高中数学选择性必修二-精讲精炼-4-等差列的前n项和公式(精练)(含答案)

4.2.2等差数列的前n项和公式(精练)【题组一等差数列基本量计算】1(2021·新蔡县第一高级中学高二开学考试)()A． B．C． D．【答案】C【解析】易知数列1，4，7，…，，为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为，所以原式，故选：C．2．(2021·全国高二课时练习)已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为()A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】设公差不为0的等差数列满足，则，整理可得．则．故选：B．3．(2021·义县高级中学高二月考)等差数列的通项公式，其前项的和为，则数列的前项的和为()A． B． C． D．【答案】D【解析】等差数列，所以，所以，因为，即数列是等差数列，所以数列数列的前项的和为.故选：D4．(2021·江苏省震泽中学高二月考)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层(即下层)共有扇面形石板()A．1539块 B．1863块C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.故选：C5．(2021·六盘山高级中学高二月考(理))在数列中，，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，数列满足所以数列为等差数列，又由，可得，所以.故选：C.6．(2021·六盘山高级中学高二月考(理))《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，数列是以为公差的等差数列，因为，解得，所以.故选：C.7．(2021·全国高二专题练习)设为等差数列的前项和，，，则________.【答案】54【解析】为等差数列的前项和，，，①，②解得，.故答案为：548．(2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考)已知等差数列的前项和为，，与的等差中项为2，则的值为()A．6 B．-2 C．-2或6 D．以上都不对【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，由得：，而与的等差中项为2，即，将代入并整理得：，解得或，当时，，则，当时，，则，所以的值是-2或6.故选：C9．(2021·河南高二月考)在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”.题意是把斤绵分给个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是()A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】A【解析】设个儿子按年龄从大到小依次分绵斤，斤，斤，…，斤，则数列为公差为的等差数列.因为绵的总数为斤，所以，解得.故选：A10．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列，是其前项和，若，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】设数列的公差为，由题意可得，解得，所以，，故选项D正确，故选：D.11．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝()A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】∵等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)，又{an}为等差数列，∴3an－1＝54(n≥2)，∴an－1＝18(n≥2)，又a2＝2，Sn＝100，∴Sn＝＝＝100.∴n＝10，故选：D．【题组二等差数列前n项和与中项性质】1．(2021·全国高二专题练习)在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5＝()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】∵，解得，∴故选：C.2．(2021·全国)设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则()A．8 B．52C．45 D．72【答案】B【解析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，则，故选：B．3．(2021·全国)已知等差数列的前17项和，则()A．3 B．6 C．17 D．51【答案】A【解析】因为，所以，解得，．故选：A.4．(2021·全国高二课时练习)设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为()A． B．0 C．2 D．4【答案】B【解析】设数列的公差为，，整理可得，即．又∵，∴．∵，∴．∴．故选：B．5．(2021·全国高二课时练习)在等差数列中，已知，则()A．288 B．144 C．572 D．72【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选：B．【题组三等差数列前n项和的最值】1(2021·全国高二课时练习)(多选)等差数列是递增数列，且，前项和为，则()A． B．C．当时，最小 D．当时，的最小值为8【答案】AD【解析】设等差数列的公差为，由，可得，即．又由等差数列是递增数列，可知，则，故A正确，B错误；因为，由，可知当或时最小，故C错误；令，解得(舍去)或，即时的最小值为8，故D正确．故选：AD．2．(2021·全国高二单元测试)已知是等差数列的前项和，且，给出下列命题：①公差；②；③；④.其中正确命题的序号是()A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】因为，所以，，所以数列的公差，故①正确；由，得，故②正确；因为，所以，故，故③不正确；由，得，故④正确.故选：ABD.3．(2021·全国高二课时练习)若数列满足，，则数列的前项和最小时，的值为()A．6 B．6或7 C．7或8 D．9【答案】B【解析】因为，，所以数列是以－18为首项，3为公差的等差数列，所以．，所以当或7时，数列的前项和最小．故选：B4(2021·全国高二课时练习)已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为()A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【解析】由等差数列的性质，知，又，∴和异号．∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，，，，∴当时的最大值为20．故选：C.5．(2021·全国高二课时练习)若数列是等差数列，首项，公差，且，，则使数列的前项和成立的最大自然数是()A．4039 B．4038 C．4037 D．4036【答案】B【解析】由题意，得数列是递减数列，由，且，可得，，且，，∴，，∴使数列的前项和成立的最大自然数是4038．故选：B6．(2021·北京牛栏山一中高二期中)已知是等差数列的前项和，且.以下有四个命题：①数列中的最大项为；②数列的公差；③；④.其中正确的序号是()A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④【答案】B【解析】，，，，，故②正确；数列中的最大项为，故①错误；，故③正确；，故④正确.因此有②③④正确．故选：B．7．(2021·全国高二课时练习)已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是()A． B． C． D．与均为的最小值【答案】C【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；对于C选项，由可得，∴，C选项错误；对于D选项，由可得，且，，，所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；对于B选项，∵，，当时，，所以，，B选项正确．故选：C．8．(2021·北京西城·)记为数列的前项和．若，则()A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项【答案】A【解析】根据题意，数列，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，，当时，，当时，，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：．9．(2021·全国高二课时练习)设等差数列的前n项和为，且，则当n＝__________时，最大．【答案】1008【解析】∵，∴，，∴，，∴，，∴当n＝1008时，最大．故答案为：100810．(2021·全国高二课时练习)设数列{}为等差数列，其前n项和为，已知，若对任意n∈N*，都有成立，则k的值为______.【答案】20【解析】对任意n∈N*，都有成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当Sn取得最大值时，对任意n∈N*满足解得n＝20.即满足对任意n∈N*，都有成立的k的值为20.故答案为：2011．(2021·全国高二课时练习)已知{an}是等差数列，d为其公差，Sn是其前n项和，若只有S4是{Sn}中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d>0②a4<0③a5>0④S7<0⑤S8>0【答案】①②③④【解析】由已知条件得a5>0，a4<0，则d>0，故①②③正确．因为S7＝＝7a4<0，故④正确．S8＝＝4(a4＋a5)无法判断其正负，故⑤错误．综上可得结论正确的有①②③④.故答案为：①②③④.12．(2021·罗平县第二中学高二期末(文))已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为___________．【答案】28【解析】由题设，，可得，即，∴，则，∴，当且仅当时等号成立，而，且，当时，，当时，.故当或5时，的最小值为.故答案为：13．(2021·全国高二课时练习)若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________.【答案】405【解析】由a203＋a204>0知a1＋a406>0，即S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.故答案为：405.【题组四等差数列前n项和的性质】1．(2021·甘肃省会宁县第一中学高二期末(理))等差数列､前项和分别为与，且，则()A． B． C．1 D．【答案】A【解析】因数列､都为等差数列，且，故设，，因此，，由等差中项得，.故选：A.2．(2021·全国高二单元测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝()A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵，显然，∴，故选：A3．(2021·新蔡县第一高级中学高二月考)已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A.4．(2021·吉林延边二中高二月考)设等差数列的前项和为，若，，则()A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【解析】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，即，，成等差数列，所以，所以.即.故选：C5．(2021·南昌市豫章中学高二开学考试(文))已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值()A．等于4 B．等于2C．等于 D．不确定，与有关【答案】B【解析】由数列是等差数列，得；，所以．故选：B．6．(2021·六盘山高级中学高二月考(理))已知数列是等差数列，是其前项和，则_________.【答案】27【解析】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，所以，即，所以.故答案为：7．(2021·四川省内江市第六中学高二开学考试(文))已知等差数列的前n项和分别为，若，则__________.【答案】【解析】等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，

又，

则.故答案为：8．(2021·西藏昌都市第一高级中学高二月考)设等差数列的前n项和为，已知，，则_______．【答案】【解析】根据等差数列的性质，可知成等差数列，即，解得.故答案为：66.9．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则＝________.【答案】【解析】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：，故答案为：10．(2021·全国高二专题练习)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.【答案】24【解析】∵{an}是等差数列，由S9＝72，得S9＝9a5，a5＝8，∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.故答案为：24.11．(2021·全国高二课时练习)设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.【答案】4【解析】由等差数列性质可知，又，∴,解得，故答案为：4【题组五含有绝对值的求和】1．(2021·全国高二课时练习)数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn.【答案】(1)an=10-2n；(2).【解析】解(1)∵an+2-2an+1+an=0，∴an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1.∴{an}是等差数列且∴d=-2，an=a1+(n-1)d=10-2n.(2)∵an=10-2n，令an=0，得n=5.当n>5时，an<0；当n=5时，an=0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=9n-n2.2．(2021·江苏省苏州第十中学校)已知是等差数列的前项和，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)已知，，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)当时，，当，.【解析】(1)设等差数列的公差为d，则，∴，∴，又∴数列是首项为，公差为的等差数列；(2)等差数列的公差为d，∵，，∴，，∴，，由(1)，∴当，，当，，∴当时，，当，，∴3．(2021·威宁民族中学高一月考)已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当n＝1时，；当时，，显然时也满足上式，所以.(2)由(1)知，所以当时，；当时，，①当时，，则，，