2024年北京市海淀区首都师范大学某中学中考模拟数学调研试卷（5月份）

2024年北京市海淀区首都师大附中中考模拟数学调研试卷（5

月份）

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无

效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再

将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定

位置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（）

2.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号下摇十七运载火箭在酒泉卫星

发射中心成功发射.长征二号尸（代号：CZ-2F,简称：长二斤，绰号：神箭）主要用于

发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是8500千克.将8500用

科学记数法表示应为（）

A.85x10?B.8.5xlO2C.8.5xlO3D.0.85xlO4

3.己知9+3<0,则下列结论正确的是（)

A.—3<m<—m<3B.m<—3<—m<3C.—3<m<3<—mD.m<—3<3<—m

4.下列几何体中，主视图是三角形的是（

5.如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以。点为圆心,

以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点"表示的数是（）

C.2.2D.G

6.下列各式中，运算正确的是（）

A.y[a+^b=yja+bB.\[ci-—Ja—b

D.；4=-^=(a>0,b>°)

C.y/a2+b2=a+b

7a7byjab

7.如图，在ABC中，ZABC=90。，在边AC上截取=连接过点A作AELBD

于点E.已知AB=3,BC=4,如果尸是边3C的中点，连接E尸，那么E尸的长是（）

A.1B.2C.3D.5

8.如图，ZABC=90°,BA=BC,8M是/ABC内部的射线且NCBM<45°,过点A作AD_L3M

于点。，过点C作CEL3M于点E,在ZM上取点F，使得DF=DE,连接所.

设CE=a,BE=b,EF=c,给出下面三个结论：

①c=及3-a);

®a+c<｛廿+(b-、)2;

③岳>」片+尸.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

E—M

A.①②B.①③D.①②③

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填写在答题卡相应位置上）

9.若目在实数范围内有意义，则实数尤的取值范围是.

10.分式方程二7=75-2的解X=_____________.

尤一12尤一2

11.在平面直角坐标系xOv中，若点A。,乂），*3,%）在反比例函数〉=：/>°）的图象上，

则％%（填〈”或“=

12.如图，AB是。，。的直径，尸是AB延长线上一点，PC与:。相切于点C.若/尸=40。，

则NA=°.

13.小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：

将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌

的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循

环往复，最终到只留下一张纸牌为止.例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续

去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌.将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，

最终留下的是第张纸牌；将机张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第

1张纸牌，则7"=（用含w的代数式表示，其中"为自然数）.

14.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为3。，点A,B,C在同一直线上，点。-

。2分别为两个正六边形的中心.贝ijtanNOzAC的值为.

15.10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示:

队员1队员2队员3队员4队员5

甲队177176175172175

乙队170175173174183

则两队队员身高的平均数焉&（填〉、＜或=）,身高的方差策（填＞、＜或=）.

16.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出

中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端45=18分米，C为中点，

。为拱门最高点，圆心。在线段8上，8=27分米，则拱门所在圆半径的长为分米.

三、解答题（本大题共12小题，共80分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：2T—40也45。+7§+（万一1）°.

18.已知尤?+2x=l,求代数式4（x+l）+（x-l）~的值.

3x-7>-l

19.解不等式组：11।

—x+—>1

122

20.在平面直角坐标系xOy中，函数》=日+仇人0)的图象经过点A(l,3)和8(—L—1),与

过点(-2,0)且平行于y轴的直线交于点c.

⑴求该函数的表达式及点c的坐标；

(2)当x<-2时，对于x的每一个值，函数y=nx(〃w0)的值大于函数y=丘+优左片0)的值且

小于-2,直接写出”的取值范围.

21.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、8£>相交于点0,BD=2BC,E、F、G

分别是OC、OD、AB的中点.

⑴求证BE，AC；

（2）连接"，求证：四边形AG所是菱形.

22.某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均GAP之间的关系，收集了2023

年31个城市的人均GDP数据（单位：万元）以及城市GZ）尸排名，进行了相关的数据分析,

下面给出了部分信息.

a.城市的人均GD尸的频数分布直方图（数据分成5组：5<x<8,8<x<ll,ll<x<14,

b.城市的人均GDP（万元）的数值在11<%<14

这一组的是：12.3,13.2,13.6,13.8；

J以下是31个城市2023年的人均G。（万元）和城市GD尸排名情况散点图:

根据以上信息，回答下列问题

(1)某城市的人均GDP为13.8万元，该城市GDP排名全国第；

⑵在31个城市2023年的人均GDP和城市GAP排名情况散点图中，请用“。”画出城市GDP

排名的中位数所表示的点；

(3)观察散点图，请你写出一条正确的结论.

23.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度

为30℃,流速为20ml/s,开水的温度为100℃,流速为20nd/s,某学生先接了一会儿温水,

又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60。。的水(不计热损失)，求该学生分别接温水

和开水的时间.

前□

出水口

物理常识:

开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：开水

的体积X开水降低的温度=温水的体积X温水升高的温度.

24.如图，矩形AOBC的顶点8,A分别在无轴，y轴上，点C坐标是(5,4),。为边上

(1)如图1,求点。的坐标；

(2)如图2,若P是AF上一动点，尸〃，4。交47于加，PNLCF交CF于N,设AP=r,

FN=s,求s与t之间的函数关系式；

⑶在(2)的条件下，是否存在点P,使PMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

25.对于平面内的点K和点L,给出如下定义:

若点。是点L绕点K旋转所得到的点，则称点。是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于

90°,则称点。是点L关于点K的锐角旋转点.如图1,点。是点L关于点K的锐角旋转点.

⑴已知点4（4,0）,在点。"0,4）,02（2,2石）,23卜2,2君）,04（20,-2夜）中，是点人关于点0

的锐角旋转点的是.

（2）己知点3（5,0）,点C在直线y=2x+6上，若点C是点8关于点。的锐角旋转点，求实数

6的取值范围；

⑶点D是x轴上的动点，0«,0）,E（-3,0）,点打八〃）是以O为圆心，3为半径的圆上一

个动点，且满足〃20.若直线V=2x+6上存在点尸关于点E的锐角旋转点，请直接写出f的

取值范围.

26.在平面直角坐标系中，对于线段MN,直线/和图形W给出如下定义：线段MN关

于直线/的对称线段为MN'（Af,N'分别是M,N的对应点）.若与均与图形W（包

括内部和边界）有公共点，则称线段为图形卬关于直线/的“对称连接线段”.

BC，B2C2,83c3中，是，。关于直线y=x-l的“对称连接线段”的是

⑵如图2,已知点尸（0,1）,以。为中心的正方形ABCD的边长为4,各边与坐标轴平行，若

线段OP是正方形ABCD关于直线y=kx+2的“对称连接线段”，求k的取值范围.

⑶已知（。的半径为r,点M（l，0）,线段MN的长度为1.若对于任意过点Q（0,2）的直线I,

都存在线段是。关于/的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围.

27.我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日

影，正地中，定四时，如图1,圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面

的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气.

夏至

图2

在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2,地面上放置一根长2米的杆AB,向

正北方向画一条射线BC,在2c上取点。，测得3D=1.5m,AD=2.5m.

⑴判断：这个模型中AB与BC是否垂直.答:(填"是”或“否”)；你的理由是：.

(2)利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角30。，夏至正午阳光与日影夹角为

60°,请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差(结果保留根号).

28.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷

水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为/z米.

(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关

系的图象;

(2)若水柱最高点距离湖面的高度为根米，则m=_；

(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船

能从水柱下方通过.如图2所示,为避免游船被喷泉淋到,要求游船从水柱下方中间通过时，

顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面

的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才

能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）.

参考答案:

1.A

【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.根据轴对称图形的定义进行逐一判断即

可.

【详解】解:A.是轴对称图形，故A正确；

B.不是轴对称图形，故B错误；

C.不是轴对称图形，故C错误；

D.不是轴对称图形，故D错误.

故选：A.

2.C

【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的

表示形式为。x10〃的形式，其中"I。|<10，”为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关

键要正确确定a的值以及n的值.

【详解】解:8500=8.5xlO3.

故选C.

3.D

【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），

不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边

乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：

m<—3,

—m>3,

m<—3<3<—m,

；.A,B,C不符合题意；D符合题意；

故选：D

4.B

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图，

根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A.主视图是正方形，故本选项错误；

B.主视图是三角形，故本选项正确；

C.主视图是长方形，故本选项错误；

D.主视图是圆，故本选项错误.

故选：B.

5.B

【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出。尸=。4=石，据此可得答

案.

【详解】解：由勾股定理得==巨=&,

；•点P表示的数是

故选B.

6.D

【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的

运算法则，根据二次根式的运算法则逐个判断即可.

【详解】解：A、&+扬不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B、血-〃不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

C、J/+/+a+b，故C不正确，不符合题意；

D、7,亍=7〒（口>°，。>°），故。正确，符合题意；

7a7b7ab

故选：D.

7.A

【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，根据勾股定理求

得AC=5,进而可得CD=2,再证得E尸是△BCD的中位线，从而可求解，熟练掌握等腰三

角形的三线合一性质是解题的关键.

【详解】解：RtAABC,ZABC=90°,AB=3,BC=4,

AC=y]AB2+BC2=办—?=5，

AD=AB,AELBD,AB=3,

・•.AD=3,点E是3。的中点，

:.CD^AC-AD=2,

又尸是边2c的中点，

:.EF是乙BCD的中位线，

:.EF=-CD=1,

2

故选A.

8.B

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识.证

明_3EC(AAS),推出3。=石。=〃，BE=AD=b,推出£)£=。/=b—a,再利用等腰

三角形的性质，可以判定①正确；连接A£,根据"+可以判定②错误；BM是

/ABC内部的射线且NCBM<45°,可得…，推出/>〃2,推出力2+〃，推出加%>后二，

故③正确.

【详解】解：ADLBM,CEYBM,

,\ZADB=ZBEC=90°,ZABC=90°,

:.ZABD+/CBE=9U。,NCBE+NC=90。，

:.ZABD=NC,

在.4阳和BEC中,

ZADB=ZC

<ZABD=ZCf

AB=CB

ADB^BEC(AAS),

BD=EC=a,BE=AD=b,

/.DE=DF=b—a,

EF=c,

c=yf2(b-a),故①正确，

连接AE,则AE=J/+(b-a)2,

A

BE=AD,DE=DF,

AF=BD=CE=a,

AF+EF>AE,

:.a+c>y]b2+(b-a)2,故②错误，

BM是ZABC内部的射线且ZCBM<45°,

:.b>a,

.,方>/,

2b2>/+/,

*',\(2b>\]a2+b2，故③正确.

故选：B.

9.x>6

【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数是解题

即可.

【详解】由题意可得x-620,

解得X之6,

故答案为：x>6.

71

10.-/I-

66

【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可.

【详解】解：去分母得：2x=3—2x2(x—1),

去括号得：2x=3—4%+4,

移项，合并同类项得：6%=7,

：.x=L,

6

经检验，兀=7:是原方程的解；

6

7

故答案为：—.

0

11.>

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断

即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

【详解】

...反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随X的增大而减小，

又•.•点A。,%）,3（3,%）在反比例函数>=1々>0）的图象上，且0<1<3,

故答案为：>.

12.25

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接

0C,求解/。。尸=90。—40。=50。，再根据圆周角定理即可得答案.

【详解】解：如图，连接0C,

VPC与。相切于点C.ZP=40°,

・•・ZOCP=90°,Z.COP=90°-40°=50°,

ZA=-ZCOP=25°,

2

故答案为：25

13.12"

【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键

8张纸牌顺序从上到下为，（将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮），1,2,3,4,5,6,

7,8,按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果.

【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，（将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮），1,2,

3,4,5,6,7,8,

前四轮去掉了2,4,6,8,

还剩下4张纸牌从上至下为1,3,5,7,

再经过2轮去掉3,7,

还利2张纸牌、从上至下为1,5,

再经过1轮，去掉5,

最终剩下的是原来的第1张纸牌；

由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌，

将加张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，

m=2n;

故答案为：1;2".

14.叵

5

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三

角函数的定义是正确解答的关键.连接2C,过点作aELBC,垂足为E,

根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可.

【详解】解：如图，连接。?C,过点作OzELBC,垂足为E,

设正六边形的边长为。，则

在Rt。2尊中，02C=a,ZC02E=360°4-6-2=30°,

EC=^O2C=^a=BE,02E=^-O2C=^-a,

•**AE=2aH—a=—a,

22

tanNO,AC="=g

2AE5

故答案为：

5

15.=<

【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可.

-177+176+175+172+175

【详解】解:由题意得,X甲二-----------------------------------=175cm,

170+175+173+171+183

%乙—=175cm,

5

・・工甲=%乙；

(172-175)2+2x(175-175)2+(176-175)2+(177-175)2

S看=----------------------------------------------------------------------------=2.8，

5

(170-175)2+(173-175)2+(*4_5)2+(175-175)2+(183-175)2

-----------------------------------------------1-7------------------------------------------=18.8,

5

.7＜废,

故答案为：=,<.

16.15

【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接AO,根据垂径定理求得

AC=3C=9分米，设圆的半径为无分米，则。4=OD=x分米，0c=（27-x）米，根据勾股

定理即可求得x,进而可得答案.

【详解】解：连接AO,

：8过圆心，C为A8的中点，

CD1AB,

：钳=18分米，C为A8的中点，

AC=3C=9分米，

设圆的半径为x分米，则OA=OZ）=x分米，

*.•CD=27分米，

OC=（27-6分米,

在Rt04c中，由勾股定理4。2+。。2=042,

92+（27-%）2=%\

9»x—15,

即拱门所在圆的半径是15分米.

故答案为：15.

【分析】题目主要考查实数的混合运算,特殊角的三角函数及零次幕、负整数指数幕的运算，

熟练掌握各个运算法则是解题关键.

先计算负整数指数塞、零次募运算，化简二次根式，代入特殊角的三角函数，然后计算即可

得出结果.

【详解】解：2-1-4sin45°+^+(^-l)°

=J_-4X"+20+1

22

=--272+2A/2+1

2

_3

"2-

18.6

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，

最后利用整体代入法求解即可得到答案.

【详解】解：•••尤2+2X=1,

4(x+l)+(x-1)~

=4x+4+x2—2x+1

—尤2+2x+5

=1+5

-6.

19.x>2

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取

大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可.

3x-7>-l@

【详解】解：11_

一天+—>1②

122

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：%>1,

不等式组的解集为x>2.

20.(l)y=2x+l；(—2,—3)

3

⑵EV]

【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考

虑本题是解答本题的关键.

(1)将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将x=-2代入解析式即可求出点C坐

标；

(2)根据题意将(-2,-2)代入y=(〃片0)求出”的最小值，再根据题意将C代入求出”的

最大值，即为本题答案.

【详解】(1)解：：函数的图象经过点4(1,3)和5(—1,—1),

将点4(1,3)和3(—1,—1)代入y=kx+b(kw0)中,

k+b=3k=2

，解得:

-k+b=-lb=l

.♦•该函数的表达式为：y=2x+l,

v与过点(-2,0)且平行于y轴的直线交于点C,

•,.将x=—2代入y=2尤+1中，得y=—3,

/.C(-2,-3)；

(2)解：:,当xv-2时，对于x的每一个值，函数y=nx(w*0)的值大于函数>=履+优左W0)

的值且小于-2,

通过图象可知，当y=依530)的函数值小于-2时，即将"(-2,-2)代入y=〃无5*0)中,

n=l,

当y=nx("wO)的函数值大于函数y=近+6(无=0)的值将C(-2,-3)代入y=依(〃20)中,

3

W=2'

3

的取值范围为：

21.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出20=OD=：2。，结合体已知条件得出3c=30,

进而根据三线合一即可得证；

(2)根据(1)的结论得出=根据中位线的性质得出斯=：C£>=gA8,根据菱

形的判定定理即可得证.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

BO=OD=-BD,

2

又,:BD=2BC,

：.BC=BO,

E是0C的中点，

：.BE1AC；

(2)证明：如图所示，连接AF,

•:E,/分别是0C,0。的中点

:,EF〃CD,EF=-CD,

2

又:四边形ABC。是平行四边形

AB=CD,AB//CD,

/.EF=~AB=AG,EF//AG,GE=EF,

2

.,•四边形AGEF是平行四边形，

又,：GE=EF,

，四边形AGEF是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，等腰三

角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键.

22.（1）8；

（2）画图见解析；

（3）结论见解析.

【分析】（1）根据城市的人均GDP的频数分布直方图和城市的人均GDP（万元）的数值在

U<xV14这一组的数据即可求解；

（2）根据收集了2023年31个城市的人均GZ）尸数据，可得城市GZ）「排名的中位数是第16个,

即可解答；

（3）答案不唯一，根据散点图写出一条正确的结论即可；

此题考查了频数分布直方图，中位数，看懂统计图是解题的关键.

【详解】（1）解：根据城市的人均GZ）尸的频数分布直方图得，14<xV17和17〈尤W20两组

的城市共有3+4=7个，

由城市的人均GDP（万元）的数值在11<%<14这一组的数据得，某城市的人均GZ）尸为13.8万

元，该城市GDP排名全国第8,

故答案为：8；

（2）解：♦.•收集了2023年31个城市的人均GAP数据，

城市GDP排名的中位数是第16个，画图如下，

（3）解：观察散点图可得，人均G。尸（万元）大的和城市GAP的排名也靠前.

23.该学生接温水的时间为8s,接开水的时间为6s.

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键.

设该学生接温水的时间为xs,则接温水20；™!,开水（280-20x）ml,由物理常识的公式可得

方程，解方程即可.

【详解】解：设该学生接温水的时间为期,

根据题意可得：20xx(60—30)=(280—20x)x(100—60),

解得x=8,

20x8=160ml,

280-160=120ml,

・•・120+20=6s,

答：该学生接温水的时间为8s,接开水的时间为6s.

24.⑴

(2)5=-^?+8

40244820

⑶存在，（4,2）或或

rrirTTTf

【分析】（1）设。（5,。），贝lJB£>=a,a>=£D=4-a,再求出OE,BE的长，在RtABDE中，

根据勾股定理求出a的值，即可求解；

（2）延长交OF于N',则PNUOF,先证明ADCS'FDB,可得BF=3,OF=8,从

而得至LiAJF=JAC?+OF?=45，在Rt113c尸中，由勾股定理可得CP=5,可得AC=CF,

从而得到/C4F=NAFC,进而得到/C4F=/EE4=/AFC,可证得,PFNsme,可

得至ljPN=』s,PM=4-』s,再证明,APMs,EPN',即可求解；

22

（3）分三种情况：①当=时；②当=时；当MV=NP时，即可求解.

【详解】（1）解：在矩形AO3C中，C（5,4）,

:.AC=5,OA=BC=4,

设。(5,a),则&D=a,CD=ED=4-a,

AE=AC=5,

在RtZXAOE中，OE=>]AE2-OA2=752-42=3,

BE=OB-OE=5-3=2,

在中，由勾股定理得：DE2=BD2+BE2,

(4-iz)2=22+a2,

:.a>0f

3

2

(2)如图2,延长交在于N',则厂,

NACD=NFBD=90。,

ADCsFDB,

.ACCD

…茄一茄’

3

由(1)知：BD=—,

2

35

:.CD=4——=—,又AC=5,

22

5

._L=z.

“BF一3'

2

:.BF=3,OF=8,

AF=ylAO^+OF2="+8?=4也，

在RtBCF中，由勾股定理得：CF=A/32+42=5>

AC=5,

:.AC=CF,

ZCAF=ZAFC,

•・•AC//EF,

:.ZCAF=ZEFA=ZAFC,

.•.以平分NCR9,

PN±CF,PNr.LOF,

：.PN=PN',

:.PM+PN=PM+PN'=MN'=4,

ZCAF=ZCFA,NACD=NPNF=90。,

PFNs,DAC,

FNPN

••耘—布‘

5

.PNCD2,

"A<F-AC-?-2

又NF=s,

:.PN=-s,PM=4--s,

22

PA=t,PF=4非-t,

^PAM=NPFN',/APM=NFPN',

APM^FPN',

罩糕，即I-=

2

…一鸣+8

5

（3）分三种情况:

①当R0=PN时，如图3,

ZPAM=ZPFN/AMP=NPNF=9。,

图3

PAMs&PFN,

PAPM

PF-P/V-'

PA=PF,即"4出T,

解得：t=2后,

2Is

FN=s=--y-x2>/5+8=4,

PM=PN=>]PF2-FN2=2>AM=JPA2-PM?=J(24)2-安=4,

二尸（4,2）；

②当=时，如图4,过M作MHLPN于H,PN与MC的延长线交于点G,

图4

PH=NH=-PN=-s,

24

PM+PN=4,

：.PM=4--s,

2

NGCN=NMPN=ZBFC,

AMHP=ZCBF=90,

PMHs,FCB,

；.也=区二，即止一

PHFB3L3

4

解得：$若48，

代入S=_述f+8得：;辿1,

511

・：AC//OF,

ZMAP=ZAFO,tanZMAP=tanZAFO,

.PM_A<9_1

•,石广而一万’

PM:AM:AP=1：2:6'

4020

AAM=—,PM^—,

2024

，P的纵坐标为：4-五二五，

・Y番

③当A1N=NP时，如图5,

过点N作NQ^PM于Q,

:./NPQ=NBFC,

ZNQP=Z-CBF=90,

:一NQPSYCBF,

PNCF

,而=而‘

1

又PN=QS,

PQ=LpM=；14一gs)=2—;s,CF=5,

1

40

24^5

代入s=+8得:-TF

/4820)

同理可得：尸

综上，点p的坐标是(4,2)或愕，"或［IT'TT)

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质’相似三角形的性质和判定’勾股定

理，一次函数，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学

思想和方程思想解决问题是解本题的关键.

25.⑴2，04•

(2)-575<&<5

(3)-375<?<—+-

22

【分析】(1)如图中，满足条件的点在半圆上(不包括点A以及y轴上的点)，点Q,2满

足条件.

(2)如图中，以。为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P(0,3),P(O,-3)当直线y=2元+6

与半圆有交点(不包括尸，B)时，满足条件.

(3)根据题意，点/关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点尸在半圆S上，点。在半圆T

上(将半圆。绕点E旋转)，如图3(1),半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，求出图

3(2),图3(3)中，f的值，可得结论.

【详解】(1)解：如图，44,0),0(0,4),

OA=OQt=4,ZAOQt=90°,

•••点。不是点A关于点0的锐角旋转点；

<2,(2,273),作轴于点尸，

222

OQ2=y)OF+Q2F=,2?+仅@=4=OA,

tanZe2OF=^=V3,

ZQ2OF=60°,

点是点A关于点。的锐角旋转点;

2(—2,2g),作轴于点G,

A

X

则tan/Q°G=1|=孚

.•.NQ30G=60。，

OG_2

「•。。3=4=OA

cosNQ30Gcos60°f

NAOG=180。—60。=120。，

03不是点A关于点。的锐角旋转点；

2（2£-2忘），作轴于点

则tanNQOH=@^=¥=l,

.-.ZQ4OH=45°,

OH^3_=4OA,

。&==

cosNQO"cos45°

•.24是点A关于点。的锐角旋转点;

综上所述，在点2，。3，。4中，是点A关于点。的锐角旋转点的是。2，。4,

故答案为：Q2,24.

（2）解：在V轴上取点尸（0,5）,当直线y=2无+匕经过点尸时，可得%=5,

当直线y=2x+8经过点B时，贝i]2x5+b=0,

解得：b=-10,

••・当-10<b<5时，08绕点。逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y=2x+6上,

图2图3

过点。作。G，直线y=2x+b,垂足G在第四象限时，如图,

b，

当OG=5时，b取得最小值,

I2J

/.b-—5,\/5，

:.-5布<b<5.

(3)解：根据题意，点厂关于点石的锐角旋转点在半圆E上，设点月在半圆S上，点。在

半圆T上(将半圆。绕点E旋转)，如图3(1),半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，

如图3(2)中，阴影部分与直线y=2x+6相切于点G,tanNEMG=2,SG=3,过点G作

6/_1兀轴于点/,过点S作SJ_LG/于点J,

.\ZSGJ=ZEMG,

.,.tanZ.SGJ=tanZEMG=2,

:.GJ=走，SJ=^,

55

3J5

:.GI=GJ+JI=3+—,

5

年33A/5

2210

:.OE=IE+MI-OM=^-33

BPx=t-3=~~~一

22E2

解得"孚+?

如图3(3)中，阴影部分与"K相切于点G,tan/OMK=tan/EMW=2,即=6,则MW=3,

EM=345,

解得"-3石,

【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾

股定理，点P是点/关于点N的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会

寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题.

26.⑴4G，83c3

(2)左21或左V-1

⑶rN&'+l

【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握

“对称连接线段”的定义成为解题的关键.

(1)直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；

(2)先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点尸的对称点是(-1，2)

和(1,2)时是临界点即可解答；

(3)如图3：连接MQ,则加。=逐，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答.

【详解】⑴解:如图1：

因为G关于＞=xT的对称点是(。，-2)在c。上，所以4G是。关于直线y=x-l的“对称连

接线段”，

因为饱和C?关于y=x-l的对称点是(2,-1)和(1,3)在【。外，所以为C?不是O关于直线

y=x-l的“对称连接线段”，

因为居关于.v=x-1的对称点是(1,1)在、O内，所以23c3是3。关于直线＞=x-1的“对称连接

线段”.

故答案为：B£,B3c3.

(2)解：如图2：

▲▲I*