《通信原理》课件3第2章

第2章确知信号分析2.1引言2.2周期信号的频谱分析2.3非周期信号的频谱分析2.4傅氏变换的基本性质及应用2.5

波形相关

2.6

谱密度和帕塞瓦尔定理2.7信号的带宽习题2.1引言2.1.1常用信号的分类

1.确知信号和随机信号能用确定的数学表示式描述的信号称为确知信号。确知信号的基本特征是：不论过去、现在或未来的任何时间，其取值总是惟一确定的。还有些信号没有确定的数学表达式，当给定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常只能知道其取值的概率，这种信号称为随机信号。通信系统中的信号可分为两大类：确知信号和随机信号。确知信号在系统中主要参与对通信信号(携带信息的信号)的变换，如调制用的载波信号、取样用的取样脉冲信号、同步电路中用的同步码组等。通信系统中的随机信号包括通信信号和噪声。通信信号一定具有某种随机性，因为完全确知的信号不携带信息，所以通信信号是随机信号。另外，通信系统中存在的噪声几乎都是随机信号。

2.周期信号和非周期信号如果一个信号x(t)可描述为：x(t)=x(t+kT0)，其中T0(常数)>0；k为整数，则称x(t)为周期信号，T0为周期。反之，不满足此关系式的信号称为非周期信号。

3.能量信号和功率信号通信信号x(t)的能量(消耗在1Ω电阻上)E为

其平均功率P为

若信号的能量有限(即0<E<∞)，则称该信号为能量信号；若信号的平均功率有限(0<P<∞)，则称该信号为功率信号。能量信号的平均功率(在全时间轴上的平均)等于0，而功率信号的能量等于无穷大。持续时间无限的信号一定是功率信号，而持续时间有限的信号则是能量信号。2.2周期信号的频谱分析

信号的频谱分析在通信原理课程中占有极其重要的地位。频谱分析的目的是找出信号所包含的频率成分以及各个频率成分的幅度及相位的大小。周期信号的频谱分析采用傅氏级数展开法，傅氏级数展开有多种表达形式，其中指数表达式最常用。任何周期为T0周期信号x(t)，只要满足狄里赫利条件，都可以展开为指数形式的傅氏级数，即（2-2-1）其中，（2-2-2）称为傅氏级数的系数，f0=1/T0称为周期信号的基波频率，nf0称为n次谐波频率。当x(t)为实偶信号时，Vn为实偶函数。Vn反映了周期信号中频率为nf0成分的幅度值和相位值，故Vn~f称为周期信号的频谱。周期矩形脉冲信号是通信中最常用到的信号之一，因此我们选择它作为典型信号进行分析，并通过它归纳出周期信号频谱的特点。

例2.2.1一个典型的周期矩形脉冲信号x(t)的波形如图2.2.1所示，脉冲宽度为τ，高度为A，周期为T0。

(1)求此周期矩形脉冲信号的傅氏级数表达式。

(2)画出T0=5τ时的Vn~f频谱图。图2.2.1周期矩形脉冲解

(1)由式(2-2-2)及图2.2.1得代入式(2-2-1)得周期矩形脉冲信号的傅氏级数表达式为式中，称为取样函数或取样信号。（２）将T0=5τ代入Vn，并求出n取不同值时的Vn值，即可画出Vn~f频谱图，如图2.2.2所示。谱线的包络按照Sa(πfτ)的曲线（图中虚线所示）变化，第一个零点出现在 处。图2.2.2周期矩形脉冲频谱图从图2.2.2中可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱有以下几个特点：（1）离散性。频谱由不连续的谱线组成，即是离散谱，它包括基波频率f0和各次谐波频率，谱线间隔为f0。（2）谐波性。谐波与基波是整倍数关系，即各谐波频率等于nf0。（3）各次谐波的振幅变化规律是按取样函数变化的。最大值出现在f=0处，零点在f=±k/τ处（k=1,2,3,…），其中第一个零点对应的频率为f=±1/τ，所以τ的大小决定第一个零点的位置。

例2.2.2周期为T0的冲激脉冲信号如图2.2.3（a）所示。（1）求其傅氏级数展开式。（2）画出Vn-f关系图。图2.2.3周期冲激脉冲信号及其振幅谱解（1）根据式（2-2-2）得周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为（2）Vn-f关系如图2.2.3（b）所示。2.3非周期信号的频谱分析2.3.1傅氏变换与频谱函数对于非周期信号，不能用傅氏级数直接表示，其频谱分析是通过傅氏变换进行的。傅氏变换公式为(2-3-1)(2-3-2)通常把F(f)叫做f(t)的频谱密度函数，简称频谱。它的物理意义是单位频率占有的振幅值。信号f(t)与其频谱F(f)之间存在着一一对应的关系。也就是说，f(t)给定后，F(f)惟一确定；反之亦然。因此，信号既可以用时间函数f(t)来描述，也可以用它的频谱F(f)来描述。傅氏变换提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换关系。习惯上，由f(t)去求F(f)的过程叫做傅氏变换，而由F(f)去求f(t)的过程称为傅氏反(逆)变换。信号f(t)与其频谱F(f)组成傅氏变换对，记作2.3.2通信中常用信号的频谱函数

1.矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反变换利用傅氏变换公式(2-3-1)可求出其频谱函数为图2.3.1矩形脉冲波形及其频谱频谱如图2.3.1所示。其频谱有如下几个主要特点：

(1)频谱连续且无限扩展；

(2)频谱形状为取样函数，频率为零处幅度值最大，等于矩形脉冲的面积；

(3)频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±1，±2，…)处。信号90%以上的能量集中在第一个零点以内，通常将第一个零点的宽度(正频率部分的宽度)定义为信号的带宽，所以矩形脉冲信号的带宽为1/τ；

(4)当矩形脉冲宽度变窄时，带宽增大；反之，当脉冲宽度增大时，信号的带宽变窄。通俗地说，信号在时域中的宽度越窄，则在频域中的宽度就越宽；信号在时域中的宽度越宽，则在频域中的宽度就越窄。经常还会碰到另一种情况，信号的频谱函数具有矩形特性，如图2.3.2所示，那么它的时间波形又是什么样的呢？即当

时，求时间函数f(T)。用傅氏反变换式(2-3-2)可求得时间函数为

矩形频谱及它的时间波形如图2.3.2所示。图2.3.2矩形频谱及其时间波形

2．升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反变换在通信中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为数字脉冲信号。图2.3.5是升余弦脉冲信号的波形及频谱示意图。其数学表达式及频谱函数如下经计算化简得到图2.3.3升余弦脉冲信号的波形及频谱升余弦脉冲信号频谱的特点：

(1)频谱在频率为零处有最大幅度值Aτ/2，此值等于升余弦脉冲的面积；

(2)频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±2,±3,…)处；

(3)频谱第一个零点的位置是2/τ，和矩形脉冲的频谱相比，升余弦脉冲的频谱在第一个零点内集中了更多的能量。如果用第一个零点的频率值作为带宽的话，显然，在τ相同时，升余弦脉冲信号的带宽是矩形脉冲信号带宽的2倍；

(4)和矩形脉冲相比，此频谱幅度随频率衰减的速度更快。当频谱函数为升余弦特性时，即

其傅氏反变换就是此频谱的时间波形，为

经计算得

升余弦频谱函数及其时间波形如图2.3.4所示。图2.3.4升余弦频谱及其时间波形2.3.3周期信号的频谱函数一个周期信号的频谱可以用傅氏级数展开式进行分析，我们知道一个周期信号f(T)可表示为

根据傅氏变换，也可求得周期信号x(t)的频谱函数为(2-3-3)其中T0是周期信号的周期。

例2.3.1求周期冲激脉冲信号的频谱函数(设周期为T0，冲激脉冲的幅度为1)。

解由例题2.2.1得到，周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为。所以其频谱为

周期冲激脉冲信号及其频谱如图2.3.5所示。在数字通信中将用到此信号的频谱函数。图2.3.5周期冲激脉冲信号及其频谱

例2.3.2

求x(T)=Acos2πf0T信号的频谱函数。解Acos2πf0T可变换为

因为

所以余弦信号x(T)=Acos2πf0T的频谱为频谱图如图2.3.6所示。我们知道上述余弦信号只含有f0一个频率成分，幅度为A。而频谱图上除了f0处有谱线外，-f0处也有谱线。这并不代表余弦信号有两个频率成分，这只是一种数学上的表示，这种频谱称为双边谱。在这种频谱中，每个频率成分的幅度分成两半，正负频率上各画一根谱线且完全对称，幅度都是原幅度的一半。如此例中，将f0成分的幅度A分成两个A/2，±f0频率处各画一根谱线，幅度都为A/2。图2.3.6频谱2.4傅氏变换的基本性质及应用2.4.1频率卷积定理及其应用

1．频率卷积定理若x1(T)的频谱函数为X1(f)，x2(T)的频谱函数为X2(f)，则x1(T)、x2(T)乘积的频谱为(2-4-1)式(2-4-1)称为频率卷积定理。由此定理可知：两个时域信号乘积的频谱等于两个时域信号频谱的卷积。

2．频率卷积定理的应用频率卷积定理在本课程中主要用在调制和解调的频谱变换中。调制器中经常遇到图2.4.1所示的相乘器，输入调制信号x(t)，载波为c(t)，输出为xc(t)=x(t)·c(t)。求xc(t)的频谱时就可用频率卷积定理。图2.4.1相乘器例如，当载波c(t)=cos2πf0t时，相乘器输出信号xc(t)=x(t)·cos2πf0t。设信号x(t)的频谱X(f)如图2.4.2(a)所示，则xc(t)=x(t)·cos2πf0t的频谱为

由前面的讨论得图2.4.2载波c(t)=cos2πf0t时的频谱频谱图如图2.4.2(b)所示。所以

从上述求得的频谱函数表达式可以看出，xc(T)的频谱Xc(f)为x(T)的频谱X(f)在频率轴上平移至±f0处，幅度减至X(f)幅度的1/2。xc(T)的频谱图如图2.4.2(c)所示。这是连续载波调制的频谱变换关系，是一个极为重要的关系式，它说明了信号在时域乘以一个余弦信号，即可实现信号频谱在频域的搬移。2.4.2时域卷积定理及其应用

1.时域卷积定理若信号x1(t)的频谱函数为X1(f)，信号x2(t)的频谱函数为X2(f)，则X1(f)·X2(f)的傅氏反变换为x1(T)*x2(T)。即(2-4-2)式(2-4-2)称为时域卷积定理。它的含义是：两个频谱函数乘积所对应的时间函数等于两个频谱函数各自对应的时间函数的卷积。

2.时域卷积定理的应用时域卷积定理在通信中常应用于信号通过线性系统，如图2.4.3所示。输入信号x(t)的频谱函数为X(f)，线性系统的传输特性(函数)为H(f)，冲激响应为h(t)。此时可用时间卷积定理来求系统的输出信号r(t)。系统输出信号的频谱R(f)等于系统输入信号的频谱X(f)乘以系统的传输特性H(f)，即

R(f)=X(f)·H(f)图2.4.3信号通过线性系统它的傅氏反变换就是系统的输出信号r(t)，也等于输入信号x(t)与系统冲激响应h(t)的卷积。因此有

当输入信号为冲激函数，即x(T)=δ(T)时，X(f)=1，输出r(T)为2.5波形相关2.5.1相关函数相关函数有互相关和自相关两类。一个函数x(t)可求其自相关函数x(t)。其互相关函数定义为

1.互相关函数的定义对于两个能量信号f1(T)和f2(T)，其互相关函数定义为

(2-5-1)

其中x(t+τ)是x(t)向左位移τ后的信号当两个信号的形式完全相同，即x1(t)=x2(t)=x(t)时，互相关函数就变成了自相关函数，记作R(τ)。故有(2-5-2)

例2.5.1设x(t)是幅度为A、宽度为τ0的矩形脉冲信号，如图2.5.1（a）所示，求其自相关函数R(τ)，并画出其图形。

其中x(t+τ)是x(t)向左位移τ后的信号，当τ＝0时，x(t+τ)与x(t)在时间上完全重叠，自相关函数值达最大值A2τ0，当τ=±τ0时，x(t+τ)与x(t)在时间上不再重叠，故自相关函数值为０。图2.5.1矩形脉冲及其自相关函数

2.相关函数的特性

(1)若对所有τ，信号f1(T)和f2(T)的互相关函数R12(τ)=0，则说明两信号波形间差别始终很大或极不相似，这种信号称为不相关信号。互不相关的信号很多，如一个直流信号和一个正弦波(或余弦波)信号之间，它们的互相关函数R12(τ)永远为0，它们是互不相关的。

(2)互相关函数R12(τ)=R21(-τ)。以能量信号为例证明如下：

令T′=T+τ，代入得

(3)自相关函数R(τ)=R(-τ)是偶函数。证明：由互相关函数R12(τ)=R21(-τ)当f1(T)=f2(T)时R12(τ)=R(τ),R21(τ)=R(-τ)所以R(τ)=R(-τ)

(4)自相关函数R(0)的物理意义是：对于能量信号

(2-5-4)

(5)R(0)≥R(τ)。从物理意义上讲，R(0)是完全相同的两个波形在时间上重合在一起时得到的相关函数，因此一定是最大的。数学上也完全可以证明这一点。

2.相关系数设信号f1(T)和f2(T)，则互相关系数定义为

(2-5-5)相关系数与τ无关。互相关系数的值在-1到+1之间变化，即-1≤ρ12≤+1。当x1(t)=x2(t)时，ρ12=+1，这就是自相关系数；当x1(t)=-x2(t)时，ρ12=-1；当x1(t)与x2(t)不相关时，ρ12=0。图2.5.2f1(t)与f2(t)的信号波形解例2.5.2

两信号如图2.5.2所示，求ρ12。2.6谱密度和帕塞瓦尔定理2.6.1能量信号的帕塞瓦尔定理和能量谱密度能量信号x(t)消耗在1Ω电阻上的能量定义为(2-6-1)有了频谱概念以后，不难证明，若F［x(t)］=X(f)，则有如下关系式(2-6-1)式(2-6-1)称为帕塞瓦尔能量定理。帕塞瓦尔定理告诉我们，一个信号的能量可以用时间函数来求得，也可以用信号的频谱函数来求，两种方法求得能量的结果是相同的。具体求解时用什么方法，视情况而定。帕塞瓦尔定理的物理意义是，信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量之和。信号的能量是由很多频率成分提供的，那么单位频率的能量是多大，又是如何分布的呢？我们称单位频率的能量为能量谱密度，用G(f)表示，单位为J/Hz(焦耳/赫兹)，对能量谱密度求积分可得总能量，所以有

(2-6-2)比较式(2-6-1)和(2-6-2)，得到能量谱密度G(f)的表达式为G(f)=|X(f)|2

(2-6-3)对于能量信号，其能量谱密度等于信号振幅谱的平方，与相位谱无关。不同的信号，不管其相位谱如何，只要具有相同的振幅谱，就具有相同的能量谱。这说明G(f)与x(t)不是一一对应的关系。

例2.6.1

求信号的能量。

解由帕塞瓦尔定理可知，可用时间函数来求一个信号的能量，也可以用频谱来求。针对此信号，显然用其频谱求能量更为简便。又知x(t)的频谱是个矩形谱，即因此，此信号的能量为2.6.2功率信号和功率谱密度周期信号是一种典型的功率信号。设周期为T0的周期信号f(t)，其瞬时功率等于x2(t)，在周期T0内消耗在1Ω电阻上的平均功率

(2-6-4)将x(t)的傅氏级数展开式代入式（2-6-4），并经数学推导得(2-6-5)单位频率的功率称为功率谱密度，用P(f)表示，单位为W/Hz(瓦/赫兹)。对功率谱密度求积分可得信号的平均功率。所以有

对于周期信号，对比式(2-6-5)和式(2-6-6)有(2-6-7)利用，有(2-6-6)所以有

(2-6-8)对比式(2-7-8)和式(2-7-9)得(2-6-9)上式表明，周期信号的功率谱由一系列的位于nf0处的冲激组成，其冲激强度为|Vn|2。图2.6.1功率谱示意图关于信号的能量谱密度和功率谱密度还有一个著名的维纳－辛钦定理，此定理告诉我们，能量谱密度G(f)（或功率谱密度P(f)）与信号x(t)的自相关函数R(τ)是一对傅氏变换，即

所以能量信号的能量谱G(f)也可通过自相关函数的傅氏变换求得，功率信号的功率谱P(f)也可通过其自相关函数的傅氏变换求得。对能量信号对功率信号2.7信号的带宽带宽这个名称在通信系统中经常出现，而且常常代表不同的含义，因此在这里先对带宽这个名称作一些说明。从通信系统的信号传输过程出发，带宽有两种含义：

(1)信号的带宽，是由信号的功率谱和能量谱在频域的分布规律决定的。

(2)信道的带宽，是由传输电路的传输特性决定的。这两种带宽的单位都是Hz(赫兹)，都用B表示。本节我们主要讨论信号的带宽。从理论上讲，除了极个别信号外，信号的频谱分布都是无穷的，但绝大部分实用信号的能量(或功率)主要集中在一个不太宽的频率范围内，这个不太宽的频率范围就称为信号的带宽。信号带宽常用的定义方式有四种：

(1)3分贝带宽(半功率带宽)。指信号的能量谱密度G(f)(或功率谱密度P(f))下降到峰值的一半，或比峰值下降3dB的两频率点之间的距离。这种定义方式适合于能量谱或功率谱具有单峰特性的信号。如图2.7.1所示。求3分贝带宽的方法如下：以能量谱为例，设有能量谱密度函数G(f)，令

求得f1(f1即为3分贝带宽)，记为B=f1。图2.7.13分贝带宽

(2)等效矩形定义带宽。以能量谱为例，用一个形状为矩形的能量谱代替信号的能量谱，矩形能量谱具有的能量(即矩形的面积)与信号的能量相等，矩形能量谱的幅度等于信号能量谱幅度的最大值，则矩形能量谱的宽度即定义为信号的带宽。如图2.7.2所示。等效矩形带宽的求法如下：矩形谱信号所具有的能量等于矩形的面积，为E1=2f2G(0)具有能量谱为G(f)的信号其能量为G(f)曲线下的面积，为图2.7.2等效矩形带宽当两个能量相等时，有等式由此可解出

等效矩形带宽B=f2。

(3)第一零点位置定义带宽。在数字通信中最常用的带宽定义是主瓣宽度(第一个零点位置定义带宽)，在该段频谱中包含了信号90%以上的能量或功率。如宽度为τ的矩形脉冲，其频谱的第一个零点为1/τ，在通信中常用1/τ作为矩形脉冲信号的带宽。但是这个定义不能使用于没有明显主瓣的信号。

(4)百分比定义带宽。在这个带宽内，根据信号的能量或功率占信号总能量或功率的某一百分比而定义的带宽。带宽的求法如下

给定百分比γ，即可求出带宽B。γ可取90%、95%或99%等。注意，对于同一信号，不同的带宽定义，可能得到不同的信