一线三等角模型-2023年中考数学总复习(全国-含解析)(原卷版)

模块二常见模型专练

一线三等角模型

瓯（2020•江苏苏州•统考中考真题）问题1：如图①，在四边形：/“，，中,

R<'“，，"是“，上一点，PAPI）,1/7）90'.

问题2：如图②，在四边形中，<：-,，卜是从上一点，LIJ，,

-<7>

求的值.

匹（2021年•吉林长春•中考真题）在\|片中，耀弊醯霹醯，直线"'经过

点C,且”•V\于。，“、于£.

图1

⑴当直线\f\绕点C旋转到图1的位置时，求证:

①\：，八\iI6;

@I>1>1>IHI.

(2)当直线\f\绕点C旋转到图2的位置时，求证：J"11•Z.7;

(3)当直线\f\绕点C旋转到图3的位置时，试问/".")、HI具有怎样的等量关系？请写

出这个等量关系，并加以证明.

瓯(2020年•海南•中考真题)(1)尝试探究：如图①，在VL"中，It,

AB=AC,/尸是过点/的一条直线，且3,C在/£的同侧，BDLLE于D,CEL4E于E,

则图中与线段相等的线段是;DE与BD、CE的数量关系为.

(2)类比延伸：如图②，1A(M,BA=BC,点、A,2的坐标分别是(-2,0),(0,3),

求点C的坐标.

(3)拓展迁移在(2)的条件下，在坐标平面内找一点尸(不与点C重合)，使与A/BC

全等.直接写出点尸的坐标.

般命题超南

一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的

相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于‘一线三等角”，有的地区叫“K

型图“，也有的地区叫“M型图”。

”一线二等角”的起

DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置.

下面分几种类型讨论：

一'直角形"一线三等角”——“一线三直角”

同侧型

二、锐角形“一线三等角

3

C

同侧型异侧型I

2

31

EAD

中点型

结论：AADB-ACEA-ACAB

三、钝角形“一线三等角

中点型

结论：AADB-ACEA-ACAB

【变式1］（2022秋・江苏无锡・九年级校联考阶段练习）如图，在A/BC中，AB=AC=5,BC

=6,P是8c上一点，且3尸=2,将一个大小与“相等的角的顶点放在尸点，然后将这个

角绕P点转动，使角的两边始终分别与n8、NC相交，交点为E.

A

⑴求证：ABPDFCEP；

(2)是否存在这样的位置，为直角三角形？若存在，求出AD的长若不存在，说明理

由.

【变式2](2022•河北唐山・唐山市第十二中学校考一模)如图，抛物线，\hx(；与x

轴交于4,2两点，其中/(-2,0),点。(4,3)为该抛物线上一点.

(1)B点坐标为；

⑵直线x="交直线/D于点K,交抛物线于点尸，且点尸在点K上方，连接P/、PD.

①请直接写出线段PK长(用含〃的代数式表示)

②求面积的最大值；

⑶将直线AD绕点A逆时针旋转90。得到直线I,若点Q是直线/上的点，且乙400=45。，请

直接写出点0坐标.

【变式3](2021秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，。

为坐标原点，抛物线片：交x轴于/、2两点，点C在抛物线上，且点C的横坐

标为-1,连接2C交了轴于点D.

图3

(1)如图1,求点。的坐标；

(2)如图2,点尸在第二象限内抛物线上，过点尸作PGlx轴于G,点E在线段PG上，连接

AE,过点E作瓦U/E交线段DB于尸，若EF=AE,设点尸的横坐标为3线段PE的长为

d,求d与f的函数关系式；

(3)如图3,在(2)的条件下，点8在线段上，连接CE、EH,若乙CEF=41EH,EH-CE=

Alt，求点P的坐标.

X

【变式4](2022•内蒙古鄂尔多斯・统考二模)如图，抛物线,A；与工轴交于

1(〃((，.<”两点，与y轴交于点C.直线/与抛物线交于/,。两点，与y轴交于点

E,点、D的坐标为；1一.

(1)求抛物线的解析式；

⑵若点P是抛物线上的点，点尸的横坐标为中S小，过点尸作Ir轴，垂足为朋■.尸”

与直线/交于点N,当点N是线段的三等分点时，求点尸的坐标；

(3)若点0是y轴上的点，且/.4/乂)4、，求点Q的坐标.

【变式5】(2022•浙江绍兴•模拟预测)如图，V4M中/"<；”,hr!川,，且点

/.为边修的中点.将川•八绕点，,旋转，在旋转过程中，射线与线段”:相交于点「，

射线/,/与射线f相交于点，:，，连结八：」.

⑴如图1,当点〃在线段，：上时，

①求证：\mr-•>।/■>；

②线段之间存在怎样的数量关系？请说明理由;

⑵当“0为等腰三角形时，求:;的值.

r

丽水•八年级统考期末）如图，点P,。分别是乙45c边A4,3c上的点，

且/“1I,小.连结尸D,以PD为边,在尸口的右侧作等边△£>「£1,连结2£,则

△8DB的面积为（）

2.（2022秋•八年级课时练习）如图，在△N8C中，/8=/C=9,点E在边/C上，NE的中

垂线交8c于点。，若乙ADE=3CD=3BD,则CE等于（）

3.（2022秋•八年级课时练习）如图所示，\|3中，直线/经过点

A,过点3作I/于点£,过点C作（71/于点尸.若1<7、，则

EI-

A

BC

4.（2022・全国•九年级专题练习）如图，抛物线y=-x?+4x上有一点3（1,3）,点3与点C

关于抛物线的对称轴对称.过点2作直线轴，交x轴于点X.点M在直线AH■上运

动，点N在x轴正半轴上运动，以C,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，点N的

坐标为.

5.（2022秋•八年级课时练习）如图，直线//1加b皿3,垂足分别为P、Q，一块含有45。的

直角三角板的顶点4B、C分别在直线小小线段P。上，点。是斜边的中点，若尸。

等于；＞,则。。的长等于.

k4

6.（2022秋・浙江金华•八年级校考阶段练习）如图，在Rt（小中，三魏邈匕窿,

分别过点3,C作过点/的直线的垂线3D,CE,垂足为D,E.若展出会电硝温BI，

求的长.

7.（2022春・全国•九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：

如图1,腐㈱底由尾襁府奥施dW,邈蚩癣觐

可得「一；又因为“其〃/）必，可得施襁为懒解,进而得到

.我们把这个模型称为“一线三等角”模型.

应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角，如图2,在中，3K10

n（I；,点P是8C边上的一个动点（不与8、C重合），点。是NC边上的一个动点，且

/Arn/H■

①求证：

②当点尸为2C中点时，求8的长；

拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当为等腰三角形时，请直接写出8P的长.

8.（2022秋•八年级课时练习）如图，在中，IHH(.

CC

（1）如图①所示，直线w过点八，1W4八于点"，，\\八于点、，且

1M90°.求证：MN1M•<S.

（2）如图②所示，直线\f\过点>,■,|“交\!\于点W,<A交于点、,且

腿该蹒=腐遮，则；“，'，是否成立？请说明理由.

9.（2022秋•江苏•八年级专题练习）问题背景：（1）如图①，已知V""中，9”/）,

1/i1（,直线加经过点工,,,“।,直线机，<7直线加，垂足分别为点D,E,易证：

/）/•+

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在\13中，1"1(,D,A,E三点、

都在直线加上，并且有文崛知幽请求出。£，BD,CE三条线段的数量关

系，并证明.

(3)实际应用：如图③，在：</；中，1()i90,If用，点C的坐标为I2.0I,

点/的坐标为I，，；，请直接写出3点的坐标.

10.(2022秋•八年级课时练习)(1)课本习题回放："如图①，K')0,1(/,(,

\!></,HI<I,垂足分别为门，，,，\1>，、,[,，'"Im.求，▼的长”，请直

接写出此题答案：小的长为.

(2)探索证明：如图②，点H,「在“八的边1"、1\±,1/1IL,点/•,卜在

\!t\内部的射线1/，上，且求证：

(3)拓展应用：如图③，在中，V；1(,〃一.点/，在边E上,

t/>"一，点/•、卜在线段”，上，若、〃”的面积为15,则

》与5川的面积之和为.(直接填写结果，不需要写解答过程)

11.（2022秋・吉林长春•七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K字”模型

或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：

/小于点E.求证：小W.

［模型应用］如图2,|/力且H'.（“且k请按照图中所标注的数据,

计算图中实线所围成的图形的面积为.

［深入探究］如图3,if'〃，”"，连接，，且

.4"于点Rj"与直线”交于点G.若“，!/I；,贝卜的面积为

⑴如图（1）,已知在A/BC中，ABAC=90°,AB=AC,直线加经过点/,直线%,CE1

直线加，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在A/BC中，AB=AC,D、/、E三点都在直线加上，

并且有乙8。/=乙4£。=乙8/。=，，，其中“为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？

如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

13.（2022秋・江苏扬州•八年级校考阶段练习）（1）观察理解：

如图1,A4C5=90°,AC=BC,直线/过点C,点/,8在直线/同侧，BDU,AEL,垂足

分另（J为。，E,求证：4AEC三ACDB.

图1.

（2）理解应用：

如图2,过A4BC边AB、4c分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,

延长孙交EG于点/.利用（1）中的结论证明：/是EG的中点.

图2

（3）类比探究：

①将图1中A/EC绕着点C旋转180。得到图3,则线段E。、EA和AD的关系

图3

②如图4,直角梯形/BCD中，ID，AB1BC,AD=2,BC=3,将腰。C绕。点逆

时针旋转90。至DE,LAED的面积为.

图4

14.（2023秋•广西南宁•八年级校考阶段练习）在直线，。上依次取互不重合的三个点CfI,

在直线"上方有1「，且满足痴蹒口

r

⑴如图1,当05）时，猜想线段，之间的数量关系是;

⑵如图2,当。,izr时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由；

（3）应用：如图3,在VWf中，"”是钝角，佛

HID..（U.HD.1.1/（.直线"，与<7｛的延长线交于点/•,若*3FR，

\I”的面积是12,求K与,〃7的面积之和.

15.（2022秋•八年级课时练习）（1）如图1,在A/BC中，NA4c=90。，AB=AC,直线机

经过点/,8DL直线加，C及L直线比,垂足分别为点。、E.求证：4ABD三4CAE；

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在A/BC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线加上,

并且有N8D4="£C=N8/C=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论三是否

成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,£三点所在直线加上的两动点（D,A,£三点互

不重合），点尸为N8NC平分线上的一点，且A/B尸和A/CF均为等边三角形，连接AD,

CE,若乙BDA=UEC=LBAC,求证：△£）跖是等边三角形.

图1图2

16.（2021秋•四川达州•九年级统考期中）模型探究:

(1)如图1,在等腰直角三角形I；：「中，1(wW.(H(/,直线/经过点(•，过A

作」/，于点〃,过"作；八于点/•.求证：HICf)；

模型应用：

(2)已知直线/.-4与坐标轴交于点\、甘，将直线4绕点、逆时针旋转90。至直线/,

如图2,求直线/的函数表达式；

(3)如图3,已知点、、H在直线，1.1•1±,且"：1?.若直线与.1轴的交点为

“，“为1/：中点.试判断在』轴上是否存在一点，，使得11所是以//；为斜边的等腰直

角三角形.

17.(2022秋•江苏•八年级专题练习)已知CD是经过乙BC4的顶点C的一条直线,C4=C2,

E、厂是直线CD上两点，4BEC=4CFA=4a.

(1)若直线CD经过MC4的内部，乙BCD>UCD.

①如图1,48。4=90。，“=90。，写出BE,EF,4尸间的等量关系：.

②如图2,Na与乙BC4具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出Na与乙BC4

的数量关系.

(2)如图3.若直线。经过N3C/的外部，乙a―BCA,①中的结论是否成立？若成立,

进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明.

图1图2图3

18.(2022秋•湖北武汉•八年级校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知力，，」＞，、

3分别在坐标轴的正半轴上.

(1)如图1,若。、6满足s1＞;”以8为直角顶点，M为直角边在第一象限

内作等腰直角，则点C的坐标是；

(2)如图2,若”A,点。是3T的延长线上一点，以。为直角顶点，/")为直角边在第

一象限作等腰直角Hi)K＞连接/，求证：”；」«/./);

(3)如图3,设"