高考必练小题数学提分秘籍

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑徽富会街小题就要又快又准小考教辅站初高教辅站德与《高考必练小题》配套使用提分秘籍２大模块THE燁万向思维教诲考试研究院维技法极速提分学霸解题快解优解。目录模块一学霸解题学霸解题1利用集合思想和逆向思维推理出答案1学霸解题2利用特值法解决函数奇偶性与单调性问题1学霸解题3通过拆分复杂函数解决函数最值问题2学霸解题4结合函数的性质,利用排除法解决函数图像辨识问题2学霸解题5利用数值的异常性,化同底比较数值的大小3学霸解题6利用异常值排除选项3学霸解题7按照题意直接决定x取最大值时的购买情况4学霸解题8化抽象为详细,利用异常直线求解学霸解题9利用整体思想解决三角函数中给值求值问题学霸解题10利用三角函数相乘的性质直接求出函数的周期学霸解题11按照峰值的移动判断平移量5学霸解题12利用周期的比例直接求出零点的位置学霸解题13通过换元法将复合函数分解为基本初等函数学霸解题14利用初等函数的性质判断最值和零点学霸解题15利用三角函数图像解决单调性问题学霸解题16利用尽全平方公式简化运算学霸解题17利用点的异常性决定平面向量的数量积学霸解题18利用飞驰定理处理形如a⋅OA+b教辅资料站小考教辅站初高教辅站法求解向量的模10学霸解题22巧用虚数单位i迅速举行复数的除法运算11学霸解题23在基本不等式中“1”的灵便运用11学霸解题24利用等差数列的性质求公差11学霸解题25利用异常点和对称性直接求出圆的方程,利用角平分线定理证实角平分线...12学霸解题26利用中线垂直于底边得出三角形为等腰三角形,利用几何关系找条件12学霸解题27利用等面积法求三角形的高(点的纵坐标)13学霸解题28利用多边形的性质简化运算13学霸解题29通过几何关系求渐近线的斜率...14学霸解题30利用等轴双曲线的性质得出结果...154学霸解题31在内角为30∘,60∘6学霸解题36利用抛物线的性质将问题转化为求角度的问题187学霸解题37利用圆的半径r与抛物线的参数p的比值关系求线段比例197学霸解题38利用几何法解决抛物线中焦点8弦问题20模块二快解优解法8主意1排除法21主意2特例法219主意3代入验证法239主意4极限法24主意5等价转化法2410主意6构造法24主意7逆向思维法24模块一学霸解题学霸解题1利用集合思想和逆向思维推理出答案1.(2023年年新高考I卷,5题)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82A.62%B.56%C.46%【解析】记学生喜欢足球为事件A,学生喜欢游泳为事件B,则由题意得PA+B=0.96,PA=0.60,P【答案】C.【易错警示】当事件A与事件B互斥时,PA+B=PA+PB成立,当事件A与事件B学霸灵感题目给出的信息可以看成两个集合之间的关系,可以由求集合的补集入手解题,也可以利用维恩图得出结果解题思维导图主意一:96%的学4%的学生生喜欢足两者都不36%的球或游泳喜欢学生喜喜欢足球60%的学生生不喜欢40%的学足球次游泳，欢足球但不喜→球和游学生足46%的泳都喜82%的欢学生喜欢游泳主意二:82%的学生喜欢游x+y青甫资料站智能宇航高教辅站心得在处理集合相交的问题时,可以利用维恩图求解,也可以利用逆向思维,通过求集合的补集得到结果2.(2023年年全国卷II,9题)设函数fx=ln2x+A.是偶函数,且在12,B.是奇函数,且在−12C.是偶函数,且在−∞,D.是奇函数,且在−∞,【解析】函数fx=ln2x+1−ln2x−1的定义域为x x≠±12.因为f−x=ln2x−1−ln2x+1=−fx,所以函数fx为奇函数.当x>12时,fx=ln2x+12x−1=ln1+22x【答案】D.学霸灵感对于挑选题,判断函数的奇偶性和单调性时可（不需要残破的证实,代入异常值举行判断即可解题思维导图f1=ln3−ln1=ln3=−续表解此类题目可以首选代值的主意,偶尔即使不学霸能选出准确答案,但也可以排除部分答案,简心得化解题过程,注重代值时结合给定的区间,选取容易计算的数值学霸解题3通过拆分复杂函数解决函数最值问题3.(2023年年新高考I卷,15题)函数fx=【解析】当x>12时,fx=2x−1−2lnx,f′x=2−2x=2x−2x.令f′x>0,得x>1,令f′x<0,得12<x<1,所以f【答案】1.学霸灵感按照函数的解析式形式考虑将其拆分成两个容易的函数解题思维导图y1=2x−1在−∞,12上单调递减，在x∈0,12时,12学霸心得当x>12时,两递增函数相减,通过比较两函数图像的增幅大小来决定最小值是异常好用的一种主意,但就这个题目来说,不要忘怀当0<x≤1教辅资料站结合函数的性质,利用排除法解决函数图尊霸解题4像辨识问题4.(2023年年浙江卷,7题)已知函数fx=x2+14则图像为右图的函数可能是().A.yB.yC.yD.y【解析】易知fx=x2+14为偶函数,gx=sinx为奇函数,而题图所表示的为奇函数的图像.对于A,B,易知y=fx+gx−14与y=fx−gx−14均不是奇函数,所以排除A,B.对于C,易知y=fxgx=x2+14sinx是奇函数,但当x∈0,π4时,y′=2xsinx+x2+14cosx>0,则函数y=fxgx在0,π4上单调递增,与图像不符,所以C不符合题意.对于D,易知y=gxfx=sinxx2+14是奇函数,且y′=x2+14cosx−2xsin【答案】D.学霸灵感由函数图像容易得到函数的单调性与奇偶性解题思维导图-函数为奇函数→排除A,B−x∈0,π2学霸心得熟练应用函数的性质解决函数图像问题学霸解题5利用数值的异常性,化同底比较数值的大小5.(2023年年新高考II卷,7题)设a=logA.c<b<aC.a<c<b【解析】因为a=log52=log54【答案】C.学霸灵感c为分数,且为12解题思维导图为分数abc=log3学霸解题自捕资料站勞教辅站高教辅站(主意一)因为c=12log55=log55>a=log52,又因为c=12log88=log88<log续表学霸心得两个数比较大小,常用的主意:(1)作差法,即两个数作差后与0比较;(2)作商法,即两个数相除后与1比较(如本题的主意二);(3)中介法,即找一个中间值(如0,±1等)并学霸解题6利用异常值排除选项6.(2023年年全国卷I,12题)若2a+A.a>2bB.a<2bC.【解析】原式可化为2a+log2a=22b+log4b2.令fx=2x+log2x,则fx在0,+∞上为增函数.假设【答案】B.学霸灵感本题为挑选题,直接分析比较艰难,可以试着选取方便计算的值对选项举行排除解题思维导图2log4b=14b学霸解题令fa=2a+log2a,gb=4b+2log4b.可以看出fa与gb都是单调递增的.∵当a=1时,f1=2=gb,且g12=1<2,g1=4>2,∴当a=1时,续表异常值法在数学考试中有着较大的用处,它常常能协助我们解决比较抽象、复杂的问题,从学霸而减少解题时光.在这道题中,挑选1和4作心得异常值的缘故是在举行对数运算时结果是整数,方便计算.这也是运用异常值法时需要考虑的,即选取能使计算简化的异常值学霸解题7按照题意直接决定x取最大值时的购买情况7.(2023年年北京卷,14题)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增强销量,李明对这四种水果举行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付胜利后,李明会得到支付款的80%①当x=10②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为___.【解析】①按照题意知,1盒草莓的价格为60元,1盒西瓜的价格为80元,购买草莓和西瓜各1盒共需支付60+80=140(元).∵140元>120元,∴少付x=10元,故顾客需要支付140−10=130(元).②设李明每笔订单的原价为t元,则促销后每笔订单得到的金额为t−x×80%元.由题意,得t−x×80%≥0.7t,∴t【答案】①130②15.教辅小考物育学霸灵感优惠额度不变奇料站文辅站2辅站学霸解题①原价为60+80=140(元),140−10=130(元).②欲使优惠额度x元占总价比例最大,就要使总价最小,即为120元,此时有担心“初高教辅站”获取更多初高中教辅资料学霸心得此题的关键在于审题,且找到x取最大值时的购买情况.在优惠额度不变的情况下,欲使折扣数尽量大,则应让总价尽量小,所以挑选120元作为异常的情况来考虑,将李明的收入与销售前总价的七折作比较得出结果学霸解题8化抽象为详细,利用异常直线求解8.已知直线y=ax+bb>0与曲线y=x3有且惟独两个公共点A.-1B.0C.1D.a【解析】设函数fx=x3−ax−bb>0,则函数fx有且只有两个零点x1,x2,f′x=3x2−a.当a≤0时,对随意x∈R,都有f′x≥0,则函数fx在R上是增函数,所以函数fx不可能有两个零点,不满意题意.当a>0时,令f′x=0,得x=±a3.当x∈−∞,−a3∪a3,+∞时,f′x>0;当x∈−a3,a3时,f′x<0.所以函数fx的单调递增区间是【答案】B.学霸把抽象的直线方程转化为符合题意的详细方灵感程(如曲线y=x3在续表解题思维导图取异常直线:曲线y=x3在x=−1处的切线→验证切线满意学霸解题不妨取曲线y=x3在x=−1处的切线方程为该直线的方程.令fx=x3,则f−1=−1,f′−1=3,此时直线方程为y学霸心得在挑选题中,将普通问题异常化,往往可以快速找到准确答案,提高解题效率学霸解题9利用整体思想解决三角函数中给值求值问题9.(2023年年江苏卷,8题)已知sin2π4+α=【解析】由sin2π4+α=23,得sinπ4cosα+cosπ4【答案】13学霸灵感三角函数化简时,降幂升倍,角升倍后浮上π2解题思维导图自酸料站净教辅站品教辅站学霸心得nπ4+α=2解三角函数化简或求值的题目时,要熟练控制各个公式的形式,要注重已知角和所求角之间的关系.本题将π4+α学霸解题10利用三角函数相乘的性质直接求出函数的周期10.函数fx=A.πB.2πC.4πD.【解析】由题意得fk∈Z.如图,作出函数f由图像可知,函数fx的最小正周期为2π,最大值为12.所以最小正周期与最大值之比为【答案】C.学霸灵感函数y=sinx与函数解题思维导图函数y=sinx的最fx的周期小正周期为2π，fx的最函数y=cosx的小正周期最小正周期为π-与最大值之比为4π.sinx⋅cos学霸心得两个三角函数相乘仍为周期函数,且函数的最小正周期是两个函数周期的最小公倍数，由此可以直接得出函数的最小正周期学霸解题11按照峰值的移动判断平移量11.已知函数fx=−π<φ<π)的部分图像如图,为了得到函数fx的图像,需要将函数gx=2cos2ωA.π12B.π6C.π4【解析】由题图可知,T4=π3−π12=π,所以ω=2,故fx=2sin2x+φ.因为fπ12=2sin2×π12+φ=2,所以π6+φ=π2+2kπk∈【答案】A.【技巧点拨】将函数y=fx的图像向右平移mm>0个单位长度后得到函数y=fx−学霸灵感gx在x=解题思维导图在x=0处，gx=2，恰好是gx的峰值将gx的图像向右在x=π12处,f学霸解题∵gx=2cos2学霸解题由已知图像得fπ12=2,是峰值.∵将gx的图像向右平移得到fx的图像,∴gx的图像最少向右平移学霸心得在处理图像平移问题时,可以通过异常点的移动来判断平移距离学霸解题12利用周期的比例直接求出零点的位置12.已知函数fx=公众图像如图,若f小=fa−x=0A.π12B.C.π3D.【解析】由题图易知A=2,f0=1,即2sinφ=1,∴sinφ=12.∵φ<π2,∴φ=π6.由题图可知11π12⋅ω+π6=2kπ(k∈Z),【答案】A.学霸灵感看见x=0的值,是一个异常点,可以直接按照解题思维导图x=0处的函数值x=0处的点对应于ωx+x该点与左侧零点相差112个周期,与右侧两→为x=π27个零点分离相差512个周期和1112个周期f学霸心得函数y=sinx的异常点常常用于迅速解题,从x=0处的点出发,y=sinx取峰值一半的点为x=学霸解题13通过换元法将复合函数分解为基本初等函数13.若函数fx=cos2x+asinxA.2,4B.C.(−∞,4【解析】函数fx=cos2x+函数,则f′x=−2sin2x+acosx≤0在区间π6,π2上恒成立.−2sin2x+acosx=−4sinxcosx+acosx【答案】B.学霸灵感按照函数的解析式,考虑先化简,再利用换元法,转化为二次函数并用其性质举行求解解题思维导图将fx转化为同名三角函数(sinx)复合函→数性质​t∈1学霸解题函数fx=cos2x+asinx=1−2sin2x+asinx.令t=sinx,则gt=−2t2+at+1.∵x∈π6,π2学霸心得利用换元法将函数fx转化为二次函数时,注重学霸解题14利用初等函数的性质判断最值和零点14.(2023年年全国卷I,11题)关于函数fx=①fx是偶函数;②fx在区间π2,π单调递增;③fx在−π,A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】∵sin−x=sinx+sinx=fx,∴fx为偶函数,故①准确;当x∈π2,π时,fx=sinx+sinx=2sinx,其在区间π2,π单调递减,故②错误;当【答案】C.学霸灵感组合型挑选题,可先决定容易判断的结论;函数的奇偶性与函数零点个数的关系;全体实数内,正弦函数的最大值为1解题思维导图___函数⊢___函数零点个___②使得即可确定选C因为sinx≤1,sinx≤1学霸心得对于判断多个结论的题目,要善于使用异常值举行判断,同时辅以排除法,用最短的时光得出准确的答案学霸解题15利用三角函数图像解决单调性问题15.(2023年年全国卷II,10题)若函数fx=cosx−sinx在−a,aA.π4B.π2C.3π4【解析】fx=cosx−sinx=2cosx+π4.由2kπ≤x+π4≤2kπ+π由fx在−a,a上是减函数,有−π4.所以amax【答案】A.学霸灵感利用辅助角公式化简后,容易画出三角函数的图像解题思维导图fx=cosx−sinx→型函数过平面像学霸解题函数fx=cosx−sinx=2cosx+π4学霸解题调递减区间的子集,在数轴上表示为图(2),得−a≥−π4,即a的最大值为π4学霸心得依题意知−a,a是函数fx学霸解题16利用尽全平方公式简化运算16.设向量a=m,1,b=得(解析)∵12mm=2【答案】2.学霸灵感题中的条件可用尽全平方公式化简解题思维导图a学霸解题∵a⋅b=12a2学霸心得在浮上平方时,注重看见是否可以用尽全平方公式、平方差公式举行化简学霸解题17利用点的异常性决定平面向量的数量积17.(多选)(2023年年新高考I卷,10题)已知O为坐标原点,点P1cosα,sinα,PA.OP1=OC.OA⋅OP【解析】因为OP1=cos2α+sin2α=1,OP2=cos2β+−sinβ2=1,所以A项准确.因为AP1=cosα−12+sin2【答案】AC.学霸灵感题目中所给的点组成的向量可以轻易地在坐标系中画出解题思维导图C准确，D错误续表学霸解题点A,P1,P2,P3的分布如图,且OA=OP1=±β时,学霸心得理解单位圆上的点的表示主意、向量的坐标表示、向量的模、向量数量积的表示主意利用飞驰定理处理形如a⋅OA+b⋅18.已知点O是△ABC内一点,且满意OA+2OB+mA.-4B.-2C.2D.4【解析】如图,延伸OB到D,使OB.以OAAODF,衔接AD,OF交于点G,且OF交AB于点E,则OC,OF共线,点E是△OAD的重心.∵S△AOBS△ABC=47,∴不妨设【答案】D.学霸灵感点O满意OA+2OB+mO学霸解题按照飞驰定理,S△BOC:S△AOC:S△A学霸心得有关向量和三角形相结合的题目,简约而不容易,不易找到思路,因此在平时的练习中需多堆积一些重要结论(如本题中用到的飞驰定理),这样可提高解题效率续表知识飞驰定理:若O为△ABC内一点,则拓展O学霸解题19利用数量积的几何意义求数量积19.(2023年年新高考I卷,7题)已知P是边长为2的正六边形ABCDEFA.−2,6C.−2,4【解析】设Px,y.建立如图的平面直角坐标系,则A0,0,B2,0,∴AP=x,【答案】A.【技巧点拨】向量的数量积运算有两种:一种是利用向量的加减法;另一种是利用向量的坐标运算.当图形较为异常时,普通建立坐标系用坐标运算.学霸灵感正六边形为异常的多边形,有显然的几何特征解题思维导图学霸解题∵六边形ABCDEF续表+学霸解题∴AN=3,AB⋅AN=6,AB⋅AM=−2.当点P在点C或点F处时,点P在直线AB上的投影为点N学霸心得在利用投影法求向量数量积时要注重判断数量积的正负利用数形结合的主意解决向量的坐标表学霸解题20示、向量的夹角与模长问题20.(2023年年浙江卷,9题)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满意b2−4e⋅bA.3−1B.C.2D.2【解析】如图,在平面直角坐标系中,设a=x1,y1,b=x2,y2,e=12.收拾,得y12=3x12,即y1=±3x1,则a=OA的尽头A在直线y=±3x上(不包含原点).由b2−4e⋅b+3=0,得【答案】A.【主意总结】解决向量问题的常用主意(1)在现有的向量中寻找一组基向量,其他所求的向量都用这组基向量来表示,从而解决问题;(2)先按照现有的向量的特点建立平面直角坐标系,并将所研究的向量都用坐标表示,再利用向量的坐标运算解决问题.学霸灵感异常的单位向量与异常的夹角π3,关于向量b的式子可以利用因式分解举行解题思维导图a=0,1,a=OA⟨a,e⟩=π3→学霸解题设e=0,1.由⟨a,e⟩=π3,a≠0知,a=OA的尽头A在直线y=33x或y=−33x上(不包含原点).又由b2−4e⋅b+3=0,得b−3e⋅(b−e)=0.设学霸心得“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,平面向量的解题关键往往在于两种语言的交换,建系是为了得到更多的条件,画图是为了更直观地找出要算的结果学霸解题21设出复数、利用解方程组的主意求解向量的模21.(2023年年全国卷II,15题)设复数z1,z2满意z1=【解析】因为z1=z2=2,所以z1,z2在复平面内对应的点在以原点O为圆心,半径为2的圆上.由z120∘,所以z1【答案】23学霸灵感没有给出复数的代数形式,按照已知条件和所求问题,结合复数的加减运算、模长以及完全平方公式,可以考虑设出复数z1,续表解题思维导图设z1=a+bi,a2+b2学霸心得解决有关复数模的问题时,倘若有未知复数,要大胆地设未知数,不要怕未知数多,再找未知数之间的关系.此外,需要对复数的模的计算公式十分清晰学霸解题22巧用虚数单位i迅速举行复数的除法运算22.复数z=1−2i2+i+2A.1−iB.1+iC.1【解析】因为复数z=1−2i2+i+2【答案】C.学霸灵感两个分式中分子与分母具有一定的关系解题思维导图i学霸心得逆用1+i学霸解题23在基本不等式中“1”的灵便运用23.已知正数a,b满意a+b=1,则ba+1b的最小值为___.【解析】因为a>0,b>0,且a+b=1,所以【答案】3.学霸灵感按照所求分式的形式,先将其化为齐次分式再利用基本不等式举行求解解题思维导图主意一:a+b=1学霸解题主意一:由a+b=1,得ba=1a−1,代入原式,得ba+1b=1a+1b−1=1a+1ba+b−1=ba+ab+1≥2ba⋅ab+1=3,当且仅当ba=学霸心得灵便运用条件a+b=1将该分式化为齐次分式是解决本题的关键.在主意一中,还应用到“1学霸解题24利用等差数列的性质求公差24.(2023年年全国卷I,4题)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24A.1B.2C.4D.8【解析】设数列an的首项为a1,公差为d∵【答案】C.【名师指导】(1)等差数列的基本运算主要是通项公式与前n项和公式的应用.(2)五个量a1,an,d,n,Sn中,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”。提分秘籍。学霸灵感日已知a4+a5的值联想解题思维导图S学霸心得解等差数列的题目时,要善于看见已知条件的形式,合理利用性质举行解题利用异常点和对称性直接求出圆的方程,学霸解题25利用角平分线定理证实角平分线25.(多选)古希腊闻名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆.”后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼奥斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A−2,0,B4,0,点A.C的方程为xB.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得PDPE=12C.当A,B,P三点不共线时,射线PO【解析】设点Px,y,则PAPB=x+22+y2x−42+y2=12.化简并收拾,得x2+y2+8x=0,即x+42+y2=16, A错误.当D−6,0,E−12,0时,PDPE=12,B准确.cos∠APO=AP2+PO2−AO2得x0=【答案】BC.利用中线垂直于底边得出三角形为等腰三学霸解题26角形,利用几何关系找条件学霸灵感所给两点都在x轴上,利用对称性可以直接写出圆的方程.题中给出了线段长度的比例,可以用角平分线定理证实角平分线解题思维导图以点(0,0)和(-8,0)P(4,0),¬↦为端点的线段是→​8x=0学霸解题题中所给的两个点都在x轴上,按照对称性,所求的圆一定关于x轴对称,求出x轴上的两点就可以直接写出圆的方程,从而排除A项.题目中给出了三角形PAB的两条边的比值,并且OA和OB的长度已知,可直接验证满意角平分线定理,从而C项准确.再通过找学霸心得在所给条件中线段长度或比例已知时,可以尝试用角平分线定理判断角平分线,而不必去求角的大小26.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0,上顶点为A0,bA.12,1B.22,1C.【解析】设Pa2c,mm∈R,则FP=b2c,m,AP=a2c,∴5−12≤e【答案】C.学霸灵感向量FP+FA一定过线段PA的中点,而数量积为零说明该向量所在直线与线段PA解题思维导图FP+FA所在直线与PA边中线重合△FAPFP+FA三角形↓线与PA边垂直点P学霸心得利用中线加垂直得到垂直平分线,从而利用等腰三角形举行求解,可以减少求解时光学霸解题27利用等面积法求三角形的高(点的纵坐标)27.(2023年年全国卷III,15题)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M【解析】由椭圆的方程可知a=6因为点M在第一象限,所以MF1设Mx0,y0.因为F1将Mx0,y0的坐标代入x2由①②可得x0=3(负值已舍去),从而y0=15(负值已舍去),即点M【答案】3,15学霸灵感等腰三角形三边长可求,进而能求三角形的面积,联想到利用等面积法求解解题思维导图MF1F2M在第一象限—续表在读题的同时作图,了解题目的目的,并熟知学霸圆锥曲线的性质.在求三角形的高时,可以考心得虑使用等面积法,简化运算学霸解题28利用多边形的性质简化运算28.图中的多边形均为正多边形,点M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的点F图(1)图(2)【解析】设等边三角形的边长为2,以底边所在的直线为x轴,以底边的垂直平分线为y轴,建立如图(3)的平面直角坐标系xOy.设此时双曲线的方程为x2a12−y2b12=1a1>0,b1>0.由图可得,F1−1图(3)图(4)设正方形的边长为2,分离以正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴,建立如图(4)的平面直角坐标系xOy.设此时双曲线的方程为x图可得,F1−1,0,F21,0,N12,12.衔接NF1.由N【答案】3+1学霸灵感因为题目中的多边形都是正多边形,所以可以用正多边形的性质求解解题思维导图图(1)中的多边形为正三角形F1N−F2N=3−1学霸解题∵图(1)中所给多边形为正三角形,且N为中点,F1F2=2c1,∴F1N=F1F学霸心得正多边形中的角度都比较异常,利用这些特殊角可以简化运算学霸解题29通过几何关系求渐近线的斜率29.如图,点F1,F2分离是双曲线C:x2右焦点,过点F2的直线与双曲线C的两条渐近线分离交于A,B两点.若F2A=AB,F【解析】易得F1−c,0,F2c,0.设Am,mam>0.因为F2A=AB,所以点A为F2B的中点.由中点坐标公式可得B2m−c,2ma.将点B的坐标代入渐近线的方程y=−xa中,得2m学霸灵感从所给条件可以看出,AO是F2B的垂直平分线,从而得∠AOF2=∠A解题思维导图A是F2B的中点O是F1F2→学霸心得在同时给出中点和垂直条件时,注重看见是否存在垂直平分线,利用垂直平分线的性质可以迅速解题学霸解题30利用等轴双曲线的性质得出结果30.(2023年年天津卷,7题)设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点0A.x【解析】因为直线l过抛物线y2=4x的焦点1,0和点0,b,所以kl=−b.因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax,所以由题意,知【答案】D.学霸灵感从条件可知该双曲线为等轴双曲线,可以利用其性质得出结果解题思维导图一条与I平C的渐近线，C的渐排除行，另一条与l垂直互垂直为±1l是抛物线y2=b)的连线学霸心得等轴双曲线的一个重要性质是两渐近线互相垂直,且斜率为±1,在碰到学霸解题31在内角为30∘,60∘,31.(2023年年全国卷I,11题)已知双曲线C:x23−y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分离为A.32B.3C.23【解析】如图,由题意知,直线ON的方程为y=线OM的方程为y=∵△OMN为直角三角形,直线OM与直线ON不垂直,∴直线MN与直线OM或直线ON时,易得直线MN的方程为y=3x−2③.由①③和②③分离得N3,3,M32,−32,∴MN=3−322【答案】B.学霸灵感双曲线的渐近线的倾斜角为异常角解题思维导图1学霸解题60∘.不妨设如图,易知∠MON=Rt△OFM学霸心得浮上在挑选题和填空题中的圆锥曲线题,往往以考查求离心率、定值为主.无论哪种情况,确切作图并寻找几何关系是提高解题速度的关键学霸解题32按照几何关系求离心率的取值范围32.在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD=4,∠B【解析】按照题意画出图形.由对称性,不妨设点C,D在x轴上方.过点C作x轴的垂线,与x轴、双曲线在x轴上方的部分点F,E,如图.设双曲线的方程为x2a2−y24−a2=10<a<2.由题意,知只需yE≥yC即可.因为AB=4,CD=2,所以BF=1【答案】[3+学霸灵感颐中所给角度和长度关系都比较异常,可以构建异常三角形求解解题思维导图四边形ABCD为等腰梯形,→BC=AD=2→AC=2​3−学霸心得当碰到30∘或60∘这样的学霸解题33数形结合求双曲线的离心率33.已知O为坐标原点,双曲线C:x右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限),点B在双曲线C的渐近线上,且BF//OA.若AB⋅OB=A.233B.2C.3【解析】双曲线C的渐近线方程为y=±bax,右焦点Fc,0.由y=bax,x=c,得Ac,bca.因为BF//OA,所以直线BF的方程为y=bax−c.由y=−ba【答案】A.【主意总结】(1)求双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a,c的关系,在求解时要善于利用几何图形中的性质建立关系式;(2)解决与双曲线几何性质相关的问题时,要学霸灵感画出大致图像,记直线AF与双曲线C的另一条渐近线的交点为D,按照几何关系,预测△A解题思维导图BF//AO,F为→的中点,AD续表学霸解题B为OD的中点.又因为得AF=DF,AO学霸心得运用数形结合思想挖掘几何关系可简化运算.在求双曲线的离心率e时,若不能直接找到a,c的关系,可考虑先找出a学霸解题34利用双曲线中焦点三角形的面积公式解三角形34.(多选)已知点P在双曲线C:x216−y29=1上,点F1,A.点P到x轴的距离为20B.PC.△PFD.∠【解析】设点P的坐标为xp,yp.由双曲线C:x216−y29=1,知c=16+9=5.因为S△PF1F2=12⋅2对称性,不妨设点P在第一象限,则P203,4,可知PF2=203−52+4−02=133.由双曲线的定义可知PF1=PF2+2a=133+8=373,所以PF1+学霸灵感涉及焦点三角形的面积,考虑两种不同的面积计算公式解题思维导图S=12×知识拓展在圆锥曲线中,焦点三角形作为一种异常三角形,其面积可通过顶角∠F1PF2,点学霸解题35利用双曲线中的重要推论求曲线方程35.(多选)已知P是双曲线C:x23−y2m=1m>0上随意一点,A,B是双曲线C上关于坐标原点对称的两点.设直线PA,PB的斜率分离准确的是().A.双曲线C的方程为xB.双曲线C的离心率为2C.函数y=logax−1D.直线2x−3y=0【解析】设Ax1,y1,Px2,y2.由A,B是双曲线C上关于坐标原点对称的两点,得B−x1,−y1,则x123−y12m=1,x223−y22m=1.两式相减,得x12−x223=y12−y22m,所以y12−y22x12−x22=m3.又直线PA,PB的斜率分离为k1,k2,所以k1k2=y1−y2x1−x2×−y1−y2−x1−x2=y1准确.由2x−3y=0,x23−y2=1消去y,得【答案】AC.学霸利用k1k2=b2a2解题思维导图k1+k2≥t恒成立,tmax=学霸解题按照题意,利用双曲线中的重要结论,则有k1k2=b2a2=m3.按照基本不等式,k1+k2≥2kk2=2m3,当且仅当k1=k2时等号成立.因为tmax=233,所以2m3=233,解得m=1,所以b=1,c=2,e知识拓展在双曲线中有如下重要结论:点A,B是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上随意学霸解题36利用抛物线的性质将问题转化为求角度的问题36.已知曲线Γ:x2=8y的焦点为F,点P在曲线Γ上运动定点A【解析】设Px,y.当y=0时,PFP1−8y+4y+12≥22,当且仅当【答案】22学霸灵感点A恰好在抛物线的准线上,可以利用抛物线的性质将两条边放到同一个三角形中解题思维导图点F是物线的一准线上按照抛物线的对称性，不妨只考虑点P落在 」的值最小y轴的右侧学霸解题PN垂直准线于点N,如图.按照抛物线的性质,线的准线上,过点P作由题意知,点A在抛物学霸心得在涉及抛物线上的点到焦点的距离时,常常转化为点到准线的距离举行求解利用圆的半径r与抛物线的参数p的比值学霸解题37关系求线段比例37.如图,已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,点Px0,23x0>p2是抛物线C上一点.以P为圆心的圆与线段PF交于点Q交点为M.若PF=PQFA.1B.3C.2D.5【解析】如图,衔接PA,PB.因为AB=PQ,所以△PABPF=x0+p2=3PQ,所以x0=3p2.所以点P3p2,23,所以232=2p⋅3p2.因为p>0,所以p=2.所以抛物线C【答案】B.学霸灵感按照题目所求比值,预测本题需按照几何关系求出圆P的半径r与参数p的关系解题思维导图1PF+1MF=2学霸解题衔接PA,PB.设圆P的半径为r,则PF=3.PQ=3r=x0+p2.因为AP=BP=AB=r,所以△ABP・提分秘籍・续表学霸心得解本题的关键在于挖掘几何关系,借助PF建立关于p与r的等式,找到p与r的比例关系.关于焦点弦的问题,利用抛物线中的重要结论如本题中使用的1P学霸解题88利用几何法解决抛物线中焦点弦问题38.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A,B两点.过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为点M,∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为A.2B.4C.6D.8【解析】由题意,得抛物线y2=4x的焦点F1,0,准线方程为x=−1.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1.由x=1,y2=4x,得x=1,y=±2,则不妨设A1,2,B(1,−2),此时AB=4,不满意题意.因此直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx−1k≠0,Ax1,y1,Bx2,y2.联立得方程组y=kx−1,y2=4x.线AP的方程为y−2+22=2−1x−3−22.令学霸灵感画出大致图像,过点B作准线的垂线,垂足为N,预测P解题思维导图△学霸解题衔接BP,FP.垂线,垂足为N,∵∠PAM=∠PAF,过点B学霸心得在抛物线中关于焦点弦的问题,应先考虑挖掘其内在的几何关系,同时灵便运用抛物线中的相关结论,这样可提高解题效率.另外,通过本题,可引申出抛物线中的普通结论:以MN为直径的圆与过焦点的直线相切,切点为焦点F;以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切,切点为点P(即线段M模块二快解优解法主意1排除法当要解决的问题不易从正面入手直接选出准确的答案时,可以从选项入手,排除其中不准确的答案,剩下的就是准确的答案,这种主意叫作排除法,也叫作筛选法或淘汰法.使用排除法的前提是答案唯一.排除法适用于定性型或不易直接求解的挑选题.例1已知集合A={1,2,3},B={A.{1}B.C.{0,1,【解析】因为A⊆A∪B,所以排除A,B选项.看见C,D选项的区别,发现只需验证元素-1是否属于集合A∪B即可.因为−1∉B【答案】C.通法指导1.若x0∈A∩B,则x02.若x0∈A∩B,则x03.若元素x0属于集合A,则它不属于集合A的补集(一个元素x0不在集合A内就在集合A4.A∩B例2函数y=2x2−eABCD【解析】设fx=2x2−ex.易得函数2]上是偶函数,其图像关于y轴对称.因为f2=8−e2,0<8−e2<1,所以排除A,B选项.当x∈0,2时,f′x=4x−e【答案】D.主意2特例法特例法就是运用满意题设条件的某些异常值、异常位置、异常关系、异常图形、异常数列、异常函数等对选项举行检验或推理,利用问题在某一异常情况下不真,则它在普通情况下也不真的原理,判断选项真伪的主意.用特例法解选择题时,特例取得越容易、越异常越好.特例法主要包括:特殊值法、异常函数法、异常方程法、异常位置法、异常点法、异常图形法、异常复数法等.异常值法例3若a>bA.ac<bcC.alogbc<【解析】令a=4,b=2,c=12,可得A,B,D选项均不准确;C【答案】C.例4设函数fx=2−x−1,x≤0,x1A.−1,1C.−∞,−2【解析】∵f12=22<1,∴12不符合题意,【答案】D.-提分秘籍美通法指导1.用异常值法解题时,所取的异常值应尽量使计算简便.2.看见选项之间的区别,决定所选异常值.异常函数法例例5倘若奇函数fx在3,7上是增函数且最小值为5,那么fx在区间A.增函数且最小值为-5B.减函数且最小值为-5C.增函数且最大值为-5D.减函数且最大值为-5【解析】构造异常函数fx=53x,显然满意题设条件.易得fx在区间−7,【答案】C.例6定义在0,π2上的可导函数fx的导函数为f′x,且A.fπ6>2C.fln2>0【解析】令fx=−x,则f0=0.设gx=f′xcosx+fxsinx=−cosx−x0.故选A.【答案】A.法指导常用异常函数:奇函数y=±x;偶函数异常方程法例7已知双曲线b2x2−a2y2=a2b2a>0,b>0的渐近线的夹角为A.eB.e2C.1eD.【解析】考查双曲线的渐近线的夹角与离心率的一个关系式，故可用异常方程法求解.取双曲线的方程为x24−y2=1,则易得离心率异常位置法例9过抛物线y=ax2a>0的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点.若PF与FQA.2aB.12aC.4a【解析】此抛物线开口向上,过焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点,故可用异常位置法来求解.取直线PQ⊥y轴,易得p=q=1异常点法例9函数fx=A.a>0,bC.a<0,b【解析】由fx=ax+bx+c2及题图可知,x≠−c,−c>0,所以c<0.当x=0时,f0=bc对函数图像的分析和判断主要根据两点:一是按照函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等;二是按照异常点的坐标,采用排除的主意得出准确的选项.本题主要是通过函数的解析式判断其定义域,并根据