立体几何1．已知点M在z轴上，且点M到点A(1，0，2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是

(

)A．(0，0，3) B．(0，0，2)C．(0，0，－2) D．(0，0，－3)激活思维【解析】DC【解析】3．已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x＝ (

)A．－6 B．6C．－4 D．4D【解析】由题知m·n＝3x－2－10＝0，可得x＝4.4．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则3a－b＝_________________，a·b＝_____．(－10，1，16)【解析】因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，所以3a－b＝(－9，6，15)－(1，5，－1)＝(－10，1，16)，a·b＝－3＋10－5＝2.2

10【解析】1．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得_________．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：_____________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________，{a，b，c}叫做空间中的____________．聚焦知识a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc一个基底2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝04．常用结论空间向量的线性运算及共线、共面定理举题说法【解析】1-11-2【解答】1-2【解答】空间向量数量积的运算及应用2【解析】【答案】3变式如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为_______．【解析】0如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(1)求证：OM∥平面BCF；利用空间向量证明平行与垂直问题3由题意知AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．【解答】

【答案】D如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(2)求证：平面MDF⊥平面EFCD.3设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).【解答】

同理可得n2＝(0，1，1).因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD.变式如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.用向量方法证明：(1)EF∥平面ABCD；以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，【解答】变式如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.用向量方法证明：(2)平面PAD⊥平面PDC.【解答】因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.随堂练习【解析】【答案】D如图，连接DC1，CD1，则CD1∩DC1＝M.2．已知点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为

(

)A．－4 B．1C．10 D．11AB【解析】【解析】【答案】A4．如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥BC；【解答】4．如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．(2)求直线AE与DC所成角的余弦值．【解答】配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．已知直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是 (

)A．若l⊥α，则l·m＝0B．若l∥β，则l＝knC．若α⊥β，则m·n＝0D．若α∥β，则m·n＝0C2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，3，2)，c＝(1，t，－1)共面，则实数t的值是(

)A．1 B．－1C．2 D．－2C【解析】因为a，b，c共面，所以存在x，y∈R，使得c＝x

a＋y

b，整理得(1，t，－1)＝(－2x－y，x＋3y，3x＋2y)，解得x＝－1，y＝1，t＝2.3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为(

)【解析】【答案】A【答案】B【解析】【解析】【答案】AC【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，【答案】ACD【解析】【答案】ABD设AC∩BD＝O，A1B2＝A1A2＋AB2－2AA1·ABcos∠A1AB，A1D2＝A1A2＋AD2－2AA1·ADcos∠A1AD，因为AB＝AD，∠A1AB＝∠A1AD，所以A1B＝A1D，故A1O⊥BD，又AC⊥BD，A1O∩AC＝O，A1O，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，由于AA1⊂平面ACC1A1，故BD⊥AA1，由于AA1∥BB1，进而BD⊥BB1，所以平行四边形BDD1B1为矩形，故A正确；三、

解答题8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF.(1)求证：D1C∥平面EMN；【解答】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2a，0，0)，C(0，2b，0)，B(2a，2b，0)，D1(0，0，2c)，A1(2a，0，2c)，C1(0，2b，2c)，B1(2a，2b，2c)，则M(2a，b，0)，N(a，2b，0)，E(2a，0，c)，F(0，b，2c).8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF.(2)求证：E，F，N，M四点共面．【解答】(1)求证：EF∥平面PAD；【解答】设AD＝a，如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.【解答】10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；【解答】【解答】10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；【解答】10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C