2024年中考数学试题专项汇编：锐角三角函数

（9）锐角三角函数

一、单选题

1.[2024年云南中考真题]在Rt^ABC中，NB=90°,已知AB=3,5c=4,则tanA

的值为（）

A4R343

5534

2.[2024年吉林长春中考真题]2024年5月29日16时12分，“长春净月一号"卫星搭

乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达

测得点R到点A的距离为。千米，仰角为，，则此时火箭距海平面的高度从为（）

A.asin9千米B.」一千米C.acos。千米D.，一千米

sin。cos，

二、填空题

3.[2024年湖北武汉中考真题]黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一

楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体

过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A

的俯角为45。，底端3的俯角为63。，则测得黄鹤楼的高度是m.（参考数

据：tan63°«2）

4.[2024年湖南中考真题]如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chdng）捣谷物

的工具——“碓（dui）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点3,

AB与水平线/相交于点。，。£，/.若5C=4分米，05=12分米./50石=60。，则点

C到水平线/的距离b为分米（结果用含根号的式子表示）.

A空a

,n

-t

-t

闻

ftt

物tr

5.[2024年江西中考真题]将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD,连接

AC,则tanNC4B=

图1

三、解答题

6.[2024年吉林中考真题]图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中

A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角

NE4c=37。，看塔底。的俯角/£4。=45。,求吉塔的高度（结果精确到O.hn）.

(参考数据：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

EA

DB

图①图②

7.[2024年陕西中考真题]如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m,

小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点

A,在点A处测得C点的仰角NC4E=42。，再在AE上选一点3,在点3处测得C点

的仰角《=45。，AB=10m.求山顶C点处的海拔高度.（小明身高忽略不计，参考数

据：sin42°«0.67,cos42°«0.74,tan42°«0.90)

8.[2024年广东广州中考真题]2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简

称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”

的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到3

点，再垂直下降到着陆点C,从5点测得地面。点的俯角为36.87。，AD=17米，

5。=10米.

（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到3点，求模拟装置从A点下降

到3点的时间.（参考数据：sin36.87°®0.60,cos36.87°«0.80,tan36.87°«0.75）

9.[2024年贵州中考真题]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射

规律进行了如下综合性学习.

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部3

处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线MV'为法线，

A。为入射光线，0。为折射光线.）

【测量数据】

如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20cm,

NA=45。，折射角NOQV=32。.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

（1）求的长；

（2）求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm）.

（参考数据：sin32°«0.52,cos32。笈0.84,tan32°®0.62）

10.[2024年天津中考真题]综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的

桥塔的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在

同一条水平直线上，£>E=36m,ECLAB,垂足为C.在。处测得桥塔顶部3的仰角

（ZCDB）为45。,测得桥塔底部A的俯角（/CDA）为6。，又在E处测得桥塔顶部

3的仰角（NCEB）为31。.

（1）求线段。的长（结果取整数）；

（2）求桥塔的高度（结果取整数）.

参考数据：tan31°«0.6,tan6°«0.1.

11.[2024年山西中考真题]研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织

研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航

模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.

数据采集：如下图，点A是纪念碑顶部一点，A3的长表示点A到水平地面的距离.航

模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得

点A的仰角NACD=18.4。；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角

ZNCD=3T,当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E,A,3三点在同一直线上.请根据上

述数据，计竽纪念碑顶部点A到地面的距离A3的长（结果精确到1米.参考数据：

sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,sin18.4°«0.32,cos18.4°«0.95,

tan18.4°«0.33）.

12.[2024年河北中考真题]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在

家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离3Q=4m,仰

角为c；淇淇向前走了3m后到达点。，透过点尸恰好看到月亮，仰角为，，如图

是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面3Q的距离AB=CD=1.6m,点尸到3Q的距

离PQ=26m,AC的延长线交PQ于点E.（注：图中所有点均在同一平面）

（1）求分的大小及tanc的值；

（2）求CP的长及sin/APC的值.

13.[2024年湖北中考真题]小明为了测量树A3的高度，经过实地测量，得到两个解决

方案：

方案一：如图（1）,测得C地与树相距10米，眼睛。处观测树的顶端A的

仰角为32。：

方案二：如图（2）,测得C地与树相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到

达点E,眼睛。在镜子C中恰好看到树的顶端A

已知小明身高L6米，试选择一个方案求出树的高度.（结果保留整数，

tan32°®0.64）

14.[2024年四川成都中考真题]中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，

冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生

运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，A3长

8尺.在夏至时，杆子A5在太阳光线AC照射下产生的日影为6C；在冬至时，杆子

在太阳光线A。照射下产生的日影为3D已知NACB=73.4。，ZADB=26.6°,求

春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°«0.45,

cos26.6°«0.89,tan26.6°«0.50,sin73.4°«0.96,cos73.4°«0.29,tan73.4°«3.35）

15.[2024年重庆中考真题]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向3,。两

港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航

行40海里后到达3港，再沿北偏东60。方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北

偏东60。方向航行一定距离到达。港，再沿南偏东30。方向航行一定距离到达C港.

（参考数据：&R.41,百。1.73,遥。2.45）

（1）求A,C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；

（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠3、。两港的时间相同），哪艘货轮先到达

C港？请通过计算说明.

16.[2024年山东滨州中考真题]【教材呈现】

现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：

如图，在锐角△回€：中，探究―，―,上之间的关系.（提示：分别作A3和3C边上的

sinAsinBsinC

高.）

【得出结论】

a_b_c

sinAsinBsinC

【基础应用】

在△ABC中，NB=75。，ZC=45°,BC=2,利用以上结论求A3的长.

【推广证明】

进一步研究发现，3=―也=」一不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成

sinAsinBsinC

立，并且还满足—=—也='=2R（R为△ABC外接圆的半径）.

sinAsinBsinC

请利用图1证明：工=S=，=2R.

sinAsinBsinC

【拓展应用】

如图2,四边形ABC。中，AB=2,BC=3,CD=4,ZB=ZC=90°.

求过A,B,。三点的圆的半径.

参考答案

1.答案：C

解析：NB=90°,AB=3,BC=4,

“BC4

..tanA-——,

AB3

故选：C.

2.答案：A

解析：由题意得：sin0=—=—,

ARa

AL=asin。千米.

故选：A.

3.答案：51

解析：延长胡交距水平地面102m水平线的水平线于点。，如图,

由题可知，BD=102m,

设AD=x,

ZDC4=45°,

/.DC—AD=x>

BD102c

tan63=----=-----~2>

DCx

DC-AD51m,

AB=BD-AD=102-51«51m.

故答案为：51.

4.答案：（6-2月）

解析：延长。C交/轴于点H,连接。C,如图所示:

D

E

在中，ZB（9H=90o-60o=30o,08=12dm,

.•.5H=12xtan30°=473,OH=86,

..Q—V-i-V

"OBH一0△OCH丁4AOBC'

;.-OBBH=-OHCF+-OBBC,

222

gp1x473X12=-X8A/3XCF+-X12X4,

222

解得：CF=6-2A/3.

故答案为：（6-2g）.

5.答案：!

2

解析：如图1,设等腰直角△MNQ的直角边为a,则AfQ="z,小正方形的边长为

a,

MP=2a,

EM=J（2a『+（2a）2=26a,

MT=EM=2缶,

QT=2yf^a—y/2a=y/2a,

如图2,过点C作CHLAB的延长线于点H,则CH=BD,BHCD,

由图（1）可得，AB=BD=2y[2a,CD=叵"垃a=2叵a,

CH=2缶,BH=2后a,

AH=2y/2a+2A/2<2=4y/2a,

tanZCAB=^2-Jla

AHMia2

故答案为：1

解析：延长。C交AE于点G,由题意得AB=DG=873m,ZDGA^90°,

在Rtz\G4D中，/£4。=45。，

AG=------------=DG=873,

tanZEAD

在RtaG4C中，NE4c=37。，

CG=AG-tanZEAC=873x0.75=654.75,

CD=JDG-CG=873-654.75«218.3m,

答：吉塔的高度CO约为218.3m.

7.答案：山顶C点处的海拔高度为1690m.

解析：过点C作CDLAE交AE的延长线于点。，设CD=%m,

在中，ZCBD=45°=ZBCD,

BD=CD=xm,

在Rt^CLD中，ZC4£>=42°,

x

AD=--

tan42°0.9

AB=10m,

解得x=90,

山顶C点处的海拔高度为1600+90=1690（m）.

8.答案：（1）的长约为8米

（2）模拟装置从A点下降到5点的时间为4.5秒

解析：（1）如图，过点3作3E〃C。交AD于点E,

由题意可知，=36.87°,

:.NBDC=36.87。,

在△BCD中，ZC=90°,加>=10米，

CD

cosNBDC=——，

BD

O

.­.CE>=JBD-COS36.87«10X0.80«8T^,

即CO的长约为8米；

(2)AD=17米，CD=8米，

AC=y/AD2-CD2=15米，

在△BCD中，ZC=90°,加＞=10米，

sinZBDC=—,

BD

BC=BD-sin36.87°«10x0.60a6米，

:.AB=AC-BC=15-6=9^,

模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到3点,

二模拟装置从A点下降到3点的时间为9+2=4.5秒，

即模拟装置从A点下降到3点的时间为4.5秒.

9.答案：(1)20cm

(2)3.8cm

解析：(1)在RtzXABC中，ZA=45°,

ZB=45°,

BC=AC=20cm,

(2)由题可知ON=EC==10cm,

2

NB=ON=\Ocm,

又/DON=32。，

DN-ON-tanZDON=10xtan32°«10x0.62=6.2cm,

BD=BA^-D^=10-6.2=3.8cm.

10.答案：(1)54m

(2)59m

解析：(I)设CD=x,由£>E=36,得CE=CD+DEx+36.

ECLAB,垂足为C,

:.ZBCE=ZACD=90°.

在中，tanZCDB=—,ZCDB=45°,

CD

BC-CDtan/CDB=tan45°二x.

在RtZXBCE中，tanZCEB=—,ZCEB=31°,

CE

BC=CE-tanZCEB=(x+36)-tan31°.

36xtan31°36x0.6

x=(x+36)-tan31°.Mx==54.

l-tan31°1-0.6

答：线段CO的长约为54m.

(II)在RtzXACD中，tanZCDA=—,ZCDA=6°,

CD

AC=CD-tanZCZM«54xtan6°«54x0.1=5.4.

:.AB=AC+BC-5.4+54^59.

答：桥塔AB的高度约为59m.

11.答案：27米

解析：延长CD交A3于点H.

由题意得，四边形为矩形.

；.CM=HB=20.

在中，ZAHC=90°,ZACH=18.4°,

AHAHAHAH

tanZAC;/=——，..CH=----------X------

CHtanZACHtan18.4°0.33

在Rt^ECH中，/EHC=90°,ZECH=37°,

FHEHEHEH

tanZECH=——,CH=

CHtanZECHtan37°0.75

设AH—x.

AE=9,..EH=。〜9,

0.75

解得xp7.1.

:.AB=AH+HBB7.T+20=27.1B27（米）

答：点A到地面的距离AB的长约为27米.

N

Z

MB

12.答案：（1）45°,-

4

（2）日,

34

解析：（1）由题意可得：PQLAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=^[m）,AC=BD=3（m）,

CE=4-3=l（m）,PE=2.6-1.6=l（m）,NCEP=90°,

CE=PE,

PF1

Q=NPCE=45。,tana=tanZPAE=——=—；

AE4

(2)CE=PE=lm,ZCEP^90°,

如图，过C作CHLAP于H,

AC；

1

___________u

BDQ

,…CH1

tana=tanAPAE=---=—,设CH-xm,则AH=4Am,

AH4

x2+(4x)2-AC2=9,

解得：x=3政，

17

..CH-----m，

17

3717

./AprCH173抬4

CP4134

13.答案：树AB的高度为8米

解析：方案一：作垂足为E,

A

——X

C1---------------'B

则四边形5cDE是矩形，

DE=BC=10^,

在Rtz\ADE中，ZADE=32°,

AE=£>£-tan32°»10x0.64=64（米），

树AB的高度为64+1.6=8米.

方案二：根据题意可得NACB：=ZDCE,

NB=NE=90°,

/\ACB^/\DCE,

ABBCHnAB10

DECE1.62

解得：AB=8米，

答：树AB的高度为8米.

14.答案:9.2尺

解析：ZACB=73.4°,杆子A3垂直于地面，长8尺.

Ano

tanZACB=——，BPBC——22.39,

BC3.35

NADS=26.6。，

tanZADB=—,IPBD«=16,

BD0.50

春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.

,­.春分和秋分时日影长度为239+1-工9.2.

2

答：春分和秋分时日影长度9.2尺.

15.答案：（1）A,C两港之间的距离77.2海里；

（2）甲货轮先到达C港.

解析：（1）如图，过3作正，AC于点E,

ZAEB=ZCEB=90°,

由题意可知：ZG4B=45°,NEBC=60。,

ZBAE=45°,

AE=ABcosZBAE=40xcos45°=2072,

CE=BEtanNEBC=200tan60°=2072义6=2076,

AC^AE+CE^20A/2+20A/6®20x1.41+20x2,45«77.2（海里），

/.A,C两港之间的距离77.2海里；

（2）由（1）得：NBAE=45。,ZEBC=60°,AC=77.2,

BE=ABsinZBAE=40xsin45°=2072,

“BE207220V2r--

BC=------------=——--=—Y—=40V2a56.4,

cosZEBCcos60°j_

2

由题意得：ZADF=60°,ZCDF=30°,

ZADC=90°,

11173

CD=-AC=-x77.2=38.6,AD=ACcos30°=77.2x—«66.8（海里），