《用空间向量研究夹角及综合问题》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《用空间向量研究夹角及综合问题》同步学案情境导入日常生活中,很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象,例如如图(1)所示,握笔写字时,如果把笔抽象成直线,把纸抽象成平面,则直线与平面呈一定角度;如图(2)所示,地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直,并且与水平平面呈一定角度.那么怎样来求直线与平面所成的角的大小呢?自主学习自学导引角的分类向量的求法异面直线所成的角设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin两个平面的夹角若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ答案:||cos预习测评1.若直线l的方向向量与平面a的法向量的夹角为120∘,则直线l与平面α所成的角的大小为A.120B.60C.30D.60∘或2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A.0B.3C.-D.703.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CA.-B.10C.-D.154.平面α的法向量为u=10-1,平面β的法向量为v=0-11,5.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是BC的中点,则直线A'C与DE所成角的余弦值为_______.答案1.C解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60∘,所以直线l与平面α所成的角的大小为2.A解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,3),B220,A200,C020,所以BD1=(-2,-2,3),3.B解析:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,则D000,B22设平面B1BD的法向量为因为n⟂BD,所以x=-y,令y=1,则n=所以cosn设直线BE与平面B1BD所成的角为则sinθ=|4.π3解析:因为u=10-1,v=0-15.15解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A'(0,0,-a),DE新知探究探究点1异面直线所成的角知识详解1.设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u2.利用空间向量求两条异面直线所成的角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需通过相应的向量运算即可,但应注意:用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的,而两条异面直线所成的角θ的取值范围是0π2,两个方向向量的夹角uv的取值范围是0π典例探究例1如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.当θ=π3时,求异面直线AC与VD解析:先根据题目条件写出直线AC与VD的方向向量的坐标,再利用公式求出两方向向量夹角的余弦值,从而求出异面直线所成角的余弦值.答案:因为AC=BC=2,D是AB的中点,所以C0当θ=π3时,在RtΔVCD中,CD=2,所以AC=所以cosACVD=AC⋅VD|AC变式训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E1,答案:不妨设正方体的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则B1则BE1=所以BE所以cosB因此,BE1与DF探究点2直线与平面所成的角知识详解设直线AB与平面α所成的角θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|注意:(1)求直线与平面所成的角可转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题,需要注意直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能为钝角,此时直线与平面所成的角等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角减去π2(2)直线与平面所成角的范围为0π2,而向量之间的夹角的范围为0π典例探究例2正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a解析:利用正三棱柱的性质,建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,利用平面ABB1答案:建立如图所示的空间直角坐标系,则A0所以AA设侧面ABB1A则n⋅AB=0,所以ax=0,且2ay=0,所以x=y=0故n=又因为AC所以cos所以AC1与侧面ABB变式训练2已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面边长相等,答案:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设底面边长为1,则A1001,B101因为B1D⟂平面所以B1D=-又因为AB所以cosA所以AB1与侧面ACC探究点3平面与平面所成的角知识详解1.如图,若PA⟂α于点A,PB⟂β于点B,平面PAB交l于E,则∠AEB为二面角α-l-β的平面角,∠AEB+∠APB=180若n1,n2分别为面α,β的法向量,则二面角的平面角(1)当法向量n1与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于n1,(2)当法向量n1,n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于n2.平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90∘的二面角称为平面α与平面β的夹角3.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为典例探究例3如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,AD=AA1解析:建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设这个四棱柱各棱长均为2,则D000,D100显然,DD1就是平面ABCD的一个法向量.设平面BFD1的法向量为u=x所以-2x0+令x0=1,可得z0=2,设平面BFD1与平面ABCD的夹角为则cosθ=所以平面BFD1与平面ABCD的夹角的大小为答案:45变式训练3如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90∘,SA⟂平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面SCD与平面答案:2解析:如图,以A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,以AB的长为单位长度建立空间直角坐标系,则D1200,C110设平面SCD的法向量为n,并设n=xyz,由及n⋅DC今x=1,则y=-12,z=1所以cosα=AD⋅n易错易混解读例如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1错解:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则所以BA所以BA所以cosB所以BA所以异面直线BA1与AC所成角的大小为错因分析:因忽略了异面直线所成角的范围而出错.正解:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则所以BA所以cosB所以BA所以异面直线BA1与AC所成的角大小为纠错心得:利用空间向量求各种角的时候,千万不能将向量的夹角等同于所求的角,一定要注意所求角的范围,并找出向量的夹角与所求角的关系.课堂检测1.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1A.15B.3C.10D.352.已知向量a=10-1,则下列向量中与aABCD3.直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,若sn=5π6,则直线lA.πB.πC.5πD.2π4.在一个二面角的两个面α,β内分别有向量m=(-1,2,0),n=30-2,且m,n答案1.B解析:建立如图所示