2024年中考数学复习：二次函数(解析版)

专题09二次函数

一.选择题

1.（2022•陕西）已知二次函数y=x2-2x-3的自变量无，x,x对应的函数值分别为了，了，了.当

123123

-l<x<0,i<x<2,x>3时，y,y,y三者之间的大小关系是（）

123123

A.y<y<yB.y<y<yC.y<y<yD.y<y<y

123231312213

【答案】D

【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为X=l,再求出抛物线与X轴的两个交点坐标为（-1,0）和

（3,0）,根据开口向上即可判断.

【详解】解:「抛物线>=12-2%一3=0-1）2-4,

・•・对称轴x=l,顶点坐标为（1,-4）,

当尸0时，（x-l）2-4=0,

解得％=-1或x=3,

••・抛物线与x轴的两个交点坐标为：（-1,0）,（3,0）,

.・・当一l<x<0,i<x<2,x>3时，y<y<y9故选：D.

123213

【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的

增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型.

2.（2022■山东潍坊）抛物线y=X2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）

A.--B,-C.-4D.4

44

【答案】B

【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0,即可求出c的值.

【详解】解：,<y=X2+x+C与X轴只有一个公共点，

.*.X2+X+C=0有两个相等的实数根，

•••△=l-4c=0,

解得：c=--.故选：B.

4

【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键.

3.（2022•湖南郴州）关于二次函数>=Q-l）2+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（T,5）

C.该函数有最大值，是大值是5D.当x>l时，y随x的增大而增大

【答案】D

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可.

【详解】解：对于产（X-1）2+5,

••-«=1>0,故抛物线开口向上，故A错误；

顶点坐标为（1,5）,故B错误；

该函数有最小值，是小值是5,故C错误；

当x>l时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D.

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与

坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

4.（2022•山东青岛）已知二次函数y=ax2+6x+c的图象开口向下，对称轴为直线x=-l,且经过点（-3,0）,

则下列结论正确的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3a+c-0

【答案】D

【分析】图象开口向下，得对称轴为直线x=-3=-l,得6=2a,则6<0,图象经过（-3,0）,根据对

称性可知，图象经过点（1，。），故c>0,当时，a+b+c=0,将b=2a代入，可知3〃+c=0.

【详解】解：•・・图象开口向下，

•・,对称轴为直线=,

2a

-'-b=2a,

•''b<0,故A不符合题意；

根据对称性可知，图象经过（-3,0）,

・・・图象经过点（L0）,

•••c>0,故B不符合题意；

当x=l时，a+b+c=O,故C不符合题意；

将将b=2a代入，可知3a+c=O,故D符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的

图象特征是解决问题的关键.

5.(2022•黑龙江哈尔滨)抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)

【答案】B

【分析】根据二次函数的顶点式＞=〃(》-〃)2+左可得顶点坐标为仇左)即可得到结果.

【详解】••・二次函数解析式为＞=2(X+9)2-3,

;顶点坐标为(-9,-3)；故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键.

6.(2022•浙江湖州)把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是()

A.y=X2-3B.y=x2+3C.y=(x+3"D.y=(x-3)2

【答案】B

【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.

【详解】•••抛物线y=x2向上平移3个单位，

・・・平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.故答案为：B.

【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.

7.(2022・湖北武汉)二次函数y=(x+")+〃的图象如图所示，则一次函数V="犹+〃的图象经过()

B.第一、二、四象限

D.第二、三、四象限

【答案】D

【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出加＜0,n＜0,即可得出一次函数方机的图象经过二、三

四象限.

【详解】解：,••抛物线的顶点Gm,〃)在第四象限,

・•・-加>0,«<0,

・•・一次函数y=冽的图象经过二、三、四象限，故选：D.

【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，

关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出人加的符号.

8.（2022•广西玉林）小嘉说：将二次函数y=X2的图象平移或翻折后经过点（2,0）有4种方法：

①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度

你认为小嘉说的方法中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题.

【详解】解：①将二次函数y=X2向右平移2个单位长度得到：y=（x-2»,把点（2,0）代入得：

J=（2-2）=0,所以该平移方式符合题意；

②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=把点（2,0）代

入得：>=（2-1）-1=0,所以该平移方式符合题意；

③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到y=x2-4,把点（2,0）代入得y=22-4=0,所以该平移

方式符合题意；

④将二次函数了=心沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=-x2+4,把点（2,0）代入得：

^=-22+4=0,所以该平移方式符合题意；

综上所述：正确的个数为4个；

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键.

9.（2022•湖南岳阳）已知二次函数了=««2-4机2%-3（%为常数，加W0）,点尸Q/）是该函数图象上一

pP

点，当0<xV4时，j<-3,则加的取值范围是（）

pP

A.加2/或加<0B.m>l

C.加4一1或加>0D.m<—\

【答案】A

【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与歹轴的交点坐标，再分两种情况加〉0或冽<0,根据二次函数

的性质求得加的不同取值范围便可.

【详解】解：,・,二次函数y=znx2-4加2工一3,

・•・对称轴为x=2根,抛物线与〉轴的交点为（0,-3）,

•.•点pQ/）是该函数图象上一点，当04xW4时，y<-3,

pppP

.•.①当〃z〉0时，对称轴x=2m>0,

此时，当％=4时，>工一3,即加.42—4加2-4-3<-3,

解得加2/；

②当加<0时，对称轴x=2加<0,

当0<x<4时，>随工增大而减小，

则当OWxV4时，yW—3恒成立；

pp

综上，加的取值范围是：加2/或加<0.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论.

10.（2022•四川宜宾）已知抛物线了=田+加+。的图象与X轴交于点/（-2,0）、8（4,0）,若以N2为直径的

圆与在x轴下方的抛物线有交点，贝上的取值范围是（）

A.a>—B.a>-C.0<«<—D.0<tz<—

3333

【答案】A

【分析】根据题意，设抛物线的解析式为>=a（x+2）Q-4）,进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶

点纵坐标小于或等第满足题意，即可求解.

【详解】解：；抛物线）=<w+6x+c的图象与x轴交于点4（-2,0）、B（4,0）,

设抛物线的解析式为y=a（x+2）Q-4）

y=axi-2ax-Sa=a（x-l）2-9a

顶点坐标痂,-9a）,

•.・"8=6,以为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3,如图,

—9〃V—3

解得

故选：A

【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键.

11.(2022山东威海)如图，二次函麴(aWO)的图像过点2,0),下列结论错误的是)

A.b>0

B.a+b>0

C.x=2是关于％的方程QX2+&r=0(aWO)的一个根

D.点匕)，(马，歹2)在二次函数的图像上，当弓>%>2时，y2<y7<0

【答案】D

【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可.

【详解】解：根据图像知，当X=1时，尸〃+6>0,

故B选项结论正确，不符合题意，

,/<0,：.b>0,故A选项结论正确，不符合题意；

由题可知二次函数对称轴为1=-2=1,

2a

•*-b=-2a,:.a+b=a-2a=-a>0,

故B选项结论正确，不符合题意；

根据图像可知x=2是关于X的方程的+云+°=0（（270）的一个根，

故C选项结论正确，不符合题意，

若点（x,y）,（x,y）在二次函数的图像上，

1122

当x>x>2时，y<y<0,故D选项结论不正确，符合题意，故选：D.

1212

【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.

12.（2022,广西）已知反比例函数夕=2出片0）的图象如图所示，则一次函数y=ex-a（c片0）和二次函数

x

y=ax2+6x+c（a/0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【答案】D

【分析】先由反比例函数图象得出6>0,再分当30,。<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的

选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案.

【详解】解：•••反比例函数了=2。W0）的图象在第一和第三象限内，

x

-'-b>0,

若a<0,则-2>0,所以二次函数开口向下，对称轴在了轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；

2a

当a>0,贝1J-2<O时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有c、D两选项可能符合题意，由

2a

C、D两选图象知，c<0,

又：a>0,则-a<0,当c<0,°>0时，一次函数产cx-a图象经过第二、第三、第四象限，

故只有D选项符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系

数的关系是解题的关键.

13.（2022•山东潍坊）如图，在口48co中，乙4=60。，AB=2,AD=1,点E,F在口/BCD的边上,从点/同

时出发，分别沿/玲8玲C和/玲。玲C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段£尸

扫过区域的面积记为小运动时间记为x,能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）

【答案】A

【分析】分0打41,l<x<2,2支43三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可.

【详解】解：当0W1时，过点尸作尸GL4B于点G,

,•,/^4=60°,AE=AF=x,

■■.AG=LX,

2

由勾股定理得/

2

,卡二叵

•LAExFGX2,图象是一段开口向上的抛物线;

24

,・2DAH=6b,AE=x,4D=1,DF=x-l,

：,AH=L,

2

由勾股定理得。〃二正，

2

.,/L〈DF+AE)XDH=2HX-立，图象是一条线段;

224

.:乙=乙

CDAB=60°,CE=CF=3-X9

同理求得以二且(3-x),

2

.•产ABxDH-LCFxEI=4-立(3-x)2二-1向义六巫,图象是一段开口向下的抛物线;

24424

观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A.

【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的

直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象.

14.（2022・辽宁）如图，在放A/BC中，ZABC=9G°,AB=2BC=A,动点P从点/出发，以每秒1个单位

长度的速度沿线段匀速运动，当点尸运动到点2时，停止运动，过点尸作PQ，交/C于点。，将“PQ

沿直线尸。折叠得到A/'P。，设动点尸的运动时间为/秒，A/'P。与A/BC重叠部分的面积为S,则下列图

象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

【答案】D

【分析】由题意易得/尸=，，tanZ^=1,则有尸。=；/,进而可分当点P在中点的左侧时和在中

点的右侧时，然后分类求解即可.

【详解】解：8。=90。,/3=23。=4,

tan1,由题意知：AP=t,.-.PQ=AP-tanZA=—t,

由折叠的性质可得：A'P=AP,ZAPQ=ZA'PQ=90°,

当点尸与48中点重合时，则有f=2,

当点尸在48中点的左侧时,即0V/<2,

"'PQ与t^ABC重叠部分的面积为S=—P■PQ=—t,—t=—t2;

5T22224

当点尸在”中点的右侧时，即2W4,如图所示:

由折叠性质可得：HP=4P=t,Z-APQ-Z-APQ=90°,tanAA=tan乙4'=；,

BP=4-t,A'B=2^-4,BD=ArB-tanAA=t-2,

•••△，'P0与4BC重叠部分的面积为S=~^(BD+PQ).PB=-+—2|-(4—0=——^2+4z—4；

梯形pm。2212J4

综上所述：能反映△HP。与△/BC重叠部分的面积S与％之间函数关系的图象只有D选项；故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键.

15.(2022•贵州铜仁)如图，若抛物线y=ax2+fox+c(aW0)与x轴交于4、8两点，与歹轴交于点C,若

ZOAC=ZOCB.则。。的值为(

11

C.D.

23

【答案】A

【分析】观察图象，先设Z(x,0)(x<0),B(x,0)(x>0),C(0,c)(c>0),根据已知条件N04C=NOCB及

1122

OC证明/\OAC〜△OC8,得出k.%|=C2=_%.%,利用根与系数的关系知X,%=£,最后得出答案.

121212a

【详解】设4%,0)。<0)，B(X,0)(x>0),C(0,c)(c>0),

1122

•・,二次函数>=QX2+6x+c的图象过点C(0,C),

OC=c,

VZOAC=ZOCB,OC.LAB,

•••△04AOCB,

OAOC

''OC~~OB"

・•・OC2=OAOB,

即|x•X\=C2=-X-X,

令QX2+&r+C=0,

c

根据根与系数的关系知X•%=—，

12a

.C

--XX=--=C2,

12a

故m=-1故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数y=62+6x+c（。70）与关于方程办2+6x+c=0（。*0）之间的相互转换，同时

要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键.

16.（2022•黑龙江牡丹江）若二次函数的图象经过点尸（-2,4）,则该图象必经过点（）

A.（2,4）B.（-2,-4）C.（-4,2）D.（4,~2）

【答案】A

【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将尸（一2,4）代入y=G2,得4=。（-2）=。=1,

・•・二次函数解析式为y=x2,

・••所给四点中，只有（2,4）满足歹二X2.故选A.

17.（2022•内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-）+l的图象向左平移1个单位长度，再

向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A.y=\x-2）2-1B.y=^x-2）2+3C.y=x2+lD.y=x2-1

【答案】D

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：将二次函数了=6-1>+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函

数的解析式为了=（工-1+1>+1-2=工2-1故选D.

【点睛】本题考查了抛物线的平移规律.关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律.

18.（2022•四川遂宁）如图，。、E、F分别是A4BC三边上的点，其中3C=8,BC边上的高为6,且

DE//BC,贝！IADEF面积的最大值为（)

A

C.10D.12

【答案】A

【分析】过点A作4MlBC于M,交DE于点、N,则AN1DE,设AN=a,根据。E||BC,证明

4

△ADE〜"BC,根据相似三角形对应高的比等于相似比得到=列出△。跖面积的函数表达式，根

据配方法求最值即可.

如图，过点4作于M,交DE于点N,贝4V1DE,

设AN=a,

•・,DE||BC,

/.ZADE=/B,ZAED=ZC,

.^,ADE45c,

DEAN

.正一而’

DEa

一丁二不，

“4

/.DE=—a.

3

11422

S=—•DE-MN=—x—qx(6—a)=一—〃2+4。=一一(a—3)2+6,

△DEF22333

・•・当Q=3时，S有最大值，最大值为6,故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题

的关键.

19.(2022・四川自贡)已知4-3,-2),8(1,-2),抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保

持不变，与x轴交于C,。两点(C在。的右侧)，下列结论：

①C2-2；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点D横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABCD为平行四边形时，a=l.其中正确的是()

A.①③B.②③C,①④D.①③④

【答案】D

【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，可判断①;

根据二次函数的增减性判断②；先确定x=l时，点。的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求

出此时点C的横坐标，即可判断③；令片0,利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，

然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD,然后列出方程求出a的值，判断④.

【详解】解：•••点A,8的坐标分别为(-3,-2)和(1,-2),

线段AB与y轴的交点坐标为(0,-2),

又•••抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),

・•・C-2,(顶点在y轴上时取故①正确；

••・抛物线的顶点在线段A8上运动，开口向上，

.,.当x>l时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线x=-3,

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3,故③正确；

令片0,贝ox2+bx+c=0,

bc

设该方程的两根为X1，X2，则々+*2=-1,XX^-,

_//b、Acb2-4ac

••・CD2=(X-x)2=(X+X)2-4XX=(_-)2—4X—=---------,

aaQ2

根据顶点坐标公式，士生=-2,

4a

Ji7,即丝上=8,

aa

•・•四边形ACD8为平行四边形，

'.CD=AB=1-(-3)=4,

Q1

.-.—=42=16,解得。二—，故④正确；

a2

综上所述，正确的结论有①③④.故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系

数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况.

20.（2022•江苏泰州）已知点（-3,乙）,（-1%）,（1,八）在下列某一函数图像上，且八＜乂〈八那么这个函数是

（）

33

A.y=3xB.y=3x2C.y=—D.y=

xx

【答案】D

【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出匕、匕、匕的值，比较大小即可得出答案.

【详解】解：A.把点（一3,»）,（-1/）,（1/）代入y=3x,解得匕=9,几=3,兀=3,所以匕9,〈无，这与已知

123,123123

条件八＜乙＜匕不符，故选项错误，不符合题意；

B.把点（-3,y）,（-1,y）,（1/）代入产3x2,解得y=27,y,=3,兀=3,所以匕＞了,=打，这与已知条件V＜V＜y

1231ZJ312

不符，故选项错误，不符合题意；

c.把点（-3/）,（-1/）,（1,y）代入广解得匕=1,无=3,儿=3,所以匕＜匕＜兀，这与已知条件y＜y＜y

不符，故选项错误，不符合题意；

D.把点（一3，八）,（一1%）,（1,八）代入尸|,解得y=l,y=3,y3=-3，所以心＜乂＜%,这与已知条件八＜乂＜方

相符，故选项正确，符合题意；故选：D.

【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和

函数的性质.

21.（2022•广西贺州）已知二次函数y=2x2YxT在CKx4时，y取得的最大值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出了=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案.

【详解】解：：二次函数产2X2-4X-1=2（x-1）2-3,

••・抛物线的对称轴为x=l,顶点（1,-3）,

开口向上，

.•.在对称轴x=l的右侧，y随x的增大而增大，

•••当时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15,

二当x=a时，y=15,

.,■2（a-1）2-3=15,

解得：。=4或a=-2（舍去），

故a的值为4.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函

数的性质解答.

22.（2022•内蒙古包头）已知实数a,6满足则代数式现+26-64+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】由已知得加a+1,代入代数式即得"4a+9变形为（a-2）2+5,再根据二次函数性质求解.

【详解】解：

•••6=〃+1,

.•・q2+2b-6a+7

=42+2（〃+1卜6。+7

二。2-4。+9

=（«-2）2+5,

V（4Z-2）2>0,

・•・当即2时，代数式点+2加6a+7有最小值,最小值为5,故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成（a-2）2+5是解题的关键.

23.（2022•黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数y=ax2+6x+c（a/0）的图象与y轴的交点在（0,1）与（0,

2）之间，对称轴为x=-l,函数最大值为4,结合图象给出下列结论①6=2°；②-3<a<-2；③4好-4<0；

④若关于x的一兀二次方程办2+反+°=加-4。0）有两个不相等的实数根，则加>4；⑤当x<0时，y

随工的增大而减小.其中正确的结论有（）

【答案】B

【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可.

【详解】解：,・,二次函数y=Q2+bx+c（awO）的对称轴为x=—l,

.・./?=2a,故①正确；

,・・函数图象开口向下，对称轴为x=-l9函数最大值为4,

.•・函数的顶点坐标为（-1,4）

当时，a-b+c=4

-2〃+。=4

.・.c=4+。，

••・二次函数丁=利2+历+。（4。0）的图象与歹轴的交点在（0,1）与（0,2）之间，

-3<。-2,故②正确；

•・・抛物线与x轴有两个交点，

Z>2-4ac>0

•••4ac-b2<0,故③正确；

,•,抛物线的顶点坐标为G1,4）且方程am+bx+c=加一4有两个不相等的实数根,

0<m-4<4

4<m<8,故④错误;

由图象可得，当无>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误.

所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键.

24.（2022•湖北鄂州）如图，已知二次函数y=ox?+bx+c（a、b、c为常数，且30）的图像顶点为P（1,

m'）,经过点/（2,1）；有以下结论：①a<0；②abc〉0；③4a+2b+c=l；④x>l时，>随x的增大而减小;

⑤对于任意实数f,总有at2+bt<a+b,其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定。、6、c的正负即可

解答；③将点/的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可.

【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则。<0,故①正确；

②••,抛物线的顶点为尸（1,m）=b=-2a-a<0.-.b>0

2a

,抛物线与y轴的交点在正半轴••.cACUMcCO,故②错误；

③,•■抛物线经过点/（2,1）a-h+lb+c,即4a+26+c=l,故③正确；

④・•,抛物线的顶点为尸（1,m）,且开口方向向下

・•.x>l时，y随x的增大而减小，即④正确；

（5）a<0at2+bt-（a+6）=at2-2at-a+2a=at2-2at+a=a（f2-2/+l）=a（M）2<0

.­.at2+bt<a+b,则⑤正确综上，正确的共有4个.故答案为C.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为

解答本题的关键.

25.（2022•四川雅安）抛物线的函数表达式为）=（x-2）2-9,则下列结论中，正确的序号为（）

①当x=2时，y取得最小值-9；②若点（3,乙），（4,“）在其图象上，则巳>为；③将其函数图象向

左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=（x-5）2-5；④函数图象

与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.

A.②③④B.①②④C.①③D,①②③④

【答案】B

【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数

图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案.

【详解】解：：了=(x-2)2-9,图象的开口向上，

.•.当x=2时，y取得最小值-9；故①符合题意；

尸(x-2)2-9的对称轴为x=2,而3-2<4-2,.,.%>《，故②符合题意；

将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x+1)

2-5,故③不符合题意；

当>=0时，则Q-2)-9=0,解得：x-5,x=-1,而5-Cl)=6,

12

故④符合题意；故选B

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握"二次函数的图象与性质"

是解本题的关键.

二.填空题

26.(2022•辽宁营口)如图1,在四边形中，BC//AD,ZD=90°,ZA=45°,动点、P,0同时从点/出

发，点P以42cm/s的速度沿月3向点8运动(运动到8点即停止)，点。以2cm/s的速度沿折线NDfDC

向终点C运动，设点。的运动时间为式s),A/尸。的面积为yQmz),若y与x之间的函数关系的图像如图

_7

2所示，当x=](s)时，则了=cmz.

【分析】根据题意以及函数图像可得出A/EQSA/尸。，则点。在/。上运动时，A/尸。为等腰直角三角形,

然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时X=3,则4D=2x=6cm,当3<x44时，过点尸作

尸尸；。于点F,则此时S.=S.+S^pQDF-S^DQ，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解

7

析式，将x=]⑸代入解析式求解即可.

【详解】解：过点。作,垂足为£,

在RtAADE中，

•.ZED=90°,ZEAD=45°,

,AE-J2

•,--------=-------9

AD2

・・•点尸的速度为四cm/s,点。的速度为2cm/s,

AP=72x,AQ=2x,

./尸瓜近

''AQ~2t~2'

在尸0和中，

AEAP41,

v——=——=—,ZAA=4C5O°,

ADAQ2

小AEDS^APQ,

•••点。在/。上运动时，A/P。为等腰直角三角形,

•••AP=PQ=v'2x,

二当点。在4D上运动时，y=^AP-AQ=^xy/2xx>[2x=x2,

由图像可知，当y=9此时面积最大，x=3或-3（负值舍去）,

AD=2x=6cm,

当3<x44时，过点p作尸/_LND于点尸，如图:

二s+s-s

此时s”△APF四边形P0Q产^ADQ

在放“尸。中，”=向,44=45。，

AF—PF=x,FD—6—x,QD=2x-6,

**•STp?=—x2+—(%+2.x—6),(6—x)——x6x(2.x-6),

即y=-X2+6x,

所以当X=](s)时，y=-g)2+6x'|=1'(cm2),

35

故答案为：—.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键.

27.(2022•江苏无锡)把二次函数y=x2+4x+加的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如

果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么加应满足条件：.

【答案】m>3

【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为(-2,m-4),再求得平移后的顶点坐标为(1,m-3),根据题意得到

不等式m-3>0,据此即可求解.

【详解】解：■■-y-x2+4x+m=(x+2)2+m-4,

此时抛物线的顶点坐标为(-2,m-4),

函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(-2+3,m-4+l),即(1,

m-3),

・••平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，

解得：m>3,

故答案为：m>3.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新

抛物线的顶点坐标.

28.（2022•福建）已知抛物线y=X2+2x-"与x轴交于/,8两点，抛物线y=尤2-2龙-〃与x轴交于C,D

两点，其中〃>0,若AD=2BC,则〃的值为.

【答案】8

【分析】先求出抛物线V=x2+2x-〃与X轴的交点，抛物线y=X2-2X-"与》轴的交点，然后根据AD=2BC,

得出/»=48C2,列出关于〃的方程，解方程即可。

【详解】解：把y=0代入y=x2+2x-〃得：X2+2x-n=0,

27

解得：x=.--^^.=_i_yr^,x=-2+7??^=一1+皿,

1222

把产=0代入y=工2-2%-〃得：x2-2x-n=0,

解得：X=三四^二1一后，1=生匹亚=1+E，

3242

•・♦AD=2BC,

•••AD2=45。,

(x-%>=4G-%>,

令。1+〃=加,则（―1一冽）二4（1一冽»,

解得：m=:，m=3,

i32

当飞二；时，J1+〃=；，解得：〃=-；，

n>0,

不符合题意舍去；

当相，=3时，J1+”=3,解得：»=8,

8>0,

.”=8符合题意；

综上分析可知，n的值为8.

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用〃表示出=4802,列出关于〃的方程

是解题的关键.

29.（2022•湖北荆州）规定：两个函数八，匕的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为，函数".例如:

函数匕=2x+2与匕=-2x+2的图象关于了轴对称，则这两个函数互为，函数若函数

y^kx2+2（k-l）x+k-3（左为常数）的"丫函数"图象与x轴只有一个交点，则其函数"的解析式为

【答案】y=2x-3^y=-x2+4x-4

【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得.

【详解】解：；函数》=丘2+2（"1卜+"3（左为常数）的"Y函数"图象与x轴只有一个交点，

二函数y=A%2+2Q-l）x+左-31为常数）的图象与x轴也只有一个交点，

当上。时，函数解析为y=-2x-3,它的"y函数"解析式为y=2x-3,它们的图象与x轴只有一个交点，

当左片0时，此函数是二次函数，

它们的图象与X轴都只有一个交点，

,它们的顶点分别在x轴上，

.必。-3）-[2（1上。得2=0,

4kk

故左+1=0,解得仁-1,

故原函数的解析式为y=-x2-4x-4,

故它的"y函数"解析式为＞=-x2+4X-4,

故答案为：y~—3^y=—x2+4x-4.

【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二

次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

30.（2022•贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线V=m+2x—1先绕原点旋转180°,再向下平移5个

单位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

【答案】（L-3）

【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据"上加下减，左加右减''的

法则进行解答即可.

【详解】解：y=X2+2x-l=(x+l)2-2,

••.抛物线的顶点为（-1,-2）,

将抛物线歹=用+右一1先绕原点旋转180。抛物线顶点为（1,2）,

旋转后的抛物线为y=-G-l»+2,

再向下平移5个单位，j=-G-l>+2-5gPy=-（x-l>-3.

••・新抛物线的顶点（1,-3）

故答案是：（1,-3）.

【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键.

31.（2022•黑龙江大庆）已知函数〉=加元+3加x+机-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数加的值为

4

【答案】1或-]

【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况,

函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可

【详解】当函数图象过原点时，函数y=/wx2+3机x+机-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，

此时满足加-1=0,解得加=1；

当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，

此时满足A=（3m）2-4m（m-1）=0,解得加=0或加=-*,

当加=0是，函数变为>=T与了轴只有一个交点，不合题意；

4

综上可得，机=1或加=-5时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点.

4

故答案为：1或一三

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数

的图象和性质.

32.（2022•山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量

y（个）与销售价格X（元/个）的关系如图所示，当10WxW20时，其图象是线段N3,则该食品零售店每天

销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=总销售额-总成本）.

【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据〃利润二单价商品利润X销售量〃列出二次函数关系式,

从而根据二次函数的性质分析其最值.

【详解】解：当10Wx<20时，设y=Ax+A,把(10,20),(20,10)代入可得：

]10左+6=20

[20k+b=109

(k=-l

解得"o,

每天的销售量y(个)与销售价格X(元/个)的函数解析式为y=f+30,

设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，

w—G-8)y=(x—8)C~x+30)=—x^+3—240=-(x—191+121,

l<0,

二当x=19时，w有最大值为121,

故答案为：12L

【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握"利润=单价商品利润x销售量”的等量关系及二次函数的

性质是解题关键.

33.(2022・广西贵港)已知二次函数了=亦2+法+80片0),图象的一部分如图所示，该函数图象经过点

(-2,0),对称轴为直线x=对于下歹|结论：①。命<0；②4一4欧>0;③a+b+c=O；④

ami+bm<\{a-2b)(其中切力-：)；⑤若N(x,了)和8(x,y)均在该函数图象上，且x>x>1,贝ij

11

42