教师资格认定考试高级中学数学模拟题24

教师资格认定考试高级中学数学模拟题24一、单项选择题1.

设，且向量是A-1的特征向量，则常数k=______。A.1B.-2C.-1D.1或-2正确答案：D[解析]因为向量α是A-1的特征向量，所以α也是A的特征向量，则存在一个常数λ，有，所以，解得k=1或k=-2。故本题选D。

2.

《九章算数注》的作者是______。A.刘徽B.秦九韶C.杨辉D.赵爽正确答案：A[解析]刘徽是中国古典数学理论的奠基者之一，他注有《九章算数注》和《海岛算经》。

3.

巧妙而简洁地证明了存在某种不能用开方运算求解方程的方法，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理的数学家是______。A.拉格朗日B.伽罗瓦C.费拉里D.达尔卡诺正确答案：B[解析]1828年，法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在某种不能用开方运算求解方程的方法，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理。

4.

设且a≠0，则当a=______时，存在。A.1B.2C.3D.-1正确答案：B[解析]计算函数f(x)在x=0处的左右极限，，。若存在，则，即1=a-1，所以a=2。故本题选B。

5.

已知随机变量X的概率密度函数为，则D(X)=______。

A．1

B．

C．

D．正确答案：B[解析]因为，由正态分布的概率密度函数可知，随机变量，即。故本题选B。

6.

设三阶方阵A的特征值为1，2，-3，则|A2-3A-E|的值为______。A.135B.153C.-6D.0正确答案：B[解析]由矩阵特征值的性质可知，如果λ是矩阵A的一个特征值，则λ2是A2的特征值，kλ是kA的特征值，λ-1是A-E的特征值。所以矩阵A2-3A-E的特征值为λ2-3λ-1(λ=1，2，-3)，即为-3，-3，17。因为矩阵的行列式的值等于矩阵所有特征值的乘积，所以|A2-3A-E|=(-3)×(-3)×17=153。

7.

下面不属于《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出的课程基本理念的是______。A.学生发展为本，立德树人，提升素养B.优化课程结构，突出主线，精选内容C.重视过程评价，聚焦素养，提高质量D.把握学生特点，启发服考，创新教学正确答案：D[解析]《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，高中数学课程基本理念是①学生发展为本，立德树人，提升素养；②优化课程结构，突出主线，精选内容；③把握数学本质，启发思考，改进教学；④重视过程评价，聚焦素养，提高质量。

8.

设M，N为随机事件，P(N)＞0，且条件概率P(M|N)=1，则必有______。A.P(M∪N)＞P(M)B.P(M∪N)＞P(N)C.P(M∪N)=P(M)D.P(M∪N)=P(N)正确答案：C[解析]已知，所以P(MN)=P(N)，于是P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=P(M)。故本题选C。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

设函数f(x)在[a，b]上连续，满足。证明：存在x0∈[a，b]，使得f(x0)=x0。正确答案：若f(a)=0或f(b)=b，只需令x0=a或b即可，下面假设f(a)≠a，f(b)≠b。

令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[a，b]上连续。由于，且f(a)≠a，f(b)≠b，所以F(a)=f(a)-a＞0，F(b)=f(b)-b＜0，于是由零点存在定理可知，存在x0∈[a，b]，使得F(x0)=0，即f(x0)=x0。

2.

设α1，α2，α3线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α1+α3线性无关。正确答案：设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1，α2，α3线性无关，所以解方程组得，k1=k2=k3=0。因此，α1+α2，α2+α3，α1+α3线性无关。

3.

简述《普通高中数学课程标准(2017年版)》有关教师实施课程标准时应注意的几个问题。正确答案：(1)以教师专业标准的理念为指导，提升自身的专业水平

教师要以数学学科核心素养为依托，终身学习、不断实践，掌握教学所需基础知识，提升教书育人的基本能力。

(2)数学教师要努力提升通识素养

教师要主动提升包括科学素养、人文素养和信息技术素养等通识素养，应养成良好的自主学习习惯，能学习、会学习、善学习，努力成为学生主动学习、不断进取的榜样。在教学活动中，应勇于创新，包括教学方式的创新，也包括从教学实践中总结经验；包括指导学生学习方式的创新，也包括对学生认知规律的探索；包括对数学知识更为深刻的理解，也包括对数学结构的梳理。

(3)数学教师要努力提升数学专业素养

为了培养学生的数学学科核心素养，数学教师必须提升自身的“四基”水平、提升数学专业能力，自觉养成用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问题、用数学的语言表达和交流问题的习惯。

(4)数学教师要努力提升数学教育理论素养

教师要结合教育教学实践，阅读和理解数学教育经典著作，关注前沿进展的要求。认真研读课程标准，理解和把握高中数学课程的目标，深入思考教与学的关系。基于课程标准，认真研读教材，把握“四基”与数学学科核心素养的关联；基于理论与实践，不断探索数学教学的规律，特别是学生学习高中数学的规律，探索如何把科学形态的数学转化为教育形态的数学。理解和把握评价的作用，思考如何通过评价鼓励学生学习的自觉性、如何通过评价调整自己的教学。

(5)数学教师要努力提升教学实践能力

数学教师应用理论指导实践，不断总结与反思自己的教学实践，不断提高教学能力，并最终落实到课堂、落实到学生。

4.

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内存在一点ξ，使得。正确答案：令，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，同时F(a)=0，。因此，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈[a，b]，使得F(b)-F(a)=F'(∈)(b-a)，即。

5.

求由曲线y=3-x2和直线y=1-x所围的平面图形的面积S。正确答案：联立方程可求得曲线和直线的交点坐标为(-1，2)和(2，-1)，因此由定积分的几何应用可知

三、解答题(本大题1小题，10分)1.

设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C。正确答案：由题意可知矩阵C为2×2阶矩阵，故可设，则由AC-CA=B，即，可得线性方程组

求所有矩阵C，即求出方程组①的通解。对方程组①的增广矩阵进行初等行变换：

，由于方程组①有解，故有1+a=0，b-1-a=0，即a=-1，b=0，从而有其中k1，k2为任意实数，从而有。

四、论述题(本大题1小题，15分)1.

类比思想是一种重要的数学思想，不仅可以在很多知识的理解与掌握上发挥作用，而且在解决很多实际问题时，这种数学思想的作用也能够很好地得到体现。请谈谈类比思想对数学学习有哪些帮助。正确答案：在数学课堂上，教师恰当地运用类比思想，可以促进学生对于知识的理解与吸收，能够加深学生的知识掌握程度，使知识应用能力也得到很好的锻炼。

①概念形成中的有效类比

概念教学是理论知识教学的重要组成部分，在概念教学中教师可以充分利用类比思想做辅助教学。中学数学的很多知识点存在相似性，教师可以灵活地运用类比思想来辅助理论知识的教学，并且在比较与联系的过程中帮助学生构建知识体系，充分发挥类比教学的作用，极大地促进学生对概念的理解与吸收。

②知识整合时的有效类比

教师可以引导学生以类比的形式来实现对于新知识点的理解与吸收，也可以让学生在知识点间的类比与对照中更好地认识知识点间的联系与区别。这样不仅能够帮助学生实现知识的良好整合，也可以保障学生对于每一个具体的知识点都有更好的理解与掌握。

③问题解决时的类比探究

在很多实际问题的解答中，培养学生掌握问题解决的方法是教学的核心，也是学生知识应用能力的一种良好体现。教师可以有意识地向学生渗透类比思想，让学生在问题解答时类比一些有效的数学思想方法，并且通过解题技巧的迁移来解决更多实际问题，从而极大地提升学生的知识应用能力与实践能力。

五、案例分析题(本大题共20分)阅读案例，并回答问题。在学习了“双曲线”后，教师要求学生解决如下问题。

已知双曲线x2-y2=3，直线y=k(x+1)，讨论直线与双曲线交点的个数。

下面是某位同学的解答过程：

联立方程组消去y得(1-k2)x2-2k2x-(k2+3)=0，当Δ=(-2k2)2+4(1-k2)(k2+3)=0，即时，方程组只有一个解，故直线与双曲线有一个交点；当Δ=(-2k2)2+4(1-k2)(k2+3)＞0，即时，方程组有两个解，故直线与双曲线有两个交点；当Δ=(-2k2)2+4(1-k2)(k2+3)＜0，即时，方程组无解，故直线与双曲线没有交点。

问题：1.

指出该解法的错误之处，分析错误原因，并给出正确解法；正确答案：该生在解题的过程中忽略了讨论二次项的系数为0的情况。造成这种错误的原因可能是：该学生主观认为方程组解的情况只能利用判别式作答，忽略了对消元后方程的二次项系数的讨论。

正确解法：联立方程组消去y得(1-k2)x2-2k2x-(k2+3)=0。当1-k2=0，即k=±1时，此时方程为关于x的一元一次方程，方程组只有一个解，故直线与双曲线有一个交点；当即时，方程组只有一个解，故直线与双曲线有一个交点；当且k≠±1时，方程组有两个解，故直线与双曲线有两个交点；当时，方程组无解，故直线与双曲线没有交点。综上所述，当k=±1或时，直线与双曲线只有一个交点；当且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点；当时，直线与双曲线没有交点。

2.

针对该题的教学，谈谈如何设置问题，帮助学生避免出现上述错误。正确答案：针对本题，结合案例学生出现的错误，教师应该根据该题的教学步骤，在教学过程中，采取相应的策略设置问题。下面结合教学过程进行分析：

①教师与学生一起回忆旧知，提出问题“判断直线和双曲线的位置关系的方法有几种，分别是什么?”。

②教师结合本题让学生画出该题相关的图像，设置问题引导学生全面考虑直线与双曲线交点个数的情况，如“有一个交点的时候怎么判断?对应的函数图像是什么样的?”

③教师结合本题引导学生分类讨论一元二次方程判别式与根的个数的关系，可设置问题如“判别式大于0时，有几个根?等于0时，有几个根?小于0时呢?”

六、教学设计题(本大题共30分)“几何概型”是高中阶段学生的必修内容，被安排在“古典概型”内容之后学习。在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用“古典概型”来解决了。在特定情形下，可以用“几何概型”来解决此类问题。

请完成下列任务：1.

请设计高中“几何概型”这一内容的教学目标；正确答案：教学目标

①理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率计算公式，理解古典概型和几何概型的区别与联系；

②在探究学习的过程中，提升将实际问题抽象成数学模型问题的能力；

③经历数学知识的形成过程，体会数学知识与现实世界的联系，培养用数学的眼光看待世界的意识。

2.

请结合教学目标，类比“古典概型”设计“几何概型”的主要教学过程；正确答案：教学过程

一、旧知回顾

带领学生回顾古典概型的相关知识。

二、引入新知

问题1：若x的取值是区间[0，5]中的整数，任取一个x的值，求“取得值不小于3”的概率。(古典概型)

问题2：若x的取值是区间[0，5]中的实数，任取一个x的值，求“取得值不小于3”的概率。(几何概型)

学生自主讨论、比较问题1，2的不同，引入新知——“几何概型”。

三、新知探究

1．试验：取一个边长为8cm的正方形及其内切圆，随机向其中丢一粒黄豆，那么黄豆落入圆内的概率有多大?

学生利用模具自主探究，教师指导，最终形成下表。

项目试验归纳一个基本事件黄豆落在正方形内某一点对应的整个图形上的一点(随机)所有基本事件形成的集合正方形面(S正=64cm2)对应的所有点形成的一个可度量的区域D随机事件A对应的集合内切圆面(S圆=16πcm2)区域D中的某一个指定区域d随机事件A发生的概率2．几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

3．活动：让学生对比古典概型，找出古典概型和几何概型之间的区别和联系。

学生讨论、教师指导后形成下表。

项目古典概型几何概型定义满足古典概型两大特征(基本事件有限、等可能性)每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例所有的试验结果有限个(可列n个)无限个每个试验结果的发生等可能等可能4．引入部分问题探究：让学生自主探究课堂开始的两个问题，形成答案后汇报，教师点评、指导，订正答案：

①问题1古典概型中的6个基本事件为“取得值为0”“取得值为1”“取得值为2”“取得值为3”“取得值为4”“