《通信原理》课件1第二章

第2章确知信号与随机信号分析2.1确知信号分析2.2随机信号分析2.3确定性信号与随机信号通过线性系统2.4窄带随机过程概述2.5余弦波加窄带高斯随机过程

2.1确知信号分析

2.1.1周期信号傅里叶级数展开式与非周期信号的傅里叶变换

1)周期信号的傅里叶级数展开式

(1)根据信号与系统原理，周期信号傅里叶级数展开式的三角形式为(2-1)其中，ω0=2π/T0为基波频率，T0为信号的周期，nω0为n次谐波频率。

(2)利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的傅里叶级数展开式变换成指数形式的级数展开式(2-2)

周期信号频谱Fn是离散谱，如图2-1所示。图2-1周期信号的离散谱

2)非周期信号的傅里叶变换

非周期信号的傅里叶变换为(2-3)通常将(2-3)式简记为即时域信号f(t)与频域信号F(jω)组成傅里叶变换对。(2-4)2.1.2常用信号的频谱

1．单位冲激函数δ(t)的频谱

单位冲激函数δ(t)的频谱为

(2-5)

上式的变换结果如图2-2所示。

物理意义:变化快的信号，如很窄的脉冲等，可近似用数学模型δ(t)来表示，上式说明这类随时间变化很快的信号的频谱很宽。图2-2单位冲激函数δ(t)的频谱

2．直流信号f(t)=A的频谱

直流信号f(t)=A

的频谱为

(2-6)

上式的变换结果如图2-3所示。

物理意义：直流信号对应频域中的0频率分量，随时间变化很慢的信号，它的频带宽度(带宽)很窄。图2-3直流信号f(t)=A的频谱

3．矩形脉冲的傅里叶变换及其频谱

矩形脉冲的傅里叶变换为(2-7)式中，F(jω)的零点满足如下关系：从而得：(2-7)式的变换结果如图2-4所示。图2-4矩形脉冲信号的频谱由图2-4可以看出，信号的大部分能量集中在第一个主瓣内，因此，得此信号的带宽为。

主要结论：矩形脉冲信号的带宽Δf与信号的宽度τ成反比。

利用图2-4所示矩形脉冲信号的频谱，可对数字信号的带宽进行估算，从而得出数字信号的带宽与码元脉冲的宽度成反比的结论，如图2-5所示(这一结论很重要)。图2-5数字信号带宽与码元脉冲宽度成反比

4．正弦和余弦信号的傅里叶变换

正弦和余弦信号的傅里叶变换为(2-8)式(2-8)变换的结果如图2-6所示。注意到正弦和余弦信号是单频，因此，变换后的结果为谱线。图2-6正弦和余弦信号的频谱2.1.3傅里叶变换的几个主要性质

1．线性叠加性质

若

，则(2-9)

2．对称性

若

，则或(2-10)

【例2.1】已知低通滤波器的截止频率为ω0，试利用对称性求它对应的时域信号。

解利用对称性求低通滤波器对应时域信号的过程如图2-7所示。图2-7利用对称性求低通滤波器对应时域信号的过程

3．时移特性

若，则(2-11)物理意义：时域中的时移，在频域中反映为在原频谱函数F(jω)基础上附加一个相移函数。

4．频移特性

若

，则

物理意义：时域中的相移，对应频谱函数在频域中的频移。

【例2.2】已知带通滤波器的频率特性如图2-8所示，利用频移特性和例2.1的结果，试求带通滤波器所对应的时域信号。（2-12）图2-8带通滤波器的频率特性

解根据例2.1的结果，已知低通滤波器对应的时域信号为在此基础上，利用频移特性，得带通滤波器对应的时域信号为由欧拉公式，得，因此

5．调制定理

若，则(2-13)式(2-13)变换的结果如图2-9所示。式(2-13)的物理意义：信号f(t)与载波相乘的结果使得原信号的频谱产生频谱搬移，搬移位置的大小为载波的频率。图2-9利用调制定理进行频谱搬移

6．时域卷积

若，则(2-14)

物理意义：时域卷积对应频域相乘。

7．频域卷积若，则(2-15)

物理意义：时域相乘对应频域卷积。2.1.4信号的分类

1．确知信号与随机信号

确知信号：可用明确的数学式子表示，且信号的取值确定的信号。

随机信号：当给定一个时间值时，取值不确定，只知其取某一数值的概率的信号。

2．周期信号与非周期信号

若满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期；若不满足上述关系，则称为非周期信号。

3．能量信号与功率信号

设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电阻上的功率为p(t)=f2(t)。若满足(2-16)则称f(t)为能量信号。而对于功率来说，则应满足：(2-17)

上面两式中，E代表信号的能量，S代表信号的功率。

4．能量信号与功率信号的有关结论

(1)周期信号必定是功率信号，不可能是能量信号，因为其能量必为无穷大。

(2)对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能量信号。如果其能量为有限值，则为能量信号，如果其能量为无穷大，功率为有限值，则为功率信号。2.1.5Parseval定理

Parseval定理的物理意义是能量守恒，时域能量等于频域能量，不会因变换而发生改变。

1．能量信号的Parseval定理

对于能量信号f(t)，其频谱为F(jω)，则(2-18)

2．周期信号的Parseval定理对于周期信号f(t)，其离散谱为Fn，则(2-19)式中，ω0=2π/T0，T0为周期。2.1.6能量谱密度G(ω)与功率谱密度P(ω)

能量谱密度G(ω)(或G(jω))定义为单位频率上信号的能量，即(2-20)功率谱密度P(ω)(或P(jω))定义为单位频率上信号的功率，即(2-21)

注意，由于周期信号的谱线Fn为离散谱，而周期信号为功率信号，在这种情况下，就只能用功率，而不能用能量(因为此时能量为无穷大)。因此，式(2-21)中就只能用功率谱密度P(ω)和功率S，而不用能量谱密度G(ω)和能量E。显然，能量谱密度G(ω)与连续频谱F(jω)的关系为

G(ω)=|F(jω)|2

(2-22)

还可证明，功率谱密度P(ω)与离散频谱Fn2的关系为(2-23)(2-23)式实际上只给出了周期信号(与离散谱Fn相联系)功率谱密度P(ω)与周期信号频谱Fn之间的关系，下面进一步给出非周期信号功率谱密度P(ω)与非周期信号频谱之间的关系：(2-24)式中，FT(ω)为fT(t)的频谱，如图2-10所示。图2-10FT(ω)与fT(t)的图示2.1.7互相关函数与自相关函数

1．互相关函数的定义

设有信号f1(t)和f2(t)，则互相关函数R12(τ)的定义为：

若信号为周期功率信号，且周期为T0，则(2-25)

若信号为非周期功率信号，则(2-26)若信号为能量信号，则(2-27)

2．自相关函数的定义

若f1(t)=f2(t)=f(t)，(2-25)式、(2-26)式和(2-27)式即为自相关函数的定义，记为R(τ)。

3．互相关函数的性质

互相关函数的性质如下：

(1)若对于所有的τ，都有R12(τ)=0，则称f1(t)和f2(t)不相关。

(2)若对于所有的τ，都有R12(τ)=1，则称f1(t)和f2(t)完全相关。

(3)互相关函数R12(τ)满足：

R12(τ)=R21(－τ)。

4．自相关函数的性质

自相关函数的性质如下：

(1)对于功率信号，；对于能量信号，。

(2)对于所有的τ，都有R(0)≥R(τ)。

(3)R(τ)是偶函数，满足R(τ)=R(－τ)。2.1.8自相关函数与功率谱和能量谱之间的关系

对于能量信号，满足R(τ)

G(ω)，即能量信号的自相关函数R(τ)与能量谱G(ω)是一对傅里叶变换。对于功率信号，满足R(τ)

P(ω)，即功率信号的自相关函数R(τ)与功率谱P(ω)是一对傅里叶变换。

2.2随机信号分析

2.2.1随机事件与概率

把某次试验中可能发生和可能不发生的事件称为随机事件A。如正弦波振荡器每次开机起振的初相，二进制数字信号序列的某一位取值等都属于随机事件。该事件出现的概率用P(A)表示，并且有0≤P(A)≤1。若P(A)=1，则事件为必然事件；若P(A)=0，则事件为不可能事件。2.2.2条件概率与统计独立

在事件A发生的条件下，事件B发生的概率用P(B/A)表示，称为条件概率，按定义有(2-28)在一般情况下，P(B/A)≠P(B)，只有当A，B为统计独立时，P(B/A)=P(B)才能成立，并且有P(AB)=P(A)P(B)。2.2.3概率的基本定理

1．事件之和的概率

事件之和的概率定义为

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)(2-29)

当A与B互不相容时，P(AB)=P(φ)=0，P(A+B)=P(A)+P(B)。

2．事件之积的概率

事件之积的概率定义为

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)(2-30)

当A与B相互独立时，P(B/A)=P(B)，P(A/B)=P(A)，P(AB)=P(A)P(B)成立。

3．全概率公式

如果事件组A1，A2，…，An为互斥完备事件组，即满足A1，A2，…，An两两互斥，并且是必然事件，则对于任一事件B，都有(2-31)(2-31)式称为全概率公式。

4．贝叶斯公式

根据全概率公式(2-31)，如果知道事件B已发生，则各个互不相容事件之一的Ai发生的概率为(2-32)(2-32)式称为贝叶斯公式。2.2.4随机变量与概率分布

1．随机变量

某随机实验有许多可能的结果，为进行定量描述，需引入一个变量X，它将随机地取某些数值，而对应每一可能的数值，有一个概率，这一变量称为随机变量。

2．随机分布函数F(x)和概率密度函数f(x)

随机分布函数F(x)和概率密度函数f(x)是一种统计描述。

设X是一个随机变量，x为任意实数，则函数F(x)=P{X≤x}称为随机变量X的分布函数，并且有：

F(－∞)=P{X≤－∞}=0，F(+∞)=P{X≤+∞}=1

若x1≤x2，则有F(x1)≤F(x2)，即F(x)为单调不减函数。若存在一个非负函数f(x)，使下式成立（2-33）则称f(x)为X的概率密度函数。它有如下性质：

(1)f(x)≥0；

(2)；

(3)

。

3．两个常用的概率分布函数

(1)高斯分布(正态分布)函数。其概率密度函数f(x)为(2-34)式中，a为数学期望，σ2为方差，如图2-11所示。

(2)瑞利分布函数。其概率密度函数为(2-35)如图2-12所示。图2-11正态分布函数图2-12瑞利分布函数2.2.5随机变量的数字特征

随机变量有两种描述方法：一是用分布函数和概率密度函数；二是用数字特征。例如，对于高斯型随机变量，可用概率密度函数

f(x)描述，也可用数字特征来描述，即用

a

和σ来描述。

用概率分布函数f(x)描述随机变量往往会非常复杂，因为有时f(x)的解析式子得不到。而用它的数字特征来描述则显得简单明了。

1．均值

均值(又称数学期望)反映了随机变量取值的集中位置。它是一种统计平均的结果。其数学表达式可分为以下两种情况。

(1)对于离散情况，设随机变量为X，它的随机取值为x1，x2，…，xn，出现的概率为P(xi)，则均值为(2-36)

(2)对于离散情况为求和，对于连续情况则为积分，即(2-37)

2．均值的常用性质

均值的常用性质介绍如下：

(1)常数C的均值仍为C，即E［C］=C；

(2)设有两个随机变量X和Y，则E［X+Y］=E［X］+E［Y］；

(3)若随机变量X和Y相互独立，则E［XY］=E［X］·E［Y］；

(4)E［X+C］=E［X］+C；

(5)E［C·X］=C·E［X］。

3．方差

方差反映了随机变量取值相对于数学期望的离散程度，其数学定义为

D［X］=E［(X－E［X］)2］(2-38)

离散情况为求和，即连续情况则为积分，即

4．方差的主要性质

方差的主要性质介绍如下：

(1)常数C的方差为0，即D［C］=0;

(2)设有两个独立的随机变量X和Y，则D［X+Y］=D［X］+D［Y］；

(3)D［X+C］=E［X］；

(4)D［C·X］=C2·D［X］。2.2.6随机过程及其统计描述

1．随机过程的基本概念

自然界中事物的变化过程分为两类：一是确定性变化过程，用确定性的时间函数来描述；二是随机过程，它的每次出现是用一个样本函数(或称为一个实现)来描述的。随机过程的基本特征是：

(1)它是时间的函数，但在任一时刻上观察到的值是不确定的，是一个随机变量；

(2)每一个实现(即一个样本函数)都是一个确定的时间函数，但究竟出现哪一个可能的实现，事先无法确定。

例如，设有n台完全相同的通信机同时记录它们输出的噪声波形。结果表明，得到的n个记录波形并不因这n台通信机完全相同而输出相同的波形，而是输出n个可能的实现。它们各不相同，每次记录是一个实现，无数个记录构成的总体是一个随机过程，如图2-13所示。图2-13随机过程图示

2．随机过程的统计描述

随机过程的统计描述为分布函数和概率密度函数。

设ξ(t)为一随机过程，则在任一时刻t1，ξ(t1)为随机变量。显然，与前面一样，这个随机变量的统计特性可用分布函数或概率密度函数来描述，我们称

F1(x1；t1)=P{ξ(t1)≤x1}(2-39)

为随机过程ξ(t)的一维分布函数，而(2-40)为随机过程ξ(t)的一维概率密度函数。为了描述得更为充分，选取两个不同时刻t1和t2，则称

F1(x1，x2；t1，t2)=P{ξ(t1)≤x1，ξ(t2)≤x2}(2-41)为随机过程ξ(t)的二维分布函数，而(2-42)为随机过程ξ(t)的二维概率密度函数。在一般情况下，选取n个不同时刻点t1，t2，…，tn，则称

Fn(x1，x2，…，xn；t1，t2，…，tn)=P{ξ(t1)≤x1，

ξ(t2)≤x2，…，ξ(tn)≤xn}

(2-43)为随机过程ξ(t)的n维分布函数，而(2-44)为随机过程ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，描述就越充分。2.2.7随机过程的数字特征

与随机变量一样，随机过程可用概率分布函数和概率密度函数来描述，即统计描述。然而统计描述往往较复杂，因此，我们还用数字特征来进行描述。下面介绍其中的3个数字特征。

1．随机过程ξ(t)的数学期望

随机过程ξ(t)的数学期望定义为(2-45)

2．随机过程ξ(t)的方差

随机过程ξ(t)的方差定义为(2-46)随机变量的数学期望与方差是常量，而随机过程的数学期望与方差一般都是t的函数。

3．随机过程ξ(t)的自相关函数随机过程ξ(t)的自相关函数定义为(2-47)2.2.8平稳随机过程和各态历经性

1．平稳随机过程的概念

若对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足

fn(x1,…,xn；t1,…,tn)=fn(x1,…,xn;t1+τ,…,tn+τ)(2-48)

则称ξ(t)为平稳随机过程。由此可知，平稳随机过程的特点是统计特性不会随时间的推移而变。

2．平稳随机过程的数字特征

(1)平稳随机过程ξ(t)的数学期望为

E［ξ(t)］=a(2-49)

(2)平稳随机过程ξ(t)的方差为

D［ξ(t)］=E{［ξ(t)－a］2}=σ2(2-50)

(3)平稳随机过程ξ(t)的自相关函数为

R(t，t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］=R(τ)(2-51)

平稳随机过程的数学期望与方差都是与时间无关的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数。

【例2.3】分析随相信号ξ(t)=Acos(ω0t+φ)的平稳性。其中A和ω０为常数，随机相位φ是在［－π，+π］上均匀分布的随机变量。

解首先分析均值是否与时间有关。φ的概率密度函数为f(θ)=1/2π，则由于cosθ和sinθ均为2π的周期函数，在一个周期内的积分为0，故a(t)=0，由此证明了均值是一个与时间无关的常数。其次分析相关函数是否与时间有关。在下面的推导中，要用到三角公式cosxcosy=［cos(x+y)+cos(x－y)］/2。即因此，自相关函数与时间无关。最后，由平稳随机过程的定义知，该随相信号是平稳的。

3．各态历经的基本概念

平稳随机过程的一个非常有用的特性是各态历经性，又称遍历性。各态历经性可以理解为随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各个可能状态，因此，由随机过程的任何一个样本函数就能得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。

根据上述特点，随机过程的数字特征完全可以由随机过程中的任一实现(样本函数)的数字特征来决定，即随机过程的数学期望(统计平均)可由任一实现的时间平均代替，随机过程的方差和自相关函数也可由时间平均代替统计平均。设x(t)为平稳随机过程的任一实现，它是时间的确定性函数，其均值、方差和自相关函数的时间平均值分别为(2-52)若满足时间平均与统计平均相等，有(2-53)则该平稳过程具有利用平稳随机过程的遍历性，可简化数字特性的计算，对于我们研究的通信系统来说，它是一个信息传输系统，因此，通信过程是随机过程，并且可视为平稳的随机过程，具有各态历经性。

【例2.4】分析随相信号ξ(t)=Acos(ω0t+φ)的各态历经性。其中A和ω0为常数，随机相位φ是在［－π，+π］上均匀分布的随机变量。

解设任一实现为x(t)=Acos(ω0t+θ)，注意此处θ为某个常量。

(1)故

。

(2)

(3)由，可得。故，随相信号ξ(t)=Acos(ω0t+φ)具有各态历经性。

4．平稳随机过程相关函数的性质及其与功率的关系

平稳随机过程相关函数有如下性质：

性质一：R(0)=E［ξ2(t)］=σ2+a2。

物理意义：R(0)为信号总的平均功率，σ2为信号的交流平均功率，a2为信号的直流功率。

性质二：平稳随机过程的自相关函数R(τ)是偶函数，即R(τ)=R(－τ)。

性质三：R(0)≥|R(τ)|。

性质四：R(∞)=a2，R(0)－R(∞)=σ2。

性质五：相关函数R(τ)与功率谱P(ω)是一对傅里叶变换，即R(τ)P(ω)。这一性质很重要，例如，在研究白噪声的问题中要用到它。

【例2.5】利用平稳随机过程相关函数的性质，求随相信号ξ(t)=Acos(ω0t+φ)的功率谱。其中A和ω0为常数，随机相位φ是在［－π，+π］上均匀分布的随机变量。

解由例2.3知，该随相信号的自相关函数为

，由

，以及调制定理

，可求得其功率谱的表达式，具体推导过程如下。因为故

2.3确定性信号与随机信号通过线性系统

回顾信号与系统中的确定性信号通过线性系统的情况，如图2-14所示。

随机信号通过线性系统时，输出与输入仍为卷积关系，如图2-15所示。

图2-15中，ξ(t)为输入平稳随机过程，η(t)为输出平稳随机过程。对于随机信号通过线性系统，有如下结论：

(1)输出随机过程均值与输入随机过程均值之间的关系为E［η(t)］=H(0)E［ξ(t)］；

(2)输出随机过程功率谱密度与输入随机过程功率谱密度之间的关系为Pη(ω)=|H(ω)|2Pξ(ω)。

这两个性质在随机信号分析中有重要的应用。图2-14确定性信号通过线性系统图2-15随机信号通过线性系统

【例2.6】已知高斯白噪声的双边功率谱密度为Pξ(ω)=n0/2，试求在通过如图2-16所示的低通滤波器后，输出信号的双边功率谱密度Pη(ω)、相关函数Rη(τ)和噪声功率N。

解低通滤波器的传输函数为(1)图2-16高斯白噪声通过低通滤波器

(2)由，得(3)

2.4窄带随机过程概述

2.4.1窄带的概念

当信号的带宽远小于载波频率时，则该信号称为窄带信号，如通信系统中的调幅信号和调频信号。正弦信号或余弦信号为单频信号(称之为谱线)，是最窄的一种窄带信号，因为实际上它的带宽等于0，而扩频信号则为宽带信号。这些概念对于理解窄带随机过程是很重要的。2.4.2窄带随机过程

高斯白噪声是一种典型的随机过程，其概率密度函数为正态分布(又称高斯分布)，其功率谱在整个频率范围内为常数，故称之为“白”。当它通过一个传输系数为A的窄带滤波器后，就形成了一种窄带高斯噪声，它是一种典型的窄带随机过程，如图2-17所示。图中ni(t)为输入高斯白噪声，n0(t)为输出窄带高斯噪声，NBPF为窄带滤波器，根据前面随机信号通过线性系统的结论，可得输出窄带高斯噪声的功率谱，如图2-18所示，窄带随机过程的时域波形如图2-19所示。图2-17高斯白噪声通过窄