高考数学二轮复习 专题训练 限时练6 理

eq\a\vs4\al\co1(限时练六)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知R是实数集，M＝{x|eq\f(2,x)＜1}，N＝{y|y＝eq\r(x－1)＋1}，则N∩∁RM＝()．A．(1,2) B．[0,2]C．∅ D．[1,2]解析∵eq\f(2,x)＜1，∴eq\f(x－2,x)＞0，∴x＜0或x＞2，∴M＝{x|x＜0或x＞2}，∵y＝eq\r(x－1)＋1≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩∁RM＝[1,2]．答案D2．在复平面内，复数eq\f(－2＋3i,3－4i)(i是虚数单位)所对应的点位于 ()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析∵eq\f(－2＋3i,3－4i)＝eq\f(－2＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(－18＋i,25)＝－eq\f(18,25)＋eq\f(1,25)i，∴－eq\f(18,25)＋eq\f(1,25)i对应的点为(－eq\f(18,25)，eq\f(1,25))，在第二象限．答案B3.eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝ ()．A．4 B．2C．－2 D．－4解析eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°－cos10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2sin10°－30°,\f(1,2)sin20°)＝eq\f(－2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝－4.答案D4．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)＝0.1587；⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．其中正确的个数为 ()．A．2 B．3C．4 D．5解析①正确；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望变小了，而方差不变，所以②错；③属于随机抽样；④P(X＞4)＝eq\f(1,2)[1－P(2≤x≤4)]＝eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587，所以④正确；⑤设样本容量为n，根据分层抽样得eq\f(7,350)＝eq\f(n,750)，得n＝15，所以⑤正确．综上可知：①④⑤正确．答案B5．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是 ()．A．13 B．26C．52 D．156解析∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝eq\f(13a4＋a10,2)＝eq\f(13×4,2)＝26.答案B6.把边长为eq\r(2)的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为 ()．A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(\r(2),2)解析由条件知直观图如图所示，其中M是BD的中点，则CM⊥平面ABD，侧视图就是Rt△CMA，CM＝AM＝1，CM⊥AM，S△CMA＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).答案B7．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是 ()．A．2 B．eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(1,2)解析由程序框图知：S＝2，i＝1；S＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，i＝2；S＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，i＝3；S＝eq\f(1＋－\f(1,2),1－－\f(1,2))＝eq\f(1,3)，i＝4；S＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，i＝5；…，可知S的周期为4，当i＝2015＝4×503＋3时，结束循环输出S，即输出S＝－eq\f(1,2).答案D8．已知向量a，b，满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a，b的夹角的取值范围是 ()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))解析设a、b的夹角为θ，∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋|a||b|cosθ·x＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋eq\f(1,2)|a|2cosθ·x，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋eq\f(1,2)|a|2cosθ，∵函数f(x)有极值，∴f′(x)＝0有2个不同的实根，∴Δ＝|a|2－2|a|2cosθ＞0，即1－2cosθ＞0，∴cosθ＜eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)＜θ≤π.答案C9．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为 A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2) D．(0,2)解析∵B＝2A，∴sinB＝sin2A，∴sinB＝2sinAcosA，∴b＝2acosA，又∵a＝1，∴b＝2cosA，∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜eq\f(π,2)，0＜B＜eq\f(π,2)，0＜C＜eq\f(π,2)，即0＜A＜eq\f(π,2)，0＜2A＜eq\f(π,2)，0＜π－A－2A＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)＜A＜eq\f(π,4)，eq\f(\r(2),2)＜cosA＜eq\f(\r(3),2)，∴eq\r(2)＜2cosA＜eq\r(3)，∴b∈(eq\r(2)，eq\r(3))．答案A10．设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为()．A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\f(4\r(3),3)解析设P点在双曲线右支上，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由条件得∠PF1F2＝30°，由eq\f(2a,sin30°)＝eq\f(4a,sin∠PF2F1)，得sin∠PF2F1＝1，∴∠PF2F1＝90°，在Rt△PF2F1中，2c＝eq\r(4a2－2a2)＝2eq\r(3)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).答案C11．在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx(k＞0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为eq\f(8,27)，则k的值为 ()．A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析∵M的面积为eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－\f(1,3)x3))))＝eq\f(1,6)，A的面积为(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－\f(1,3)x3－\f(k,2)x2))))eq\o\al(1－k,0)＝eq\f(1,6)(1－k)3，∴eq\f(\f(1,6)1－k3,\f(1,6))＝eq\f(8,27)，∴k＝eq\f(1,3).答案A12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋1，x≤1,lnx，x＞1))，则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是(注：e为自然对数的底数) ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，e))解析∵y＝lnx(x＞1)，∴y′＝eq\f(1,x)，设切点为(x0，y0)，∴切线方程为y－y0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，∴y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，若其与y＝ax相同，则a＝eq\f(1,x0)，lnx0－1＝0，∴x0＝e，∴a＝eq\f(1,e).当直线y＝ax与y＝eq\f(1,4)x＋1平行时，直线为y＝eq\f(1,4)x，当x＝1时，lnx－eq\f(1,4)x＝ln1－eq\f(1,4)＜0，当x＝e时，lnx－eq\f(1,4)x＝lne－eq\f(1,4)e＞0，当x＝e3时，lnx－eq\f(1,4)x＝lne3－eq\f(1,4)e3＜0，∴y＝lnx与y＝eq\f(1,4)x的图象在(1，e)，(e，e3)上各有1个交点，∴直线y＝ax在y＝eq\f(1,4)x和y＝eq\f(1,e)x之间时，与函数f(x)的图象有2个交点，所以a∈[eq\f(1,4)，eq\f(1,e))，故选B.答案B二、填空题13．若(x2＋eq\f(1,x))n的二项展开式中，所有项的二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为________．解析∵所有项的二项式系数和为64，∴2n＝64.∴n＝6，∴(x2＋eq\f(1,x))n＝(x2＋eq\f(1,x))6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(x2)6－r·(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，∴常数项为Ceq\o\al(4,6)＝15.答案1514．已知△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析如图在Rt△PAD中，AD＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，过△PAD的外心M作垂直于平面PAD的直线l，过四边形ABCD的外心O作垂直于平面ABCD的直线m，两线交于点O，则O为四棱锥P－ABCD的外接球球心，2R＝AC＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3)(R为四棱锥P－ABCD外接球的半径)，即R＝eq\r(3)，∴四棱锥P－ABCD外接球的表面积S＝4πR2＝12π.答案12π15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝________.解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋2，,Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋2，))∴an＋2＋an＝2an＋1，∴数列{an}从第二项开始为等差数列，当n＝2时，S3＋S1＝2S2＋2，∴a3＝a2＋2＝4，∴S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋eq\f(92＋18,2)＝91.答案9116．在△ABC中，边AC＝1，AB＝2，角A＝eq\f(2π,3)，过A作AP⊥BC于P，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λμ＝________.解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1×coseq\f(2π,3)＝－1，∵AP⊥BC，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→)))·(e