2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最大(小)值【课件】

第二章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最大(小)值ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1＜x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有__________；(2)∃x0∈I，使得__________(1)∀x∈I，都有________；(2)∃x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M×××√解析(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是(－∞，＋∞).(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).D2.下列函数中是增函数的为(

)B解析∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.9解得－1≤a＜1.5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是___________.[－1，1)解析由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).(－∞，－1)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解析y＝－sinx和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.故选D.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(

)DA该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1).[0，1)设x1＜x2＜－2，因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.解

设1＜x1＜x2，因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].8解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.1当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).训练1(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为___________.[3，＋∞)作出函数的图象如图所示.∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，角度1比较函数值的大小例2

设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(

)C解析f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.例3(1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(

) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]角度2解函数不等式D当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，(2)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是___________________________.解析令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.又y＝et为增函数，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.例4(1)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，

＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是____________.角度3求参数的取值范围(－∞，1]由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.解析函数f(x)的图象如图所示，(－∞，1]∪[4，＋∞)当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.Df(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1.(0，1)构造函数解决不等式(方程)问题对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的单调性，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.解析由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.例(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(

) A.a>2b

B.a<2b C.a>b2

D.a<b2B解析原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.(2)若2x－2y<3－x－3－y，则(

)A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0AFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升31.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(

)ABA解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(

) A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)A解析令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).4.已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(

) A.(－∞，－1]

B.[－1，＋∞) C.[－1，1)

D.(－3，－1]C解析因为对任意x1≠x2，所以y＝f(x)在R上是增函数，D解析f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；由于0＜a＜1，可得2021＜a＋2021＜2022.又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(a＋2021)＞f(2022)，故C正确，D错误.6.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(

) A.0＜a＜1 B.a＞1 C.f(a＋2021)＞f(2022) D.f(a＋2021)＜f(2022)AC画出函数图象如图所示，7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为_________________________，单调递减区间为_____________________________.(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).解析由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为__________.解析∵f(x)在R上是奇函数，又f(x)在R上是增函数，且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.a＞b＞c∴f(x)的定义域为(－3，1)，则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求方程f(x)＝0的解；经检验，均满足原方程成立.(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.解

由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，解

f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增.∴f(ax)<f(2)，即为f(x)<f(2).又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴x的取值范围是(－∞，2).(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围.解

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，解析对于a，b：a＝4ln3π＝ln34π＝πln81，b＝3ln4π＝ln43π＝πln64，显然a＞b；12.已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是(

) A.c＜b＜a