三角形的证明与计算（解析版）-2024年中考=数学=题型归纳与变式演练（全国卷）

专题03三角形的证明与计算

目录

题型01三角形与全等...........................................................................

题型02三角形与相似...........................................................................

题型03三角形边角计算.........................................................................

中考练场.......................................................................................

热点题型归纳

题型01三角形与全等

【解题策略】

六个全等模型

幺

。

Z

I1

直

2

两

手拉手模型

第1页共44页

【典例分析】

例.（2023•北京・中考真题）在4ABe中、ZB=ZC=6Z（O°<a<45°）,A"_L8C于点跖D

是线段MC上的动点（不与点M,C重合），将线段。欣绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

（1汝口图1,当点E在线段AC上时，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段2M上存在点尸（不与点8,M重合）满足DE=DC,连接AE,EF,

直接写出一AEF的大小，并证明.

【答案】（1）见解析（2）/4跖=90。，证明见解析

【分析】（1）由旋转的性质得=ZMDE=2a,利用三角形外角的性质求出

ZDEC=a=ZC,可得DE=DC,等量代换得到DM=DC即可；

（2）延长FE到X使=连接CH,AH,可得DE是V瓦〃的中位线，然后求出

/B=/ACH,设DM=DE=m,CD=n,求出防=2〃?=CH,证明1:ABFjAC”（SAS）,

得到AF=A"，再根据等腰三角形三线合一证明即可.

【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM=DE,ZMDE=2a,

'：ZC=a,

：.ZDEC=ZMDE-ZC=a,

：.NC=/DEC,

：.DE=DC,

第2页共44页

:,DM=DC,即。是MC的中点；

(2)ZAEF=90°；

证明：如图2,延长所到“使=连接CH,AH,

•?DF=DC,

二•DE是VA%的中位线，

DE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,ZMDE=2a,

：.ZFCH=2af

'：ZB=ZC=a,

ZACH=a,ABC是等腰三角形，

:,NB=NACH,AB=AC,

设DM=DE=m,CD=n,则CH=2m,CM=m-\-n,

・•・DF=CD=n,

FM=DF-DM=n-m,

'：AM±BCf

BM=CM=m+n,

BF=BM-FM=m+n-(n-喻=2m,

：.CH=BF,

AB=AC

在厂和qAS中，＜ZB=ZACH,

BF=CH

：.ABF^ACH(SAS),：.AF=AH,

VFE=EH,：.AE±FHf即4E产=90。.

第3页共44页

图2

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中

位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解

题的关键.

【变式演练】

1.（2024•陕西西安・模拟预测）如图，在uWC和VADE中，延长3C交DE于

F.BC=DE,ZBAD=ZCAE,ZACF+ZAED^180°.求证：AB=AD.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先分别证明=

ZAED=ZACB,再证明，ADE乌ABC（AAS）,即可证明AB=">.

【详解】证明：'：ZBAD^ZCAE,

：.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,：.ZBAC=ZDAE,

,/ZACF+ZAED=180°=/Ab+NACB,ZAED=ZACB,

又：BC=DE,

：..ADE^ABC(AAS),

：.AB=AD.

2.（2022.安徽・模拟预测）如图,在等腰RtAABC与等腰RtACDE中，ZACB=ZDCE=90°,

连接3。，AE相交于点尸，连接AD,BE,CF.

第4页共44页

D

(1)探究线段AE,3。有何关系？写出结论并说明理由.

⑵若3c=3,CD=1,求台序+短)?的值.

BF-AF

(3)直接写出的值.

CF

【答案】(1)/a=30且AEL3。，理由见解析

(2)BE2+AD2=20

【分析】本题考查了全等三角形的常见模型一“手拉手”模型，熟记模型的构成及结论是解题

关键.

(1)证—ACE之eBCD即可求解；

(2)根据BE2+AD2=(BF2+EF-)+(AF2+DF2)=(BF2+AF2)+(EF2+DF2)

=AB2+DE2=2BC2+2CD2即可求解；

(3)过点C作CMLCF,交3D于点”.证△AWWZXBCM,得AF=BM,CM=CV,即

可求解.

【详解】(1)解：&£=应)且4£_1__6£>.理由如下：

ABC和，CDE都是等腰直角三角形，

AC=BC,CE=CD,ZACB=NDCE=90°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即？ACE?BCD,

ACE^BCD(SAS),

第5页共44页

AE=BD,/CAE=ZCBD,

ZAGB=ZCAE+ZAFB,ZAGB=ZCBD+ZACB,

:.NCAE+ZAFB=NCBD+ZACB,

ZAFB=ZACB=90°,

,\AE±BD.

(2)解：由(1)知AE_LBD,

•••由勾股定理得：

BE2+AD2=(BF2+EF2)+(AF2+DF2)

=(BF2+AF2)+(EF2+DF2)

=AB2+DE2

=2BC2+2CD2

=2x9+2xl

=20.

(3)解：如图，过点。作CMLCF,交50于点M,

♦；_ACE、BCD,

；・NFAC=NMBC,

'：AACF+ZMCG=ABCM+ZMCG^9G0,

：・NACF=NBCM,

：.AACF^ABCM,

第6页共44页

:.AF=BM,CM=CF,

:.BF=BM+MF=AF+y/2CF，

BF-AF=42CF,

CF

3.(2023•河北石家庄•一模)如图，在11ABe中，AB=AC,ABAC=90°,。为线段8C上

一点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到线段AE,作射线CE.

⑴求证：BAD^.CAE,并求NBCE的度数；

(2)若P为DE中点，连接AF,连接CF并延长，交射线取于点G,当BD=2,Z)C=1时.

①求AF的长；

②直接写出CG的长.

【答案】(1)证明见详解；ZBCE=90°

(2)@AF=—；®CG=s/5

2

【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与

性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的

性质是解题的关键.

(1)利用&4s证明BAD^CAE,得/ABC=NACE=45。，即可解决问题；

(2)①利用勾股定理求出。E的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；

②利用等角对等边说明点厂为CG的中点，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案.

【详解】(1)证明：VZBAC=ZDAE=90°,

ABAD=ACAE,

第7页共44页

AB=AC,AD=AE,

/.BAD^G4E(SA5).

又AB=AC,ABAC=90°,

ZABC=ZACB=45°,

QVBAD^VCAE,

ZABC=ZACE=45°,

:.ZBCE=ZACB^-ZACE=45O+45。=90。；

(2)①在H-OCE中，•:EC=BD=2,DC=1,；.DE=E,

又•；F为DE中点,ZDAE=90°,则Ab=40E=好.

22

②在M.OCE中，/为。石的中点，

,\CF=-DE=—,

22

CF=AF,

ZFAC=ZFCA,

ZBAC=90°,

/.ZGAC=90°,

/.ZFAG=ZAGC,

AF=GF,

CG=2AF=75.

题型02三角形与相似

【解题策略】

第8页共44页

【典例分析】

例.（2023•湖南常德・中考真题）如图，在JLBC中，AB=AC,。是3c的中点，延长D4

至E,连接EB,EC.

⑴求证：一B4E/.C4E；

（2）在如图1中，若=其它条件不变得到图2,在图2中过点。作。尸，AB于尸，

设”是EC的中点，过点打作“GAB交FD于G,交DE于M.

求证：①AFMH=AMAE；

②GF=GD.

【答案】（1）证明见解析

⑵①见解析，②见解析

【分析】（1）先证出AD是BC的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到座=EC,

第9页共44页

最后由SSS证得“54E也CAE-,

(2)①连接AH,由三角形中位线的性质得到AT/〃。C,从而NE4H=NEDC=90。，再由

DF±AB,HGAB,得到NE4D=/4MH,可证得△AFD^AMAH,从而

AFMH^AMAD,又AE=AD,等量代换即可；

②先证明再由A”为的中位线，得到AM=▲4£>,从而对为4。

2

中点，由于G为ED中点，故得证GR=GE>.

【详解】(1)证明：；AB=AC,O是BC的中点，

AD是8C的垂直平分线，

又在AD上，

EB=EC,

在八54E和VC4E中，AB=AC,EB=EC,AE=AE

：.ABAE1空△C4E(SSS)

(2)证明：①连接AH,

VAH分别是和EC的中点,

,AH为△EDC的中位线，

，AH//DC,

NEAH=NEDC=90°,

又：DF±AB,

：.ZAFD=9Q°,

第10页共44页

又,：HGAB,

ZFAD=ZAMH,

在△ATO和/M4H中，ZAFD=ZMAH=90°,ZFAD=ZAMH,

・•・/\AFD^/\MAH，

.AFAD

•'­AF-MH=AMAD,

又•・•AE=AT),

JAF-MH=AMAE；

②在一4Vff/和△ZMC中，ZMAH=ZADC=90°f

•・•AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

DF±AB,

：.ZFAD+ZADF=90°,

9：ZABD^-ZFAD=90°,

：・NABD=ZADF,

•・•AB//HG,

：.ZAFD=ZHGD=90°,

■:ZAMH=/GMD,

ZAHM=ZADF,

JZABD=ZADF=ZAHM,

：.ZAHM=ZACB,

JAAMH^/\DAC，

又TA、H分别为E。和EC中点,

第11页共44页

，AH为的中位线，

.AMAH1

"AD"DC_2）

/.AM=-AD,即河为AD中点，

2

又：AF//GH,

，G为FD中点，

:.GF=GD.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线

的判定和性质、三角形中位线的定义和性质，熟练掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.

【变式演练】

1.（2023九年级・安徽•专题练习）如图，在等腰Rt^ABC中，41cB=90。，E为BC边上

一点，。为AC延长线上一点，S.CE=CD,连接BD,DE,AE,延长AE交于点G,

。为AD的中点，P为射线OE上一点，连接。尸，交AG延长线于点Q,且PD=BD.

(1)求证：ACE^.BCD

（2）若G为的中点，求"的值;

⑶在（2）的条件下，当DE_LOP时，求证：DE2=EGBD.

【答案】（1）见解析

（3）见解析

第12页共44页

【分析】(1)本题考查三角形全等的判定，根据等腰三角形的性质的到边相等角相等，结

合CE=CD即可得到证明；

(2)本题考查三角形相似的性质与判定，证明/E3G=/£>3C,结合三角形全等的性质得

至L3GES&3c。即可得到答案；

(3)本题考查三角形相似的性质与判定，延长EO至点/，使得OE=OF,连接。尸，先证

AAOE^ADOF,再证一。GEs：/>E£),即可得到答案；

【详解】(1)证明：：在等腰中，ZACB=90°,

AC=BC,/BCD=90°,

ZACB=ZBCD=90°,

CE=CD,

ACE当BCD-,

(2)解：由(1)知aACE四一BCD,

ZEAC=ZDBC,AE=BD,

ZBEG=ZAEC,

ZBEG+ZDBC=ZAEC+ZEAC=90°,

NEGB=180°-90°=90°,

G为8。的中点，

AG垂直平分BD,

BE=DE,

在RtC即中，BE=DE=ylCE2+CD2=y[2CD^

/EBG=/DBC,

，BGEsBCD,

.BG_BCBE+CE_16+»CD0।1

'EG~CD~CD~CD~

第13页共44页

，空=变=理=2(0+1)；

EGEGEG')

(3)证明：如图，延长EO至点方，使得。石=。/，连接DF,

AO=OD,ZAOE=ZDOF,

/.△AOE^ADOF,

ZF=ZAEO.DF=AE,

由(1)可知5Z)=AE=PD,

DF=PD,

：.ZF=ZP,

ZAEF=ZPEQ,

：.NP=/PEQ,

DELOP,

ZPEQ+ZQED=90°,

由(2)可知AG_L3D,

/.NQED+ZEDG=90°,ZPED=ZDGE=90°,

:./P=/EDG,

DGEsPED,

.DEEG

'~PD~~DE'

:.DE?=EGPD,

即DE?=EGBD.

第14页共44页

BP

2.（2023・上海虹口•一模）如图，在ABC中，已知点。、E分别在边3C,AB上，EC和A。

相交于点F,NEDB=ZADC,DE2=DFDA.

⑴求证：ABDs_ECD；

⑵如果NACB=90。，求证：FC=^EC.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定和性质定理是解题的关键.

（1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】⑴证明：•••小2=。尸./M,

.DEDF

••一，

ADDE

,/ZFDE=ZEDA,

:・aDEF^£,DAE,

第15页共44页

/DAE=ZDEF,

•：/EDB=ZADC,

：.ZADB=ZCDE,

：.ABD^ECD；

(2)由(1)知，,ABD^_ECD,

：.ZB=ZECD,

：.BE=CE,

9：ZACB=90°,

J/BAC+/B=/BCE+ZACE,

:.ZBAC=ZACE,

：.AE=BE=CE,

取AD的中点G,连接CG,

・•・NGDC=/GCD,

：.Z£)GC=180o-2ZAr)C,

,/ZBDE=ZADC,

：.Z/WE=180°-2ZAZ)C,

第16页共44页

ZADE=NCGF,

由（1）知，GEFsQAE,

：.ZAED=ZDFE,

•.*ZDFE=ZCFG,

：.ZAED=ZCFG.

；・ACGFS±ADE,

,CGCF1

…AD~~AE~2'

CF=-AE,

2

・・.FC=-EC.

2

3.（2024.上海普陀.一模）已知：如图，在J1BC中，点。在边3C上，ZADE=ZB,

/EAF=/FDC,DE与AC交于点F.

小卡f

⑴求证：法AB=A运D；

⑵连接BF,如果AB2=AFAC,求证：ADBC=AEBF.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

Af{AFI

（1）证明△ADES^ABC,即可得出31=嘿

ACAE

（2）先推导出普=哭，证明△ABFs^ACiS,得芸=整，即可证明当进而

ACABACBCAEBC

第17页共44页

得出结论.

【详解】（1）证明：NEAF=NFDC,ZAFE=NDFC,

/EAF+ZAFE+NE=180。=/FDC+NDFC+ZC,

.\ZE=ZC,

在VAT处和ABC中，

（ZADE=ZB

[ZE=ZC'

：.AADE^AABC,

.ABAD

AC-AE

(2)证明:如图:

2.ABAF

VAB=AFAC,.1

ACAB

ADBF

•：NBAF=NCAB,：.AABF^AACB,——=——,

ACBC

..ABAD.AD_BF

:.ADBC=AEBF.

*AC-AE

4.(2023・浙江绍兴•模拟预测)在4A05和△COD中，ZAOB=ZCOD=90°,直线AC与BD

交于点M.

第18页共44页

cc

%

M

A

图1图2

(1)如图1,^ZOAB=ZOCD=45°,求证：AC=BD；

(2汝口图2,^ZOAB=ZOCD=30°,写出BD与AC的数量关系，并说明理由;

(3)如图2,若ZOAB=ZOCD=a,请直接写出3D与AC的数量关系(用含a的式子表示).

【答案】(1)证明详见解析;

(2)BD=—AC,理由见解析

3

(3)BD-ACtana

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,正切的定义;

(1)证明..AOC注BORSAS),根据全等三角形的性质，即可得证;

(2)证明一AOC^BOD,即可得证;

(3)依题意，得出箫济力，证明-AOCs..,则枭豢熹，即可得出结

论

【详解】(1)证明：QZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=45°,

：.ZOCD=ZODC=45°,ZOAB=ZOBA=45°,

:.ZAOC=ZBOD,

在AAOC和ABOD中,

OA=OB,

ZAOC=乙BOD,

OC=OD

AOC与BOD(SAS),

第19页共44页

.0.AC=BD；

(2)解:结论：BD=­AC.

3

理由：如图2中QNAO3=NCOD=90。，ZOAB=ZOCD^30°,

AO=60B,CO=-J3OD,

.AOCO

"丽一丽’

QZAOB=ZCOD=90°,

:.ZAOC=ZBOD,

.•.△AOCSABOD,

BDOB

:.BD=—AC-,

3

(3)解：结论：BD=AC\ana.

理由：QZAOB=ZCOD=90°,AOAB=Z.OCD=a,

:.OB=OAtana,DO=COtana,

•A。_CO_1

OBDOtana'

ZAOB=ZCOD=90°,

.\ZAOC=ZBODf

:.AAOC^ABOD,

•_1

BDOBtana，

BD=ACtana.

第20页共44页

题型03三角形边角计算

【解题策略】

勾股定理常见折叠模型:

【典例分析】

例.(2022.四川资阳・中考真题)如图，在中(AB<BC),过点C作CE>〃A3,在CO

上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.

⑴求证：△AB8AECD；

(2)若/A=90。,42=3,2。=2指，求ABCD的面积.

【答案】(1)证明见解析(2)SAS=10

第21页共44页

【分析】（1）根据AB〃C£>,可以得到NABC=NECD,即可用SAS证明得出结论；

（2）根据全等三角形的性质，可以得到NCE£>=NA=90。，设3E=x,则CD=3C=3+x,

因为在RtABED中，DE2=BD2-BE2,而在Rt..CEO中，DE2=CD2-CE2,即可列出方

程求出三角形的面积.

【详解】（1）证明：VAB//CD,；.ZABC=ZECD

又；AB=CE,BC=CD,；.ABC=ECD（SAS）；

（2）由（1）zXABC四△ECD,ZC£D=ZA=90°,

设3E=x,VAB=CE=3,贝l|CD=8C=3+x,

在RIBBED中，DE2=BD2-BE2，

在Rt_CE»中，DE2=CD2-CE2,BD2-BE2=CD2-CE2,

即（26）2-/=（尤+3）2-32,整理得:炉+3%-10=0,解得：占=2,无2=-5（舍去），BE=2,

：.DE=/2#=4,BC=BE+CE=2+3=5,：.S%。=；xBCxOE=gx5x4=10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程

思想解决几何问题是本题的关键.

【变式演练】

1.（2023・湖北黄冈•一模）如图，在RtZXABC中，NABC=90o,NC=30。，点。在8C上，

且砒>=AB,E为AO的中点，连接BE并延长，交AC于点

⑴求NAFE■的度数；

（2）若AC=4,求AD的长.

【答案】⑴75。⑵2e

第22页共44页

【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一求出/D3E=45。,再由三角形的外角和定理求解

即可；

（2）30。所对的直角边等于斜边的一半即可得A3=1AC=2,再由勾股定理即可求解.

2

【详解】（1）解：BD=AB,ZABC=90°,

,ABD为等腰直角三角形，

:.ZBAD^ZBDA=45°.

E为4D的中点，

.•.3£为445。的中线，且

ABE1与△■BDE■均为等腰直角三角形，

.-.ZDB£=45°,

ZAFE=ZC+ZDBE=30°+45°=75°；

（2）.AC=4,ZC=30°,ZABC=90°,

AB=-AC=2,

2

又.BD=AB,

AD=y/AB2+BD2=2A/2.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，三角形的外角和定理，含30。的直角三角形，勾

股定理，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题关键.

2.（2023•浙江温州•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AE平分NC4B交CB

于点E,CDLAB于点D,交AE于点G,过点G作G/〃3c交A3于尸，连接E尸.

⑴求证：CG=CE；

第23页共44页

(2)若AC=3cm,5C=4cm,求线段£>G的长度.

【答案】⑴见解析⑵木9

【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，全等三角形

的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法，能够通过勾

股定理列方程.

(1)根据角平分线的定义可得归=/&归，根据直角三角形两锐角互余，可得

ZCAE+ZCEA=ZBAE+ZAGD=90°,等量代换可得/CE4=NAGD=/CGE,即可证明

CG=CE；

(2)先证.AGC会AGF(ASA),推出CG=FG,结合(1)中结论可得(石=/&,结合

G/〃BC可证四边形CGEE是平行四边形，结合CG=CE可证CGFE是菱形，根据勾股定

理可得AB=5cm,根据aAGC=可得AF=AC=3cm,进而求出Bb=2cm,再根据

菱形的性质推出5F//CG,进而证明设CE=EF=CG=GF=x,用勾股定理解

RtAEFB求出x,再利用面积法求出CD,即可求出DG的长度.

【详解】(1)证明：AE平分/。山，

ZCAE=ZBAE,

ZACfi=90°,CDLAB,

：.Z.CAE+ACEA=NBAE+ZAGD=90°,

ZCEA=ZAGD,

又〔ZCGE=ZAGD,

..ZCEA=ZCGE,

CG=CE；

(2))解：GF〃BC,

:.ZCEG=ZEGF,

由(1)知NCEA=/CGE,

:.ZCGE=ZEGF,

第24页共44页

:.ZAGC=ZAGF,

AG=AG,ZCAE=ZBAE,

AGC^.AGF(ASA),

:.CG=FG,

由(1)知CG=CE,

:.CE=FG,

GF〃BC,

..CE//FG,

••・四边形CGFE是平行四边形,

CG=CE,

二.四边形CGEE是菱形；

在RtZXABC中，ZACB=90°,

AC=3cm,BC=4cm,

AB=VAC2+BC2=5cm，

AGC^AGF,

/.AF=AC=3cm,

.'.BF=AB-AF=2cm,

••四边形CGFE是菱形，

..EF//CG,

CD^AB,

:.EF±AB,

^CE=EF=CG=GF=x^,

BE=BC-CE=(4-x)cm,

第25页共44页

在RtZkEFB中，根据勾股定理得:

EF2+BF2=BE2,

x2+22=(4-x)2,

解得尤=：3,

3

CG=-cm,

2

SMBCBC=^ABCD,

3x4=5CD,

.­.CO=y(cm),

1239

:.GD=CD-CG=——-=—(cm).

5210

3.(2023•安徽・模拟预测)某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形ABC。中,

对角线AC,2。相交于点O.

⑴如图1,若AC13D,求证：AD2+BC2=AB2+CD2；

(2)如图2,若AC=a,BD=b,NAOB=a(a为锐角)，求四边形ABC。的面积；(用含a,6,a

的代数式表示)

(3汝口图3,^BC^AB+CD,ZABC=ZBCD=60°,AC=2,求四边形ABC。的面积.

【答案】(1)见解析

(2)g〃bsina

⑶石

第26页共44页

【分析】本题考查了全等三角形、勾股定理、三角函数，最后一问由已知条件联想截长补短

的辅助线，可发现图中隐藏的“手拉手”全等，从而解决问题.

(1)由垂直定理得/48=/403=々0。=/。8=90。，再根据勾股定理

AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,即可解答.

(2)过点。作ZV，AC于点J,过点B作3K，AC于点K.根据S四边形钻。=S*»+SACB即

可解答.

(3)在BC上取点G,使3G=AB,连接AG,DG,H为BD,AG的交点，先证明

ABGD^AAGC,再证明NAO3=NAG3=60°即可.

【详解】(1)ACABD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=NCOD=90°.

由勾股定理，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

:.AD2+BC2=AB2+CD2.

(2)过点。作DJ,AC于点J,过点8作3K_LAC于点K.

S四边形ABCD=^AACB+SAACB=QAC.+—AC-BK,

=—a-DO-sma+—a-BO,sina=—asina•(DO+BO、

222v7

1.

=—ab7smoc.

2

(3)如图，在BC上取点G,使BG=AB,连接AG,DG,H为BD,AG的交点。

第27页共44页

A

BC=AB+CD=BG+CG,

.CD=CG,

ZABC=ZBCD=60°,

.ABG与-CDG均为等边三角形，

.AG=BG,DG=CG,ZAGB=ZCGD=60°,

NAG。=60。，

:.ZBGD=ZAGC=120°,

/.BGD^AGC(SAS),

：.BD=AC=2,NGBD=NGAC,

又二ZAHD=/BHG,

.\ZAOB=ZAGB=60°,

由（2）知S如访%am二』AC.5O-sin/AOB=Lx2x2x^=百.

四也形ASG0222

4.（2024•山西朔州•一模）综合与实践

在ABC中，A8=AC,D为边3C的中点，以。为顶点作NMDN=/B.

（1）如图1,当射线ON经过点A时，DM交边AC于点E,不添加辅助线，则图①中与VADE

相似的三角形有.（填序号）

第28页共44页

①△ABO②AWC③，ABC@ADCE

(2)如图2,将绕点。沿逆时针方向旋转，。”,加分别交线段4。,48于点£,(点

E与点A不重合)，求证：ABDFS&DEF.

(3)在图2中，若AB=AC=5,BC=6,当」郎的面积等于ABC的面积的!时，求线段所

的长.

【答案】(1)①②④

(2)见解析

(3)2.5

【分析】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、

等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题

的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用.

(1)根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；

(2)利用已知首先求出/8ED=/CDE,即可得出再利用相似三角形的

性质得出=得出，.CEDSOEP,进而得出.

(3)首先利用1)跖的面积等于_ABC的面积的求出D”的长，进而利用的值求

4

出石尸即可.

【详解】(1)解：AB=AC,。为5c的中点，

:.AD±BC,ZB=NC,ZBAD=ZCADf

又-ZMDN=ZB,

ADES.ABD,故①正确；

同理可得：AADE^AACD,故②正确；

ZMDN=ZB,/B+NBAD=900,ZMDN+ZEDC=90°,

.\ZBAD=ZEDC,

,:ZBAD=ZDAE

第29页共44页

・•・/DAE=/EDC

ZMDN=ZC,

:.一ADES_DCE,故④正确；

在VAD石与ABC中只有NMDN=N3或NMDN=NC,故不能判定VAD石与ABC相似.

图①中与VAD石相似的三角形有①②④.

(2)证明：ZB+ZBFD=ZCDF=ZMDN+ZCDE,ZMDN=ZB

\1BFD2CDE,

由AB=AC,得NB=NC,

/.BDFsCED.

.BDEC

'~DF~~DE

BD=CD,

.CDEC

,DF-DE,

又・ZB=NEDF,

/.CED^DEF.

/\BDFs/\DEF.

(3)解：连接AD,过。点作OGLEF,DHVBF,垂足分别为G,H.

AB=AC=5,。是BC的中点，:.ADLBC,BD=-BC=3.

2

在RtZXABD中，AD=y/AB2-BD2=>j52-32=4-

第30页共44页

•・SZ^AABoC=—2BC-AD=—2X6X4=12.ZAzJzi/*=—4SAZA4ARorC=—.xl2=3.

BD

又：LAD・BD=LAB・DH,DH=^=^1=2,4

22AB5

BDFs、DEF,ZDFB=ZEFD

QDG1EF,DH工BF,.\DH=DG=2A.

3

i•FF=___=75

StDEF=-xEFxDG=3f•,1,.

2

中考练场

1.（2023•青海西宁•中考真题）如图，在YABCD中，点E,尸分别在A3,。的延长线

上，且BE=DF,连接与AC交于点连接AF,CE.

⑴求证：AAEM冬ACFM；

（2）若AC,防，AF=36，求四边形AECF的周长.

【答案】（1）见解析（2）12夜

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出"DC,AB=£>C,进而得出N/㈤0=NCFM,

证明AE=CF,根据AAS证明丝△。物，即可得证；

（2）证明cAEC厂是菱形，根据菱形的性质，即可求解.

【详解】（1）证明：二•四边形A3CD是平行四边形

AABDC,=（平行四边形的对边平行且相等）

第31页共44页

：.ZAEM=ZCFM（两直线平行，内错角相等）

,/BE=DF

AB+BE=CD+DF即AE=CF

在和中

ZAME=ZCMF

<NAEM=NCFM

AE=CF

：.AAEM^/\CFM（AAS）；

（2）解：VAE^CF,AE//CF

，四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又：ACYEF

，.4ECT是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

：.AE=EC=CF=AF（菱形的四条边都相等）

菱形AECF的周长=4AF=4X3A/2=120.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟

练掌握以上知识是解题的关键.

2.（2023・四川甘孜・中考真题）如图，在RtABC中，AC=8C=3&，点。在AB边上,

连接CD,将CO绕点C逆时针旋转90。得到CE,连接BE,DE.

⑴求证：一CAD^CBE；

（2）若AT>=2时，求CE的长；

（3）点。在AB上运动时，试探究的^+或）?的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小

第32页共44页

值；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

⑵所

⑶存在，18

【分析】(1)由SAS即可证明,.CAZ汪.CBE；

(2)证明④皿)空CBE(SAS),勾股定理得到DE,在Rt_CDE中，勾股定理即可求

解；

(3)证明ACP+BD?=2CE)2,即可求解.

【详解】(1)解：由题意，可知NACB=/OCE=90。，CA=CB,CD=CE.

ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即ZACD=NBCE.

CAD^C阻SAS).

(2)-「在Rt.ABC中，AC=BC=3版,

NCAB=ZCBA=45°,AB=6AC=6.

:.BD=AB-AD=6-2=4.

CAD^CBE,

:.BE=AD=2,ZCBE=ZCAD=45°.

ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

DE=^BEr+BE1=2出■

r)p.—

・•.在Rt2\CDE中，C£=CD=-^=V10.

(3)由(2)可知，AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CD2.

当CD最小时，有AD?+.2的值最小，此时CDLAB.

第33页共44页

ASC为等腰直角三角形，，CO=gAB=gx6=3.

AD2+BD2=2CZ)2>2X32=18.即4)?+即2的最小值为18.

【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角

形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

3.(2023•山东潍坊・中考真题)如图，在..ABC中，CO平分/ACB,AELCD,重足为点

E,过点E作EF〃BC、交AC于点RG为BC的中点，连接FG.求证：FG^AB.

2

【答案】证明见解析

【分析】如图，延长AE交BC于H,证明二ACE四..HCE(ASA),则AE=E"=；A”，证

明二皿则=即笠=：，解得AC=2AF,即尸是AC的中点，FG是

ACAHAC2

ABC的中位线，进而可得/G=；AB.

【详解】证明：如图，延长AE交BC于"，

平分，ACB,AE1CD,

：.ZACE=NHCE,ZAEC=ZHEC=90°,

•：ZACE=NHCE,CE=CE,ZAEC=NHEC=9。。，

第34页共44页

4ACE^.HCS(ASA),

AE=EH=-AH,

2

•/EF//BC,

：.ZAEF=ZAHC,ZAFE=ZACH,

•LAEF^AHC,

即桨=；，解得AC=2AF,

ACAHAC2

二尸是AC的中点，

又：G是8C的中点，

二户6是_45。的中位线，

/.FG=-AB.

2

【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位

线.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

4.（2023•山东聊城•中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE=CD,

ZB=ZAED=ZC.

⑴求证：ZEAD=ZEDA-,

⑵若NC=60。，OE=4时，求△AEO的面积.

【答案】⑴见解析⑵4石

【分析】（1）由NB=NAED求出NBAE=NCED,然后利用AAS证明BAE=.CED,可得

EA=ED,再由等边对等角得出结论；

第35页共44页

（2）过点E作£F1AD于凡根据等腰三角形的性质和含30。直角三角形的性质求出。尸和

AD,然后利用勾股定理求出所，再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】（1）证明：：=

180°-ZB=180°-ZAED,即ZBEA+ZBAE=ZBEA+ZCED,Z.ZBAE=ZCED,

ZB=ZC

在，54E和△CED中，，/BAE=/CE。，

BE=CD

.BAE=CED（AAS）,

AEA=ED,：.ZEAD=ZEDA-,

（2）解:过点E作所工AD于凡由（1）知£A=ED,

VZAED=ZC=60°,:.ZAEF=NDEF=30。,

VDE=4,:.DF」DE=2,

2

AAD=2.DF=4,EF7DE，-DF?=收-2?=26，

/.S=-A£>.EF=-X4X2A/3=4^.

,AFn22

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含

30。直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键.

5.（2023・广西•中考真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点。，£,E分别在边AB,

BC,C4上运动，满足AD=3E=CF.

第36页共44页

c

⑴求证：ADF^,BED;

（2）设AD的长为x,的面积为y,求y关于x的函数解析式；

（3）结合（2）所得的函数，描述一DEF的面积随AZ）的增大如何变化.

【答案】（1）见详解

Q）y=空亡-3瓜+4力

4

（3）当2<x<4时，。即的面积随AD的增大而增大，当0<x<2时，。即的面积随AQ的

增大而减小

【分析】（1）由题意易得=ZA=ZB=60°,然后根据“SAS”可进行求证；

（2）分别过点。、尸作CH，AB,/AB,垂足分别为点H、G,根据题意可得S瓯=4上,

AF=4-x,然后可得/G=#（4—x）,由（1）易得，ADF均BED白、CFE,则有

h

SADF=SBED=CFE=^X^~X）进而问题可求解；

（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解.

【详解】⑴证明：是边长为4的等边三角形，

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4,

,:AD=BE=CF,

；・AF=BD=CE,

AF=BD

在△A£）尸和中，</A=/