2025高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列【课件】

7.2离散型随机变量及其分布列

第七章

随机变量及其分布知识梳理1.概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有

的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2.表示：用

表示随机变量，如X，Y，Z；用

表示随机变量的取值，如x，y，z.3.特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于

.(2)所有可能取值是

.知识点一随机变量的概念、表示及特征唯一大写英文字母小写英文字母样本点明确的可能取值为

或可以

的随机变量，我们称之为离散型随机变量.知识点二离散型随机变量有限个一一列举1.定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.2.分布列的性质(1)pi≥

，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝

.知识点三离散型随机变量的分布列及其性质01如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为知识点四两点分布X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布.思考随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？答案不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是.1.离散型随机变量的取值是任意的实数.(

)2.随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.(

)3.离散型随机变量是指某一区间内的任意值.(

)4.手机电池的使用寿命X是离散型随机变量.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×题型探究一、随机变量的概念及分类例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由.(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；解某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；解某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；解明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.解由于果汁的容量在498mL～502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量.跟踪训练1

指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；解只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；解从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度；解林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.解实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.例2

一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，二、求离散型随机变量的分布列(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.解用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.故X的分布列为跟踪训练2

袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列.解X的可能取值为1,2,3,4,5，所以X的分布列为三、分布列的性质及应用例3

设随机变量X的分布列P ＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求常数a的值；解由题意，所给分布列为由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，跟踪训练3若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c试求出离散型随机变量X的分布列.解由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，故所求分布列为随堂练习1.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是A.

B.C.

D.12345X012P0.70.150.15X－2024P0.50.20.30X123Plg1lg2lg5√解析C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点.所以C项不是随机变量的分布列.123452.(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是A.到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C.某人在车站等出租车的时间D.某人投篮10次，可能投中的次数√√√123453.设离散型随机变量X的分布列如下：

则p的值为√123454.已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为______.0,1,2得Y∈{0,1,2}.123455.若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝_____.0.8解析因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.12345对点练习1.(多选)下面是离散型随机变量的是A.某机场候机室中一天的游客数量XB.某外卖员一天内收到的点餐次数XC.某水文站观察到一天中长江的最高水位XD.某立交桥一天经过的车辆数X基础巩固12345678910111213141516√√√解析ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量.123456789101112131415162.设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.X01234P0.20.10.10.3m√123456789101112131415163.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是A.第5次击中目标

B.第5次未击中目标C.前4次均未击中目标

D.第4次击中目标√解析ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.123456789101112131415164.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于√解析设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.123456789101112131415165.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则P等于A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55√12345678910111213141516解析根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，123456789101112131415166.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有____个.24解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个).123456789101112131415167.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝____，n＝____.100.1解析由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.123456789101112131415168.把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝____.123456789101112131415169.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；解ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球，2个黑球取得2个白球，1个黑球取得3个白球12345678910111213141516(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分.求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型.解由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值为0,1,2,3，所以η对应的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量.1234567891011121314151610.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列.12345678910111213141516解ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，因此ξ的分布列为12345678910111213141516综合运用11.已知随机变量X的分布列如下：则P(X＝10)等于√1234567891011121314151612.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为A.18 B.21 C.24 D.10√解析ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，12345678910111213141516X－101Pabc13.(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则√√解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.1234567891011121314151614.若随机变量X的分布列如下表所示：

则a2＋b2的最小值为____.123456789101112