高考数学一轮复习点点练：直线、平面的平行与垂直关系

点点练28—直线、平面的平行与垂直关系

—基础小题练透篇

1.给出以下命题（其中。，6表示不同的直线，a表示平面）：

①若a〃a,b//a,则a〃6；

②若a〃6,b//a,贝!Ja〃a；

③若a〃a,bua,则a〃6；

④若a的同侧有两点A,B到平面a的距离相等，则AB〃a.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.

[2023•湖北省襄阳市部分学校期中试题]某正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体

中，下列结论正确的是（）

A.AF〃平面BCEB.平面

C.AE//BCD.BF1.CE

3.如图，在四棱柱4BCQ-A向C。中，E,F分别是A所,8cl的中点，则下列结论中

正确的是（）

A.EF2BB1

B.£F_L平面BCGBi

C.EF〃平面ABC

D.所〃平面ACG4

4.

[2023•陕西省质量检测]如图，在正三棱柱ABC-4SG中，A8=l,AA^y[3，点。是

侧棱221的中点，则直线与平面ABC所成角的正弦值为（）

A妇R叵「五口空

Zx•2-D•7v_z•7（7

5.

［2023•邯郸市摸底］如图，在正方体ABCZX46GP中，E是棱的中点，尸是四边形

AAiDiD内一点（包含边界）.ER〃平面BBiDiD,当线段EF长度最大时，EF与平面ABCD所

成角的余弦值为（）_

A.4B.3。4D-6

6.在正四面体ABC。中，E,尸分别为△BCD,△AC。的中心，则下列说法中不正确

的是（）

A.EF//AB

B.C£）_L平面ABEF

C.异面直线AB,C。所成的角为90°

D.A£=1EF

7.如图，在正方体ABCD-AiBiGDi中，AB=2,E为AD的中点，点尸在CD上，若

〃平面ABiC,则所=.

二能力小题提升篇

“2023•陕西省西安市模拟］已知直线/_L平面a,直线根u平面给出下列命题中正确

的是（）

①a〃£=>/_L〃z；②a_L£=>/〃机；③/〃机④lLm=a//8.

A.①②③B.②③④

C.②④D.①③

2.［2023•辽宁省实验中学期中］己知相，w为两条不同的直线，a,y为三个不同的平

面，则下列命题正确的是（）

A.若m"a,n//a,则相〃〃

B.若a_1_4，且则，"_1_夕

C.若mua,nua,m〃8,n//P,则a〃4

D.若/77±a,n//P，a.邛,贝！Jm_1_"

3.

八

[2023•四川省成都市月考]如图，已知正三棱柱A8C-4SG的各条棱长都相等，M是侧

棱CG的中点，N是A历的中点，则（）

A.A1N//C1A

B.AN〃平面BAM

C.ABil5?®ABM

D.BM±AB[

4.

[2023•山西省临汾市联考]如图，在直三棱柱ABC-A/iG中，ZBAC=90°,AC=AB=

1441=1,设。，£分别是棱CG上的两个动点，且满足。£=1,则下列结论错误的是（）

A.平面A8CLL平面J50E

B.4A〃平面BOE

C.ADE

D.三棱锥A-BiOE体积为定值

5.

P

如图所示，在四棱锥尸-ABC。中，抬，底面A8CD,且底面各边都相等，〃是PC上

的一动点，当点M满足时，平面M2。，平面PCD（只要填写一个你认为是正确的

条件即可）

6.[2023•聊城模拟]

如图，矩形ABC。中，AB=2AD,E为A8的中点，将△ADE沿。E翻折至

（平面ABCD）,若M为线段AiC的中点，则在△ADE翻折的过程中，下列结论正确的是

.（写出所有正确结论的序号）

①必1-4OE：池1-8CZ）E=1：3；②存在某个位置，使。EJ_4C；③总有8M〃平面

ArDE；④线段的长为定值.

—高考小题重现篇

1.[2019•全国卷II]设a,£为两个平面，则a〃6的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与夕平行

B.a内有两条相交直线与£平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,乃垂直于同一平面

2.［全国卷I］如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,。为

所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN。不平行的是（）

3.［全国卷III］在正方体ABCD-AiBCQi中，E为棱C。的中点，贝|（）

A.AiElDCiB.AiELBD

C.A1EIBC1D.AiE±AC

4.［2022・新高考I卷］（多选）已知正方体ABC£>-421GP，则（）

A.直线8G与D4i所成的角为90°

B.直线8G与C4所成的角为90°

C.直线与平面BBS。所成的角为45。

D.直线BG与平面A2CD所成的角为45°

5.［全国卷］a,£是两个平面，MI,〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果加_1_",mJ_a,n//P，那么a_L£.

②如果〃z_La,n//a,那么相_1_九

③如果a〃/,〃?ua,那么冽〃夕.

④如果a//P，那么机与a所成的角和w与£所成的角相等.

其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

6.［2019•全国卷I］已知NACB=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到乙4cB

两边AC,BC的距离均为也，那么P到平面ABC的距离为.

四经典大题强化篇

1.

E

在如图所示的空间几何体中，ACLBC,四边形。C8E为矩形，点F,M分别为

C£)的中点.求证：

(1)FM〃平面AOE；

(2)平面ACD_L平面ADE.

如图，四棱锥P-A3CD中，B4_L底面ABC。，AB_L4£),点E在线段上，且CE〃AA

(1)求证：CE_L平面E4D；

(2)若B4=A3=1,A£)=3,CD=p,/CD4=45。，求四棱锥尸-ABC。的体积.

3.如图1,在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLBC,AB=2CD,DELAB,沿。E将

△AE。折起到△4即的位置，连接A/,AiC,M,N分别为AC，BE的中点，如图2.

NB

图2

(1)求证：£)£±AiB；

(2)求证：〃平面4EO；

(3)在棱A山上是否存在一点G,使得EG,平面42C?若存在，求出然的值；若不

存在，说明理由.

点点练28直线、平面的平行与垂直关系

-基础小题练透篇

1.答案：B

解析：如图，在长方体"6磬-A'B'CD'中，

A'B'〃平雨ABCD,B,C〃平面/及/，但HB'与HC相交，故①错误;B',

A'B'〃平面/氏力,但48u平面48切，故②错误；A'B'〃平面4%力，8Cu平面480),但

A1B'与"?异面，故③错误；④显然正确.

2.答案：B

解析：

由题意可知，如图所示，

对于A,由图可知，〃'与平面比F不平行，故A错误；

对于B,易知6C_L平面"Z应，A上平面AFDE,所以6CL49,同理比工相，

BCCEC=C,BC,及七平面兆及

所以4LL平面兆瓦故B正确.

对于C,在正方形初CF中，FDLBC,易知四边形如刃为平行四边形，所以/£〃功，所

以AELBC,故C错误.

对于D,在正方形中，BF//DC,所以/ZO为异面直线即与。所成角，易知/DCE

=45°,所以胡与磔'不垂直，故D错误.故选B.

3.答案：D

解析：题中未涉及垂直条件，故排除A,B；连接应IhCB,则物1与交于点£,所

以直线砂与平面的1。相交，即直线厮与平面26c相交，故排除C；连接合。交6G于点

F,由于平行四边形6CC心的对角线互相平分，故尸是笈C的中点.因为公是/笈的中点，所

以厮是三角形8/C的中位线，故所〃北又平面/CG4,所以厮〃平面/CG4.故选

D.

4.答案：B

、后

解析：•.•曲」平面4区处与平面4AG所成的角为瓦又81G=1,纵=匕­,

可得02=坐，而平面4合4〃平面/6C,；.与平面/6C所成角的正弦值为铛.

5.答案：B

解析：设正方体的棱长为a,如图，取4?的中点G,连接加,过G作做〃加，与4"

交于点H,贝1点FGGH,且〃G，平面ABCD,则即为"与平面4%/所成角，当所长

亚

、历乖z0/2a

度最大时，点尸与点〃重合，EG=*a,EH=a,侍cos/HEG=「

2a

亚

3.

6.答案：D

解析：取缪的中点。，连接/。、B0,如图所示:

对于A,点4、F、。和点反E、。分别共线，

AFBE

因为点反尸分别为△氏力和△/5的中心，所以G=击）=2,

乐以EF〃AB,所以选项A正确；

对于B,因为BOLCD,AO,B上平面ABO,且所以5_L平面26。，

即切，平面打空选项B正确；

对于C,因为平面力用，所以切_1/6,选项C正确；

1、6

对于D,因为EF〃AB,设28=1,所以及占可，易知B0=*~,

O乙

在Rt△/旗中，BE=-B0=-X-^5-=^—,

oj乙j

所以/£=,/♦一初=yji—（坐）2=乎，/肝;EF,选项D错误.

7.答案：［5

解析：根据题意，因为成〃平面/8C所以成〃/二又£是加的中点，所以厂是必

的中点.因为在Rt△g'中，DE=DF=\,故所取.

二能力小题提升篇

1.答案：D

解析：①，由直线/_L平面a,直线归平面£,若。〃£=/_L〃，故①正确；

②，若a，Bnl〃m或1、0异面或/、勿相交，故②错误；

③，利用面面垂直的判定，若1〃gaL8,故③正确；

④，老a//B或a、£相交或a、£垂直，故④错误.

所以①③正确.

2.答案：B

解析：对于选项A,若加〃。，n//a,则勿与〃可以平行，相交，或为异面直线，因此

不正确；对于选项B,若a±J3,/_1_£且any=m,则nil.B,因此正确；对于选项C,

若归a,〃ua,勿〃£,〃〃£,则a与£不一定平行，因此不正确；对于选项D,若0_1_a,

nil3、a则0与〃不一定垂直，因此不正确.综上，正确的命题是B.故选B.

3.答案：D

解析：因为4%与G4异面，所以A项错误；因为4N的延长线必过点8,则直线/W与

平面54〃相交，所以B项错误；因为与不垂直，所以44不垂直于平面/椒所以C

项错误；取血的中点P,连接PB\,在正方形BCGBy中,△笈在与△6。/全等，可得BMLRP,

连接/RJU1]APLBC,又平面底面力64平面6（%61n底面/%=64所以4PL平面

BCCB,因为倒仁平面久霜笈，所以傲1.4°,久APCB、P=P,AP,笈/t平面区//，所以创_L

平面BMP,因为瓦4u平面B.AP,所以BMLAB,.故选D.

4.答案：C

解析：A选项，过/作加」8G垂足为凡

根据直三棱柱的性质可知阴_1平面ABC,

由于/足平面ABC,所以BB.VAF,

由于BCC阳=B,BC,圈u平面BCQBx,

所以AFV平面BCCB,即AFL平面B.DE,

由于/Az平面ABC,所以平面平面BxDE,A选项正确.

B选项，根据三棱柱的性质可知4月〃8,即4/〃/；

由于4加平面6防及DEu平面&DE,所以44〃平面为明B选项正确.

C选项，若月台_L平面业应，即/6_L平面

由于4月u平面44Gq所以/笈，44这与已知46,4/不垂直矛盾，C选项错误.

D选项，VA-B\DE=VB\-ADE,由于三角形/龙的面积为定值、笈到平面444C的距

离为定值，

所以VA-B、DE=VB\-/座为定值，所以D选项正确.

故选C.

5.答案：DMLPC（或BMLPC）

p

解析：连接/c,BD,贝|J/C_L如，：为_L底面/a"底湎ABCD,：.PA±BD.

又阳C/C=4PA,/Ct平面为C,

平面PAC,

J.BDLPC.

:.当DMLPC(或BMLPO时，即有尸C_L平面的切.

而依:平面PCD,

平面飒4平面PCD.

6.答案：①③④

解析：①设4到平面旗切的距离为瓦，到四的距离为〃，则VA-A.DE\VALBCDE

.<1）_、ADE:S梯形EBCCP^（〈XAEXh1）:CD+BE,

Xh:[gX弧形项c〃义力J=S&

1：3,故①正确；②4。在平面力及刀中的射影在47上，AC与龙不垂直，.•.应1与4c不垂

直，故②错误；③取切的中点尸，连接版，BF,则加〃4。且痂=；4〃FB〃EDaFB=

ED,可得平面小〃平面4庞，；.总有胡〃平面4庞，故③正确；易知/MFB=/A\DE,由

余弦定理可得座=旃+〃-2版•朋・cosN加乃是定值，故④正确.

三高考小题重现篇

1.答案：B

解析：对于A,a内有无数条直线与£平行，当这无数条直线互相平行时，a与S

可能相交，所以A不正确；对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C,

平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D,垂直于同一

平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是

相交的，所以D不正确.综上可知选B.

2.答案：A

解析：A项，作如图①所示的辅助线，其中2为欧的中点，则初〃4K

1平面仞%)=0,.•.在与平面的图相交，直线四与平面以图相交.

B项，作如图②所示的辅助线，贝！①，CD"MQ,：.AB〃MQ.八ABX斗南MNQ,弊平

面平面以陶

C项，作如图③所示的辅助线，则力6〃3,CD//MQ,：.AB//MQ,又/冽平面胸阉MQc.

平面历阍；.45〃平面筋0

D项，作如图④所示的辅助线，则加〃切,CD//NQ,：.AB//NQ.又/因平面MNQ,NQu

平面仞阕，46〃平面例图

3.答案：C

解析：

如图，：4£在平面46口上的射影为力£,而〃不与AC,即垂直，二B,D错；

4£在平面8＜羽笈上的射影为8c且

A\ELBC\

（证明：由条件易知，BCBCBQLCE,又CECB\C=C,6G_L平面侬出.又4£u

平面烟心，；.4及L8G）,故C正确；

4£在平面2GG〃上的射影为〃及而不与因垂直，故A错.

4.答案：ABD

解析:如图（1）,连接区C因为的所以直线aI与〃41所成的角为90°,

所以A正确.

如图（2）,连接8K因为8G_L6cBGLAB,,BKCAB=B、,BC46u平面48C,所

以阅J_平面46c所以阅所以B正确，如图（3）,连接4G,交A2于点。，连接

BO,AB.易证4G_L平面初《几所以NG6。为直线G6与平面薇儿S所成的角，NGH=30°,

所以C错误.

图⑶

如图(4),因为GC_L平面ABCD,所以NG比'为直线6G与平面力及力所成的角，且NG比'

=45°,所以D正确.故选ABD.

5.答案：②③④

解析：若R_LA,ml.a,则A〃。或AUa,又〃〃£,贝!!a,£可能相交或平行，所

以①错误；若/，。，n//a,则所以②正确；若a〃£,®c。，由面面平行的性质

可得0〃£,③正确；由线面所成角的定义可得④正确.故正确命题是②③④.

6.答案：

解析：设20_L平面46c于。，PELAC干E,PF1BC于F,连接施'、OF、0C,

POL平面ABC,：.POLAC,

%POCPE=P,PO,PEu平面POE,平面?施；在'u平面产阳

：.ACVOE,

同理有6c上阳.•.四边形阪尸为矩形，

,:PC=PC且PE=PF,

.•.RtZWC2RtzWC,

:.EC=FC=qPd-Pm=1,

四边形磔尸是边长为1的正方形，

0C=y[2,

在Rt△尸％中，=A/2.

四经典大题强化篇

1.证明：(1)取龙的中点“连接版V,FN,因为F,M,N分别为CD,龙的中点,

所以"V'〃庞，FN//AE.

又因为/£,以u平面/庞，FN,平面ADE,

所以