大题强化训练及变式训练十-2024届高三数学二轮复习（新高考九省联考题型）（解析版）

大题强化训练及变式训练(10)-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练(新高考九

省联考题型)(解析版)

2024届大题强化训练及变式训练(10)

1.在人45。中，角4B,面对边分别为a,b,c,已知c=3.

(1)若b=2,cosC=—求sinA；

16f

(2)点麻边48上，AD=2DB，若。。=马旦，tanC=2tan8,求a.

3

变式：蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色

彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿

马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点妫边

上靠近8点的三等分点，ZADC=60°,AD=2.

(1)若乙4CD=45。，求三角形手巾的面积；

Ar

(2)当——取最小值时，请帮设计师计算必的长.

AB

2.如图，在四棱锥尸—48CD中，底面48CD是菱形，ABAD=60°,△尸4D为等边三角形，点四

粉别为48,阳的中点.

>LI/

AMB

(1)证明：直线儿W//平面为2；

(2)当二面角尸—4D—C为120。时，求直线廨与平面也所成的角的正弦值.

变式：在如图所示的三棱锥D—XBC中，AB±BD,BC1CD,分别是线段的中点,

且MC=1,AB=BD=6.

D

(1)证明：直线平面D8C;

(2)若二面角。-氏4-。的大小为60°，求直线期/和平面MVC所成角的余弦值.

lux1

3.已知函数/(x)=xe'-1,g(x)=lnx-mx,(p^x)=e

xx

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)求。(x)的最小值；

(3)设Zz(x)=/(x)-g(x)，讨论函数6(x)的零点个数.

变式：已函数/(》)=/+办2+区+以凡4ceR),其图象的对称中心为(1,-2).

(1)求的值；

(2)判断函数/(x)的零点个数.

4.已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试

验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者

在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同,

其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.

（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为

随机变量X,求X的分布列和数学期望；

（2）若规定试验者乙至多可进行〃（〃eN*）轮试验（若第〃轮不成功，也停止试验），记乙在第

左（丘N*,左<〃）轮使得试验成功的概率为《，则乙能试验成功的概率为如）=之弓，证明：

k=l

尸⑺<;.

变式：某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学

2

每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为w，若前一天选择冰糖雪

梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为工，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百

3

合汤的概率为：，如此往复.

（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.

（2）记该同学第〃天中午选择冰糖雪梨汤的概率为《，证明：为等比数列.

（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.

5.已知椭圆C：.+方=1（。〉0,b＞0）的左、右焦点分别为片、F2,离心率为经过点

片且倾斜角为的直线/与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周

长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面xQy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面/与工）与y轴负半

②是否存在。0＜。＜（,使得折叠后4/3匕的周长为三？若存在，求tan。的值；若不存在,

请说明理由.

变式：直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如％=加+1表示过点(1,0)的直线，直线的包

络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都

是该直线族中的某条直线.

(1)若圆G:/+/=1是直线族+g=1(加,〃eR)的包络曲线，求加，〃满足的关系式；

(2)若点尸(%,%)不在线族：Q：(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(。eR)的任意一条直线上，求为的

取值范和直线族Q的包络曲线E；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上45两点作曲线E的切线/i/，其交点为尸.已知点C(0』)，

若4瓦C三点不共线，探究/尸C4=/尸C5是否成立？请说明理由.

2024届大题强化训练及变式训练(10)

1.在人45。中，角4B,面对边分别为a,b,c,已知c=3.

(1)若b=2,cosC=—,求sinA；

16

(2)点麻边48上，AD=2DB，若且，tanC=2tan8,求a.

3

【答案】(1)sin^=—(2)=V15

4a

【分析】(1)根据余弦定理求出。，再利用正弦定理求出sin/；

(2)在△BCD中分别利用余弦定理列式可得2a2+62=34,再由条件tanC=2tanB切

化弦，根据正、余弦定理化简得片+3/=27,运算求得

【解析】(1)在AASC中，6=2,c=3,

/+Z?2—<7211

由余弦定理得cosC=巴士——=—,即44—1la—20=0，所以a=4.

4_3

由正弦定理•,“二=.C,得sinA3A/15所以sin/=.

smAsinC4

16

（2）因为ZD=208，AB=c=3,所以ND=2,DB=1.

在A45c中，由余弦定理得廿=^+32—2a.3.cos8，Wa-b2+9=6acosB，

在△BCD中，由余弦定理得［3口］=a2+l2-2a-l-cos3,§Pa2-y=2acosS,

所以"―/+9=3/—25，B|J2a2+b2=34@

因为tanC=2tanB,所以史一二厘一.又。=3,由正弦定理得-----=-----,

cosCcos5cosCcos5

272_222_k2

2bcosC=3cosB,即2b1二3-，贝U/+3/=27②

lablac

联立①②可得/=15,所以a=

变式：蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一,蜀绣以其明丽清秀的色

彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿

马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点妫边5C

上靠近8点的三等分点，ZADC=60°,AD=2.

(1)若N/CZ>=45。，求三角形手巾的面积;

（2）当——取最小值时，请帮设计师计算物的长.

AB

【答案】（1）9+3百（2）V3-1

4

【分析】（1）由正弦定理求得。C的长，即可得08的长，由三角形面积公式即可求得答案.

AT1

（2）设CD=BD=2m,（m>0）,利用余弦定理表示出/C2/32,即可得丝〒的表达式，结合基

AB-

本不等式确定其最小值，即可求得答案.

【解析】（1）在A/C。中，ZACD=45°,NZQC=60°,故ZD/C=75°,ZADB=120°,

DC焉为即"嚓联

由正弦定理得

sinZDAC

1A/2V3V2V2+V6

而sin75°=sin（30°+45°）=—X--1--x--=------

22224

oV2+V6

2x--------

故DC=-----/一=1+73,

V2

2

故百）

22

J1族J二।I曰'，J^^4ADC।^^4ADB=-ADxDCxsin/ADC+-ADxDBxsin/ADB

22

=92…也）乂与会2HxM9+3百

4

（2）设80=加（加〉0）,则CD=2加，

则在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=m2+4+2m，

在44CD中，AC2=CD2+AD2-2CD•ADcosZADC=4加？+4—4加，

故ZC?4m2+4-4m4（m2+4+2m）-12（l+m）

AB2m2+4+2mm2+4+2m

12（1+加）12（1+加）12

—/1________________—/1——/1_____________________

加2+4+2机（机+1）2+3所1D|3,

m+1

由于（加+1）+二一22、（加+1>^—=26，当且仅当冽+1=二一

即加=-1时取等号，

m+1Vm+1加+1

24-，=4-26

故

（m+1）H-----2V3

m+1

402AQ

即、取到最小值即——取最小值时，m=V3-b

AB?AB

即此时AD=G—I.

2.如图，在四棱锥尸—48CD中，底面4BCD是菱形，ZBAD=60°,△尸40为等边三角形，点四

(1)证明：直线MN//平面22；

(2)当二面角尸-40-C为120°时，求直线仞V与平面尸6断成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)3叵

13

【分析】(1)作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行；

(2)作出辅助线，得到N尸/咕=120。，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平

面的法向量，利用线面角的向量公式求出答案.

【解析】(1)取切中点E,连接/ENE,

AMB

•.•伪配中点，

:.EN/ICDSLEN=、CD,

2

又•：AMIICD且/〃=，

2

:・EN//AM豆EN=AM,

二四边形AMNE为平行四边形，

：.MN//AE,

平面4Eu平面为2,

二“M//平面为〃

(2)连接AD,取/。中点尸，连接PR,

因为底面48CD是菱形，ABAD=60°,所以△45。为等边三角形，

故AF_L，

因为△尸4D为等边三角形，所以尸

故ZPFB为二面角P-AD-C的平面角，

因为二面角尸—4D—C为120°,故/尸用=120°,

以尸为坐标原点，必，阳所在直线分别为孤少轴，垂直于平面/BCD的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则/产昭=30°,设48=2,则4尸=。尸=11尸=百，PF=逝，

C(V3,2,0),2(0,-1,0),

。（0』，0），

3CO=(-V3,-1,0),

2

设平面/Y刀的一个法向量为=（x,y,z）,

(3733)(、3百03c

PC-H==—^—x-]-2y--z=0

故＜

CD元=^-A/3,-1,0j-(x,y,z)=—4^x—y=0

令歹=3得x=-JJ,z=l,故力=卜若,3,1),

设施与平面上?所成角为。,

I-.[3,3)

393

\MN-n\424M)-+—+-

4242739

sjng-\_____L-\)__________

H-H、产工Zx印ZT6屈13

V16416

变式：在如图所示的三棱锥。—48C中，4B工BD,BC1CD,M,N分别是线段的中点,

&MC=1,AB=BD=6.

（1）证明：直线及火，平面£漫。；

（2）若二面角。-氏4-C的大小为60°，求直线9和平面MVC所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）眄

4

【分析】（1）由中位线得到线线平行，结合直角三角形的性质和勾股定理逆定理得到线线垂直，从而

求出线面垂直；

（2）在（1）的基础上得到线线垂直，结合二面角得到NCBD=60。，求出其他边的长度，进而证明

出平面建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量，求出线面角的正弦

值，进而得到余弦值._

【解析】（1）因为5CJLCD,N为5。的中点，BD=4i，

所以NC，BD=①，

22

又〃■为40的中点，

所以MN=LAB=旺,豆MNHAB,

22

因为MC=1,所以上加2+"。2=MC2,

即跖V_LNC,

因为48LAD,所以MNLAD,

因为BDcNC=N,NC,BDu平面BCD,

所以MM,平面3cD；

(2)因为儿W，平面BCD,MN//AB,

所以45_L平面5cD,

因为8C,CDu平面5cD,

所以ABLCD,

因为45LAD,

故二面角D-BA-C的平面角为ZCBD=60°,

所以BC=BDcos60°=-.

2

因为48,平面BCD,CDu平面BCD,

所以48LCD，

因为8CLCD,BCC4B=B,8C,Z3u平面NBC,

所以平面Z8C,

以B为坐标原点，BC,瓦4所在直线分别为甚y轴，以平行于CD的直线为z轴，建立空间直角坐标

系，

\

则5（0,0,0）,/（0,在0）后后乎°匠吗,

〔22J〔I42(2

144J

z八

D

fV2。4£\

144J

设平面MVC的法向量为=(x,y,z),

_.(也

n.NM=(x,y,z).0,—,0=?少=0

2

则《:I)

-正x+如z=0

----——二

4444

IV7

解得y=0,令z=l,则X=G，故行=(百

又BM=-

I424J

设直线期和平面MVC所成角大小为。，

(60,1)V6

--9---------9------------>

BM-n1424；2巫

则sin0=|cosSAf,n|=T

32XT4

\BM\-\nV3+lx

则cos。

故直线BM和平面MNC所成角的余弦值为巫

4

3.已知函数/(x)=xeX-l,g(x)=lnx-mx,=er-------.

xx

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)求e(x)的最小值；

(3)设/z(x)=/(x)—g(x),讨论函数6(x)的零点个数.

【答案】(1)[―1,+8)⑵1

(3)当加=-1时，函数/?(x)有一个零点，当加＜-1时，函数”x)有两个零点，当机〉一1时，函数

6(x)无零点

【分析】(1)求导后令/''(到20,计算即可得；

(2)求导后，令〃(x)=x2e'+lnx(x〉0),再次求导后可得〃(x)的单调性，无法直接求出使

〃(x)=0的解，因此虚设零点，借助零点的存在性定理，得到使x；e与+lnXo=O,再

1-

借助对数变形，得到与exo=ln―ex°,从而构造函数@(司=打、(、>0),结合函数单调性，得到

%

x()=ln1,代入夕(/)中，即可得解.

(3)变形后可得函数6(x)的零点个数即为9(X)=TW的实数根的个数，结合9(x)的单调性讨论即

可得.

【解析】(1)r(x)=(x+l)e\令广(x)NO,可得x»—1,

故/(x)的单调递增区间为卜1,+8);

”、H\x1-lwc1x2e¥+lnx/Q

⑵(p'{x]=ex———+—=——j—(x>0)，

XXX

令//(x)=x2ex+lnx(x>0),

贝U"(x)=(%2+2x)e*+—,

由x>0,故“(x)=+2x)e"+—>0恒成立，

故4(x)在(0,+")上单调递增，

又〃(，]=二£+1111=二£一1=^^<0'〃(l)=e+lnl=e>0,

\eJeeee

故存在/,使〃(%o)=O,即片e*+lnXo=O,

即°(x)在(0,x0)上单调递减，在(为,+8)上单调递增，

故夕(x)N0(2),

由x；/。+lnx0=0,则/e®=一里迎=ln」-d>,

X。%

(i)

令69(%)=/(%)+1=祀"(％>0),则有=@In一,

IxoJ

G'(X)=/'(%)=(x+l)e"当x>0时，0’(x)〉O恒成立，

故研》)在(0,+功上单调递增，故%o=ln2，即1口/=-工0，

rm/\Xlnx1In丁-x11,1,

则"(Xo)=e"。----nL——=e%——n——=—+1——=1,

X0X0X°xoxoxo

即0(x)的最小值为1；

(3)令〃(x)=/(x)-g(x)=xex-1-lnx+mx=0(x>0),

口rlux1zx

即有一zw=e-------=o(x),

XX

即函数”x)的零点个数为9(x)=-m的实数根的个数，

由⑵知，°(x)在(0,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，且9(%)=1,

又当X.0时，夕(X)—+8,当Xf+8时，+8,

故当一加=1,即加=-1时，夕(x)=-加有唯一实数根，

当一加〉1,即掰＜一1时，9(x)=-加有两实数根，

当一加＜1,即加〉一1时，9(%)=一加无实数根,

即当加=-1时，函数人(x)有一个零点,

当加＜-1时，函数人(x)有两个零点,

当加＞一1时，函数%(x)无零点.

变式：已函数/a)=%3+ax2+a+c(a,b,c£R),其图象的对称中心为(1,-2).

(1)求的值；

(2)判断函数/(x)的零点个数.

【答案】(1)-3(2)当c＞0时，函数/(x)有三个零点；当c=0时，函数/(x)有两个零点;

当c＜0时，函数/(x)有一个零点.如果是保留参数6,则答案为:

当6＞0时，函数/(x)有一个零点；当6=0时，函数/(x)有两个零点；当6＜0时，函数/(x)有

三个零点.

【解析】(1)图为函教/(X)的图象关于点(1,一2)中心付称，故v=/(x+l)+2为夺函数，

从而有/(x+1)+2+f(—%+1)+2=0,即/(x+l)+/(—x+1)=—4.

/(x+1)=(x+1?+Q(X+1)2+Z7(x+l)+c=x3+(。+3)%2+(2〃+b+3)x+a+b+c+l,

/(1-x)=(1—x)3+a(i-x)2+/?(l-x)+c=-x3+(6z+3)x2-(2a+6+3,+〃+/?+c+l

2。+6=0,

所以解得<7\i^a-b-c=-3；

2a+2b+2c+2=—4,b+c=0,

(2)法一：由(1)可知，/(x)=x3-3x2-cx+c,ff(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

当代—3时，/(x)为单调增函教，/(1)=-2<0,

/(/)=/-3c4-c3+c29c4-3c4-c3=6c4-c3+c=4c4+(4-4)+(/+c)〉0,

函数/(x)有且仅有一个零点；

当一3＜。＜0时，/'(x)=0有两个正根不＜%2，满足占+%3=2,X]・工2=-；＞0，且

-c=0,

数/(x)在区间(-8,X])上单调递增,在区间(X],乙)上单调递减，在区间(x2,+8)上单调递增,

/(%1)=-l)(3x；-6xJ=-2x((x；—3苞+3)<0,/(3)=-2>0,

函数/(x)有且仅有一个零点；

当c=0时，/(月=彳3-3/有两个零点

当c>0时，/'(3)=0有两个根石<0<%2，满足玉+彳2=2,网飞=一£<0，

函数/(X)在区间(-8,X])上单调递增，在区间(西,々)上单调递减，在区间(乙,+8)上单调递增，

/(X1)>/(0)=C>0,/(X2)</(1)=-2<0.

函致/(X)有且仅有三个零点；

综上，当c>0时，函数/(X)有三个零点；当c=0时，函数/(X)有两个零点；当c<0时，函数

“X)有一个零点

法二：由(1)可知，/(X)=X3-3X2-CX+C,/(1)=-2#：0,今/(x)=0,则一3(

x-1

32

可以转化为>=C与歹=Xr-3x两个这数图象交点的个数，

x—\

今丸(,二；：("]),则/⑺=2x(：；；+3),

故“X)在区间(-8,0)上单调递减，在区间(0』)上单调递增在区间。,+3)上单调递增，

当x单调递增+8时，a(x)=』(\3)〉x2,"x)趁于+“；6(0)=0；

当X趋于1且比1小时，〃(x)趋于+8：当涌于1且比1大时，6(x)趋于-8：

当x单调递增+”时，，(同「2(13)〉#小)趋于+”.

所以，当c>0时，有三个交点；当c=0时，有两个交点；当c<0时，有一个交点.

综上，当c>0时，函数/(x)有三个零点；当。=0时，函数/(x)有两个零点；当c<0时，函数

/(x)有一个零点.

注意，如果是保留参数4则答案为：

当6>0时，函数/(x)有一个零点；当6=0时，函数/(x)有两个零点；当6<0时，函数/(x)有

三个零点.

4.已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球(小球除颜色不同，其余完全相同)，某抽球试

验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者

在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球(与盒中小球除颜色不同,

其余完全相同)放入盒中，然后继续进行下一轮试验.

(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验(若第三轮不成功，也停止试验)，记甲进行的试验轮数为

随机变量X,求X的分布列和数学期望；

(2)若规定试验者乙至多可进行〃(〃eN*)轮试验(若第〃轮不成功，也停止试验)，记乙在第

n

左(丘曰,左<〃)轮使得试验成功的概率为耳，则乙能试验成功的概率为尸，证明:

k=l

p(")<:

49

【答案】(1)分布列见解析，—(2)证明见解析

18

【分析】(1)由条件确定的X取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望;

(2)由(1)中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解.

【解析】(1)由题意得，X的可能取值为1,2,3,

在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为

3

.•.尸（X=l）=

依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为工,

4

尸（X=2）="1

X

18

易知尸(X=3)=l—[尸(X=l)+尸(X=2)]=,

r.X的分布列为：

X123

£15

P

9186

11549

"的数学期望3）=12+2*+3乂/运

⑵证明：当左22时，不难知道匕=（1——好）

（左+1）2）（左+2）2

邓+）

--2-x-4-•-3-x-5•••-k-------2-•----1------2-义------1------

一3242（k+1）2（左+2>-3伍+1）依+2）

Pk~3x(k+i)(k+2)

由（i）可知6=[,又片=g三土一马

■P目」---q（公

k"3（左+1）《（后+2）、3（左+1左+2）、

，尸(〃)=索=:1」£_£J1

k=\32334〃+1n+2

121

------------<一

33(〃+2)3

即尸⑺〈;

变式：某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学

2

每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为若前一天选择冰糖雪

梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百

3

合汤的概率为：，如此往复.

（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.

（2）记该同学第几天中午选择冰糖雪梨汤的概率为《，证明：为等比数列.

（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.

7

【答案】（1）—；（2）证明见解析；

18

（3）同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.

【分析】（1）利用条件概率公式计算即得.

（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.

（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解.

【解析】（1）设4表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，4表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则4表示

第一天中午选择苹果百合汤.

根据题意得尸（4）=：尸（4）=:，尸（分4）=%尸（4a）=1—；=；，

尸（4）=尸（4）尸（4|4）+尸（圆尸（4闾

JJJ乙LO

（2）设4表示第〃天中午选择冰糖雪梨汤，则々=尸（4），尸（Z）=i-々，

根据题意得尸（4+J4）=%尸（4“[4）=1,

由全概率公式得尸（/向）=尸（4）尸（4/4）+尸（工）尸（4"4）=；《+g（i_£）

=-/+;，即&=-/+;，

111

不妨设乙I+八百仍+2），即P”-P"一广心

113

所以——A-A=-,解得4=——，

627

则尸川一9=一（（0"一又耳一^=授*"

所以:£一^｝是以Ti为首项'-工为公比的等比数列.

6

35M-1

（3）由(2)得，P=-+—x

“721

只需心＞1一月，即《＞：（〃=1,2,…,10）,

由题意,

353

则士+士＞-，即＞而(〃=1,2,…,10).

7212

显然〃必为奇数，偶数不成立.

当〃=1,3,5,7,9时，有

当〃=1时，显然成立.

当“=3时，W一3＜0,所以当〃=3时不成立.

⑺10

因为单调递减，所以〃=5,7,9也不成立.

综上，该同学只有I天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.

22

5.已知椭圆C：三+3=1（。〉0，b＞0）的左、右焦点分别为片、F2,离心率为经过点

片且倾斜角为夕［0＜夕＜5］的直线/与椭圆交于A、B两点（其中点A在X轴上方），△48乙的周

长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面X0沿X轴折叠，使y轴正半轴和X轴所确定的半平面（平面/与玛）与V轴负半

轴和X轴所确定的半平面（平面2片层）互相垂直.

②是否存在e[o<e<|^,使得折叠后△/台巴的周长为g?若存在，求tan。的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】（1）—+-—=1；（2）①—；②存在；tan0=3y.

432814

【分析】（1）由△48鸟的周长可求出。的值，从而由离心率的值可求得c=l,进而由椭圆中

/=b2+02的关系求出6的值，即可得椭圆的标准方程.

（2）①直线/的方程为歹=岳+#,与椭圆方程联立求出点43的坐标，再建立空间直角坐标系,

求出点耳,4瓦片的坐标，从而可得冗7,而2,再利用空间向量的夹角公式即可求解.

②由|4国+忸线|+|/例=£,|/闾+忸闻+|48|=8,可得|48|—|/阴=3,设折叠前

/（七,%）,5（々,%），直线/的方程叼=x+l与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可

求出机的值，从而可得直线/的斜率，进而可得tan。的值.

【解析】⑴由椭圆的定义知：.片|+H玛|=2a,怛耳|+出周=2。，

所以△48巴的周长£=4。=8,所以Q=2,

1c1

又椭圆离心率为:，所以一=—,所以C=l,〃=2—2=3，

2a2

由题意，椭圆的焦点在x轴上，

22

所以椭圆的标准方程为二+2=1;

43

22

（2）①由直线/：>一0=百（x+1）与'+'=1,

联立求得/（0,、回），（因为点A在x轴上方）以及台[—1,—

再以。为坐标原点，折叠后原了轴负半轴，原x轴，原了轴正半轴所在直线为x,v,z轴建立空间直

角坐标系，则

7^（0,-1,0）,/（o,o,VI）,S^|V3,-|,oj,6（0,1,0）,

^4=（0,1,A/3）,瓯[一患go].

FyA,BF2

记异面直线/片和BF所成角为9,则cos（p=|cos<FA,BF>|=13

2X228：

②设折叠前/（XQ1）,5（%2，%）,折叠后A,8在新图形中对应点记为4,B',/'（看,乂,0）,

I+\B'F21+\A'B'\=y,\AF^+\BF^+\AB^%,故|48|—|/同=；,

my=x+1

将直线/方程与椭圆方程联立，得（3m2+4）J?—6即一9=0,

143

6m-9

在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原X轴仍然为X轴，原V轴正半轴为了轴，原了轴

负半轴为Z轴）；

y

X-X2

所以|4同一“m-V(12)+(必一%)2-J('l一%)2+弁+yl=(i)

2

-2凹为__________________=J_

又J(Xi—X2)+(必一3)+加]_12)2+才+£5，

所以j(Xi-Xi『+(弘一乃『+J(X]一％J+丁：+J：=.4%乃，(ii)

2

6m2

所以(1+/j_18

3m2+4i+上43m2+4

22

1+m£18

即144

3m2+443m2+4

12+12加2118Q/曰228

所以——----=一+--——，解得加二「，

3冽2+443冽2+445

因为0＜夕〈工，所以tane=L="S.

2m14

变式：直线