泰安市2024年中考冲刺卷数学试题（含解析）

泰安市2024年中考冲刺卷数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.下列等式正确的是()

A.(a+b)2=a2+b2B.3n+3n+3n=3n+1

C.a3+a3=a6D.(ab)2=abz

在四边形ABCD中，ZA+ZD=a,NABC的平分线与/BCD的平分线交于点P,则NP=(

D

二

11a

A.90°--aB.900+-aC.—D.3600-a

222

3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边AAOb的边长为6,点。在边上,点D在边AB上，且OC=3BD,

反比例函数y=&(厚0)的图象恰好经过点C和点O,则左的值为()

X

X

百口

&818173「81A/3n8173

251654

4.如图，直线AB〃CD,NA=70。，NC=40。，则NE等于()

E

D

BA

A.30°B.40°

C.60°D.70°

5.如图，在△ABC中，ZAED=ZB,DE=6,AB=10,AE=8,则BC的长度为()

A.一C.3D

2-7-1

6.将2001x1999变形正确的是（)

A.20002-1B.20002+lC.20002+2X2000+1D.20002-2x2000+1

下列结论中，正确的是

7.在RtAABC中，ZC=90°fAC=2,()

A.AB=2sinAB.AB=2cosA

C.BC=2tanAD.BC=2cotA

8.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车,

车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车,

若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（）

A.3(%-2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9

x-9Xx+9

c+2=D.产o

-i22

9.如图，在菱形ABCD中，M,N分别在AB,CD±,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO,若NDAC=

)

C.74°D.26°

b与c钉在一起，Zl=70°,Z2=50°,要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）

B.20°C.50°D.70°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m.同时测得旗杆在阳光下的影长为30m,则旗杆的高

为__________m.

八11

12.已知a,£是关于x的一元二次方程/+（2雨+3）x+机2=0的两个不相等的实数根，且满足—+=-i,则

ap

的值是—.

13.在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为.

14.为响应“书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的

阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是小时.

A

8pq

uUL口3A

0.511-52阅读时间刁时

15.如图，A3是。。的直径，CZ＞是弦，于点E,若。。的半径是5,。=8,贝!|AE=

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=9,ZBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,

BG1AE,垂足为G,BG=40,则4CEF的周长为

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价.商品

房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报.某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价

对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以

每平方米4050元的均价开盘销售.求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发

商还给予以下两种优惠方案发供选择：

①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？

18.（8分）如图，已知。是AABC的外接圆，圆心。在AABC的外部，AB=AC=4,BC=4后,求。的半

径.

19.（8分）解不等式------3>2x-1,并把解集在数轴上表示出来.

2

-4-3-2-16~1~2~34>

20.（8分）如图，在△ABC中，ZC=90°,E是BC上一点，ED_LAB,垂足为D.

求证：AABC^AEBD.

C

21.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m,给出如下定义：若存在一点P,使得点P到直线m的距离

等于1,则称P为直线m的平行点.

（1）当直线m的表达式为y=x时，

①在点片（1,1）,£（0,应），£：弓，手）中，直线m的平行点是；

②。O的半径为M，点Q在。O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标.

（2）点A的坐标为（n,0）,（DA半径等于1,若。A上存在直线y=的平行点，直接写出n的取值范围.

22.（10分）如图，在AABC中，D为BC边上一点，AC=DC,E为AB边的中点，

（1）尺规作图：作NC的平分线CF,交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接EF,若BD=4,求EF的长.

BD

23.（12分）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数

的图象交于C、D,CE_Lx轴于点E,tanZABO=-,OB=4,OE=1.

2

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(1)求AOCD的面积.

24.图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，

动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米,

CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米.

(1)求x的取值范围；

(2)若NCPN=60。，求x的值；

(3)设阳光直射下，伞下的阴影(假定为圆面)面积为y,求y关于x的关系式(结果保留兀).

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

(1)根据完全平方公式进行解答；

(2)根据合并同类项进行解答；

(3)根据合并同类项进行解答；

(4)根据塞的乘方进行解答.

【详解】

解：A>(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误；

B、3n+3n+3n=3n+1,正确;

C、a3+a3=2a3,故此选项错误；

D、(ab)2=a2(故此选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查整数指数塞和整式的运算，解题关键是掌握各自性质.

2、C

【解析】

试题分析：•.,四边形ABCD中，ZABC+ZBCD=360°-(ZA+ZD)=360°-a,

VPB和PC分别为NABC、ZBCD的平分线，

ZPBC+ZPCB=(ZABC+ZBCD)=-(360。-a)=180°--a,

22

贝！|NP=180。-(ZPBC+ZPCB)=180°-(180°--a)=-a.

22

故选C.

考点：1.多边形内角与外角2.三角形内角和定理.

3、A

【解析】

试题分析：过点C作CE_Lx轴于点E,过点。作。尸，x轴于点歹，如图所示.

设BD=a,则OC=3a.

为边长为1的等边三角形，尸=10。，03=1.

在及ACOE中，ZCOE=10°,ZCEO=90°,OC=3a,：.ZOCE=30°,：.OE=^a,CE70c?-OE?=^-

“，3373、

点C(Uf------a)・

22

同理，可求出点。的坐标为(1-'a,—a).

22

•.•反比例函数y=A（样0）的图象恰好经过点C和点，...b^ax述。=（1-义昱电；,a=3,k&B.故

-x2222525

【解析】

VAB//CD,ZA=70°,

/.Zl=ZA=70°,

VZ1=ZC+ZE,ZC=40°,

.\ZE=Z1-ZC=70°-40°=30°.

故选A.

5、A

【解析】

VZAED=ZB,ZA=ZA

AAADE^AACB

AEDE

•*•-_9

ABBC

；DE=6,AB=1O,AE=8,

.A__L

••一，

10BC

解得BC=E.

2

故选A.

6、A

【解析】

原式变形后，利用平方差公式计算即可得出答案.

【详解】

解：原式=(2000+1)x(2000-1)=20002-1,

故选A.

【点睛】

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

7,C

【解析】

直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.

【详解】

；NC=90°，AC=2,

.•.cosAA=-A--C-=---2--,

ABAB

:.AB=,

cosA

故选项A,B错误,

、BCBC

•tanA--

AC2

BC=2tanA,

故选项C正确；选项D错误.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键.

8、A

【解析】

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余1个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可.

【详解】

设有x辆车，则可列方程:

3(x-2)=2x+l.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键.

9、B

【解析】

根据菱形的性质以及AM=CN,利用ASA可得△AMOg^CNO,可得AO=CO,然后可得BO,AC,继而可求得

ZOBC的度数.

【详解】

•.•四边形ABCD为菱形，

/.AB/7CD,AB=BC,

/.ZMAO=ZNCO,ZAMO=ZCNO,

在小人乂0和4CNO中，

ZMAO=ZNCO

<AM=CN,

ZAMO=ZCNO

：.△AMO也△CNO(ASA),

/.AO=CO,

；AB=BC,

ABOIAC,

•,.ZBOC=90°,

VZDAC=26°,

...NBCA=NDAC=26°,

ZOBC=90°-26°=64°.

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.

10、B

【解析】

要使木条。与分平行，那么N1=N2,从而可求出木条。至少旋转的度数.

【详解】

解：•••要使木条。与6平行，

AZ1=Z2,

.•.当N1需变为50°,

/.木条a至少旋转：70。-50。=20。.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内

角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1.

【解析】

分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可.

详解：.•.ESI=粤&，，建=心谑，解得：旗杆的高度=黑,3。=1.

竹竿的影长旗杆的影长2.5302.5

故答案为1.

点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方

程，建立数学模型来解决问题.

12、3.

【解析】

可以先由韦达定理得出两个关于a、夕的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解.

【详解】

cc11a+B-2m-3,_

得a+夕=-2m-3,a/3=m2,又因为一+—=——=---=-1,所以m2-2m-3=0,得m=3或m=-l,因为一元二次方

apapm

程》2+（2〃?+3b+7律2=0的两个不相等的实数根，所以△＞（）,得（2m+3）2-4xm2=12m+9＞0,所以m＞[,所以

m=-l舍去，综上m=3.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键.

13、3.05X105

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中l£a卜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【详解】

故答案为：；”

【点睛】

本题考查的知识点是科学记数法一表示较大的数，解题关键是熟记科学计数法的表示方法.

14、1

【解析】

由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，

而第20个数和第21个数都是1(小时)，则中位数是1小时.

故答案为L

15、2

【解析】

连接OC,由垂径定理知，点E是CD的中点，在直角小OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可

【详解】

设AE为x,

连接OC,

B

是。。的直径，弦于点E,CD=8,

：.ZCEO=9Q°,CE=OE=4,

由勾股定理得：OC2=CE2+OE2,

52=42+(5-x)2,

解得：x=2,

则AE是2,

故答案为：2

【点睛】

此题考查垂径定理和勾股定理，，解题的关键是利用勾股定理求关于半径的方程.

16、8

【解析】

试题解析：•.,在QABCD中，AB=CD=6,AD=BC=9,NBAD的平分线交BC于点E,

NBAF=NDAF,

；AB〃DF,

:.ZBAF=ZF,

ZF=ZDAF,

.•.△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；

VAD/7BC,

.•.△EFC是等腰三角形，且FC=CE.

/.EC=FC=9-6=3,

/.AB=BE.

.•.在AABG中，BG±AE,AB=6,BG=40

可得：AG=2,

又；BG_LAE,

/.AE=2AG=4,

.1△ABE的周长等于16,

又ABCD,

/.△CEF^ABEA,相似比为1：2,

/.△CEF的周长为8

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)每次下调10%(2)第一种方案更优惠.

【解析】

(1)设出平均每次下调的百分率为X,利用预订每平方米销售价格X(1-每次下调的百分率)2=开盘每平方米销售价格

列方程解答即可.

(2)求出打折后的售价，再求出不打折减去送物业管理费的钱，再进行比较，据此解答.

【详解】

解：(1)设平均每次下调的百分率为X,根据题意得

5000x(1-x)2=4050

解得x=10%或x=L9(舍去)

答：平均每次下调10%.

(2)9.8折=98%,

100x4050x98%=396900(元)

100x4050-100x1.5x12x2=401400（元）,

396900<401400,所以第一种方案更优惠.

答：第一种方案更优惠.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键.

18、4

【解析】

已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作AH,3c于点则直线AH为的中垂线，直线AH过

。点，在RSOBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长.

【详解】

作AH,3c于点"，则直线为8C的中垂线，直线AH过。点，

OH=OA-AH=r-2,BH=2超，

OH2+BH2=OB-,

即（r—2）?+（2行『=「，

r=4.

【点睛】

考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

19、见解析

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集.在数轴上表示出来即

可.

【详解】

解：去分母，得3x+l-6>4x-2,

移项，得：3x—4x>—2+5,

合并同类项，得一x>3,

系数化为1,得xV—3,

不等式的解集在数轴上表示如下：

，］：，：：।：，》

-4-3-2-101234

【点睛】

此题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算顺序.

20、证明见解析

【解析】

试题分析：先根据垂直的定义得出NEZ>3=90。，故可得出再由根据有两个角相等的两三角

形相似即可得出结论.

试题解析：

解：'：ED±AB,

：.ZEZ）B=90°.

VZC=90°,

NEDB=/C.

,:/B=/B,

:.ABC^EBD.

点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键.

21、⑴①舄，6;②（也2女）,12衣一闾,（260）,卜3，-2应）；（2）—空空.

【解析】

⑴①根据平行点的定义即可判断；

②分两种情形：如图1,当点B在原点上方时，作OHLAB于点H,可知OH=1.如图2,当点B在原点下方时，同法

可求；

⑵如图，直线OE的解析式为y=,设直线BC〃OE交x轴于C,作CDLOE于D.设。A与直线BC相切于点

F,想办法求出点A的坐标，再根据对称性求出左侧点A的坐标即可解决问题；

【详解】

解：（1）①因为P2、P3到直线y=x的距离为1,

所以根据平行点的定义可知，直线m的平行点是舄，

故答案为鸟，P,.

②解：由题意可知，直线m的所有平行点组成平行于直线m,且到直线m的距离为1的直线.

设该直线与X轴交于点A,与y轴交于点B.

如图1,当点B在原点上方时，作OHLAB于点H,可知OH=L

由直线m的表达式为y=x,可知NOAB=NOBA=45。.

所以03=0.

直线AB与。O的交点即为满足条件的点Q.

连接。2,作轴于点N,可知0Q=J历.

在RtAOHg中，可求HQ=3.

所以=2.

在RtABHQ中，可求NQ\=NB=6..

所以ON=2拒.

所以点。1的坐标为（行,2行）.

如图2,当点B在原点下方时，可求点&的坐标为（2也,0）点。4的坐标为卜亚，一2夜），

综上所述，点Q的坐标为（3,2行），（—20,—吟,（272,72）,（-72,-272）.

（2）如图，直线OE的解析式为y=百％,设直线BC〃OE交x轴于C,作CDLOE于D.

当CD=1时，在RtACOD中，NCOD=60。,

.”_CD_2#)

sin6003

设（DA与直线BC相切于点F,

在RtAACE中，同法可得AC=2叵,

3

473

473

根据对称性可知，当。A在y轴左侧时,n=-------

3

观察图象可知满足条件的N的值为：—述生叵.

33

【点睛】

此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨

论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

22、（1）见解析；（1）1

【解析】

（1）根据角平分线的作图可得；

（1）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得.

【详解】

（1）如图，射线CF即为所求；

/.AC=DC,即△CAD为等腰三角形；

又CF是顶角ZACD的平分线，

，CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，

；E是AB的中点，

AEF为4ABD的中位线，

/.EF=—BD=1.

2

【点睛】

本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关

键.

23、(1)y=—x+2,y=—；(1)2.

2x

【解析】

试题分析：(1)先求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；

(1)联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解.

________.........................AOCE1

试题解析：(1)VOB=4,OE=1,/.BE=l+4=3.；CE_Lx轴于点E,tanNABO=------=—9••OA=1,CE=3,

BOBE2

...点A的坐标为(0,1)、点B的坐标为C(4,0)、点C的坐标为(-1,3),设直线AB的解析式为y=+

4=2k=--1

则，解得：12,故直线AB的解析式为y=——x+2,设反比例函数的解析式为y='(mwO),

4k+b=0,n2X

6

将点C的坐标代入，得3