2025高考数学一轮复习-10.6-事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节事件的相互独立性、条件概率与

全概率公式ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.相互独立事件2.条件概率3.全概率公式×解析(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0；1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√××C解析设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；解析设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.A4.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立B事件甲与事件丙是互斥事件，不是相互独立事件，故A错误；P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.解析设Ai表示第i次打击后该构件没有受损，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率是0.68.5.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为(

) A.0.4

B.0.16

C.0.68 D.0.17CKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：(2)求需要进行第五场比赛的概率；所以需要进行第五场比赛的概率为(3)求丙最终获胜的概率.解丙最终获胜，有两种情况：求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.感悟提升解

记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件.解

设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y，(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解析设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，例2(1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(

)B解析记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，DB解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.0.72解

设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).例3

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，

三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中，

飞机必定被击落，

求飞机被击落的概率.为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互独立，则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，即飞机被击落的概率为0.458.训练3

某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？

解

设A＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”， Bi＝“任取一件这种产品，结果是第i条流水线的产品”(i＝1，2，3，4)，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥，根据题意 P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.0315，故从该厂产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析由题意知，“从甲袋中取出红球”和“乙袋中取出红球”两个事件相互独立，1.甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为(

)C解析根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，DAA5.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(

) A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球” C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”CD解析在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)等于(

)C解析设Ai表示第i次把芝麻投进方空，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15，即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15.7.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是________.0.158.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.解

设“甲在A点投中”为事件A，“甲在B点投中”为事件B.根据题意，ξ的所有可能取值为0，2，3，5，则所以ξ的分布列为甲获胜包括甲得2分、乙得0分，甲得3分、乙得0分或2分，甲得5分、乙得0分或2分或3分，共三种情形，这三种情形之间相互独立，(2)求甲获胜的概率.解

同(1)，乙的总得分η的分布列为解

设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.11.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；解

设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.解

设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.法二因为n(AB)＝12，n(A)＝20，12.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(

)BD因为P(BA1)≠P(B)P(A1)，所以事件B与事件A1不相互独立.解析易知A1，A2，A3是两两互斥的事件，解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5.因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.13.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为