(完整版)《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计

《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程本章和本节的重点内容。椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是：教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。二、学生学情分析的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的方程的化简也是一个难点。根据新课程标准对本节课的要求以及对教材和学生情况的分析，本节课教学目标确定为:1、感受建立曲线方程的基本过程，使学生理解椭圆的定义。即通过学生动手用图钉、细绳价转化的方法从不同角度加深对椭圆的理解。2、体会坐标法的应用，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。即要让学生自己选择坐标让学生进一步感受曲线与议程的内在联系。3、培养学生动手能力、合作意识和分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。即通过对同一概念从不同角度的理解，坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较，体会曲线方程的不确定性及其标准方程的对称和谐美。观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.六、教学过程（一）创设情境，引入概念1、“嫦娥一号”是我国的首颗绕月人造卫星。以中国古代神话人物嫦娥命名，已于2007年反向助推减速。在被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，绕月球飞行。请问“嫦娥一号”学生根据自己平时的积累，可能会回答圆或椭圆。【设计意图】：展示“嫦娥一号”绕月球运行的轨道图片，指出卫星进入太空后，以椭圆形轨道绕月运行后又以极月圆轨道绕月球飞行。由于实际的结果与学生已有的认知产生了冲突，从而激发了学生的兴趣和探索欲望。2、用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．联想生活中还有哪些是椭圆图形？提出：将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，【设计意图】：从生活实际出发，从而激起学生强烈的求知欲望。用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。（二）实验探究，形成概念1．学生分组，合作探究，教师巡视指导．通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆（每四人与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）.3．几何画板动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想【设计意图】：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究【设计意图】：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生（1）提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数大于”的限制。出结论：当常数等于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段;当常数小于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在.本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风5、概括椭圆定义请学生给出经过修改的椭圆定义：定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。令椭圆上任一点M，则有;若补充：若时，轨迹是线段;若【设计意图】：让学生通过反思画图过程，归纳定义，学习定义，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；比较深入地理解椭圆定义的条件。（三）研讨探究，推导方程距离之和是的椭圆中的方程。请先说出解决这个问题的方案，讨论之后再进行活动方式：学生先独立思考，之后全班交流，确定最后的解决方案，然后分工合作，共同完的简洁、对称、和谐之美，并在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设为椭圆上任意一点，为椭圆上任意一点，则），），（想一想：下面怎样化简？）(1)教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得，两边同时除以，（注意：两次平方时的等价性，可以根据学生的具体情况选择加以证明，或者不加证明的指出。）叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是,其中。（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物展台上投影。）问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁？活动形式：学生思考后主动发言回答。【设计意图】：让学生通过对比及感性认识，总结归纳出椭圆方程的标准形式：（1）焦点在轴（以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐（2）焦点在轴（以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系）上的椭圆的标准方程（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；：；22、在归纳总结的基础上，填下表（五）例题研讨，变式精析例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆；（的点的轨迹；（不是）；（（（4）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）【设计意图】：巩固椭圆定义例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？（学生直接抢答）题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程.例3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：活动形式：学生独立思考完成．教师巡视，投影学生答案．学生讨论总结.解题思路1：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程,再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、的值，从而得到椭圆的标准方程为间的关系求出【设计意图】：学会用待定系数法求椭圆的标准方程.解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程.【设计意图】：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.（六）小结归纳，提高认识（六）小结归纳，提高认识善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。标准方程焦点坐标【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获.本节课内容的认识.（七）作业训练，巩固提高2、你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法，活动方式：留作课后自主或交流完成。【设计意图】：巩固椭圆标准方程的相关知识。按照能力来选择作业也体现了分层教学的思想，还可以激发学生挑战自己的能力，激发兴趣。（八）板书设计根据课堂教学要求，板书设计如下。七、教学设计说明老师的指导下，通过实践、探索、体验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身趣，同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发展。课堂进行中通过实际操作、多习过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。本节课学生活动较多，知识拓展较深，