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文档简介

第36讲

空间直角坐标系与空间向量第七章

立体几何1.已知点M在z轴上,且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是

(

)A.(0,0,3) B.(0,0,2)C.(0,0,-2) D.(0,0,-3)激活思维【解析】DC【解析】3.已知直线l的一个方向向量为m=(x,2,-5),平面α的一个法向量为n=(3,-1,2),若l∥α,则x= (

)A.-6 B.6C.-4 D.4D【解析】由题知m·n=3x-2-10=0,可得x=4.4.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则3a-b=_________________,a·b=_____.(-10,1,16)【解析】因为a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),所以3a-b=(-9,6,15)-(1,5,-1)=(-10,1,16),a·b=-3+10-5=2.2

10【解析】1.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得_________.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式:_____________,其中x,y∈R,a,b为不共线的向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得_________________,{a,b,c}叫做空间中的____________.聚焦知识a=λbp=xa+ybp=xa+yb+zc一个基底2.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=03.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=04.常用结论空间向量的线性运算及共线、共面定理举题说法【解析】1-11-2【解答】1-2【解答】空间向量数量积的运算及应用2【解析】【答案】3变式如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=2,AA′=3,∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°,则BC′与CA′所成角的余弦值为_______.【解析】0如图,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点.(1)求证:OM∥平面BCF;利用空间向量证明平行与垂直问题3由题意知AB,AD,AE两两垂直,以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.【解答】

【答案】D如图,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点.(2)求证:平面MDF⊥平面EFCD.3设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).【解答】

同理可得n2=(0,1,1).因为n1·n2=0,所以平面MDF⊥平面EFCD.变式如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PB,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.用向量方法证明:(1)EF∥平面ABCD;以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,【解答】变式如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PB,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.用向量方法证明:(2)平面PAD⊥平面PDC.【解答】因为DC⊂平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.随堂练习【解析】【答案】D如图,连接DC1,CD1,则CD1∩DC1=M.2.已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为

(

)A.-4 B.1C.10 D.11AB【解析】【解析】【答案】A4.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(1)求证:AE⊥BC;【解答】4.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.【解答】配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1.已知直线l的方向向量为l,平面α与β的法向量分别为m,n,则下列选项正确的是 (

)A.若l⊥α,则l·m=0B.若l∥β,则l=knC.若α⊥β,则m·n=0D.若α∥β,则m·n=0C2.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,3,2),c=(1,t,-1)共面,则实数t的值是(

)A.1 B.-1C.2 D.-2C【解析】因为a,b,c共面,所以存在x,y∈R,使得c=x

a+y

b,整理得(1,t,-1)=(-2x-y,x+3y,3x+2y),解得x=-1,y=1,t=2.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,设BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,A1A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为(

)【解析】【答案】A【答案】B【解析】【解析】【答案】AC【解析】如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,【答案】ACD【解析】【答案】ABD设AC∩BD=O,A1B2=A1A2+AB2-2AA1·ABcos∠A1AB,A1D2=A1A2+AD2-2AA1·ADcos∠A1AD,因为AB=AD,∠A1AB=∠A1AD,所以A1B=A1D,故A1O⊥BD,又AC⊥BD,A1O∩AC=O,A1O,AC⊂平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,由于AA1⊂平面ACC1A1,故BD⊥AA1,由于AA1∥BB1,进而BD⊥BB1,所以平行四边形BDD1B1为矩形,故A正确;三、

解答题8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别为棱AB,BC,AA1,D1C1的中点,连接CD1,EM,MN,EN,NF,EF.(1)求证:D1C∥平面EMN;【解答】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=2a,DC=2b,DD1=2c,如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2b,0),B(2a,2b,0),D1(0,0,2c),A1(2a,0,2c),C1(0,2b,2c),B1(2a,2b,2c),则M(2a,b,0),N(a,2b,0),E(2a,0,c),F(0,b,2c).8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别为棱AB,BC,AA1,D1C1的中点,连接CD1,EM,MN,EN,NF,EF.(2)求证:E,F,N,M四点共面.【解答】(1)求证:EF∥平面PAD;【解答】设AD=a,如图,取AD的中点O,连接OP,OF.因为PA=PD,所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.又O,F分别为AD,BD的中点,所以OF∥AB.又四边形ABCD是正方形,所以OF⊥AD.(2)求证:平面PAB⊥平面PDC.【解答】10.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求线段AC1的长;【解答】【解答】10.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;【解答】10.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C

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