专题6-1三角函数恒等变换求值中档题

专题61三角函数恒等变换求值今年新高考的1卷和2卷都考了三角函数的恒等变换求值问题，1卷是第8题，2卷是第7题，可以看出来三角恒等变换在选填中难度有加大，有题序后移的趋势，所以2024届的模拟考会出现更多的三角恒等变换中档题知识点一．两角和与差的正余弦与正切①；②；③；知识点二．二倍角公式①；②；③；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）；知识点三．辅助角公式（其中）．【常见式子变形】，具体是选还是要看题目给出的范围③2023新高考二卷T7：配完全平方公式1．已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．2023·新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式2．已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.2022·新高考II卷T63．若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即2018全国II卷（理） T15——一题多解4．已知，，则．【答案】【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得，．［方法二］：利用方程思想直接解出，两式两边平方相加得，则．又或，所以．［方法三］：诱导公式+二倍角公式由，可得，则或．若，代入得，即．若，代入得，与题设矛盾．综上所述，．［方法四］：平方关系＋诱导公式由，得．又，，即，则．从而．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得，则或．若，则，即．当k为偶数时，，由，得，又，所以．当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．若，则．则，得，这与已知矛盾．综上所述，．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一知1求2长沙市明德中学20232024学年高三上学期入学考试T8已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件算出即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则.【答案】【分析】根据已知得，且，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设，，即，而，故，则，所以，则题型二结合平方公式，2024届·湖南长郡中学阶段考已知，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.【详解】，,，又，则，即所以，因为，所以，.由平方可得，即，符合题意.综上，.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考T7已知，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为，且，则，可得，所以；又因为，且，可得，所以；综上所述：.已知，，，则A． B． C． D．【答案】A【分析】先由，，两式同时平方再求和，求出的关系式，代入，即可求出结果.【详解】由，，将两个等式两边平方相加，得，，，，即，代入，得，即.故选A2023·浙江杭州二模已知，，则．【答案】0【分析】将平方，结合可得，利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案.【详解】将平方得，结合可得，即，则2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.【详解】将平方得，所以，则．所以，从而．联立，得．所以，．故题型三和差公式2024届·长沙一中校月考（三）已知角，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由，可得，即，故.又，故，即，代入可得.故云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题设，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到，进一步即可判断正确答案.【详解】即即又，，则所以，故正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考已知角，均在内，，，则角的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由同角的平方关系可得，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，所以为钝角，所以，则，且，则2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到，得到，再由，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由，所以，可得，即，即，因为，可得，所以，所以已知，都是锐角，，则=.【答案】2【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：.，.法2：由，令，则，则题型四2倍角公式2023届广州市一模若，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.【详解】，.由，可得，即.，，，，且，根据函数易知：，即得：.（2023秋·浙江绍兴高三校考）（

）A．1 B． C． D．1【答案】B【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】岳阳市高二下期末已知，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角为，然后再由正切的二倍角公式求．【详解】，∴．2024届广东实验中学校考若两个锐角，满足，则.【答案】【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.【详解】因为，所以所以，因为，为锐角，所以有，所以，即，所以，即，因为，为锐角，所以有，即，所以2024届·广州市越秀区高三月考（十月）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由倍角余弦公式并整理得，结合角的范围得，进而求，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由，即，所以或，又，则，所以，则，由.2024届·广州市天河区高三综合测试（一）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为，得出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由，所以，即，武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15已知.则.【答案】【分析】根据辅助角公式可得，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】即，故.故.则.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考若，则.【答案】【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】，则.2023届·江苏省七市三模已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以若，则实数的值为（

）A．3 B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以题型六和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末已知均为锐角，，且，则.【答案】【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，根据二倍角公式即可得结果.【详解】，因为，则，因此，而，从而，因此，则.故答案为：.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）T11（多选）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据，判断的范围，再根据，求出，再由，求出，，，从而得出答案.【详解】因为，所以，又，所以，，由，得.对于A选项，若，则，又，所以，而矛盾，所以.故A错误；对于B选项，根据A选项知，，则，又，所以，而，所以，这样，故B正确；对于C选项，根据A选项知，，再根据B选项中，，知，从而，则，又，，，所以，故C正确；对于D选项，根据C选项知，所以，又，解得，故D错误2024·江苏省海安高级