初中数学 平方根与立方根类型题精练（原卷版）

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作业04平方根与立方根类型题精练

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知识点i.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“-

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作4.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

知识点2.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术

平方根.记为

（2）非负数。的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借

助乘方运算来寻找.

知识点3.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不

等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.

知识点4.立方根

（1）定义:如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果一=°,那

么x叫做a的立方根.记作：y[a.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数。的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号圾中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

知识点5.计算器一数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即。每扩大（或缩小）100倍，。相应扩大（或缩小）10倍.

W3巩固提升练

题型一：算术平方根的非负性

1.已知X,y满足Jx-2+|y+3|=0,则x+y=（）

A.-1B.1C.5D.-5

2.若“，6为实数，且|Q-1|+屈1=0,则(〃+b)2°21=()

A.1B.-1C.-2023D.2023

3.若卜+2|+5/^口+(。+3)2=0则2a+6-c等于()

A.-6B.0C.2D.3

题型一：平方根的估算问题

4.估计近的值应在（）

A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

5.若3（后＜4,则满足条件的。可能是（）

A.8B.9C.15D.18

6.根据下列表格，估计仓行的大小（)

X1.611.621.631.641.65

X12.59212.62442.65692.68962.7225

A.在1.61〜1.62之间B.在1.62〜1.63之间C.在1.63〜1.64之间D.在1.64〜1.65之间

7.有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算遥时，显示2.449489742783

于显示屏.现在，想利用这款计算器知道2.449489742783中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计

算下面（）的值.

A.1076B.10（V6-2）C.10076D.76-2

8.小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

2

X225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四个推断：①丽=1.51;②一定有3个整数的算术平方根在15.5〜15.6之间；③对于小于15的

两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差小于3.01.所有合理推断的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.若"3.5『=3.5一x，则正整数x的值为.

10.已知J2017人44.91，V201.7«14.10,则J20.177.

11.已知。是屈的整数部分，声=3,贝IJob+54的平方根是.

12.已知J历-2的整数部分是加，小数部分是"，则〃z=，〃=

13.如图，在甲、乙两个4x4的方格图中，每个小正方形的边长都为1.

国甲图乙

（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；

（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长,

及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）.

解：（1）甲：面积=；边长=.

（2）乙：边长=,该边长的整数部分为该边长的小数部分为.

题型三：求平方根

14.2^的平方根是（）

4

,1,1—313

A."B.±一C.—D.土一

2222

15.若&=3，4b=2,则。6的平方根等于（）

A.6B.13C.36D.±6

题型四：平方根与立方根的综合问题

16.下列说法不正确的是（）

A.0的算术平方根是0

B.（-2『的平方根是2

C.正数的平方根互为相反数

D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

17.已知2.-1的立方根为3,。+36-1的算术平方根为4,求。+26的平方根.

18.已知“26赤国是。+36的算术平方根，2中j2是I”?的立方根,求仍的平方根.

19.已知2a-1的算术平方根是而，a-56+1的立方根是-2.

（1）求。与6的值；

⑵求2a的立方根.

题型五：利用平方根、立方根的性质解方程

20.求下列各式中的x的值：

（1）2x3=16;

⑵2（21）2_50=0；

21.求下列各题中的x的值.

⑴（1）3=64；

（2）2X?=8.

题型六：平方根、立方根的应用问题

22.如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形/BCD内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩

大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长3c需要延长（）

A.3米B.3.5米C.4米D.4.5米

23.（2324七年级下•陕西安康・期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把

两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为2.25平方米，其中他用的一块木

板的边长为0.9米，求另一块木板的边长是多少米？

x=1.2,

24.如图,一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间，

（单位：s）与细线长度/（单位：⑼之间满足关系f=当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一

\10

25.（2324七年级下•辽宁鞍山•期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块.

（1）求出这个铁块的棱长；

（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方

体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长.

26.王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）：

然后引导同学们解决以下两个问题:

(1)求J话的平方根;

解：由Ji石=4知，求Ji石的平方根也就是求4的平方根；J话的平方根是；(填空)

(2)一个正数的平方根分别是。+5和2a+1,6-60的立方根是-4,求的值.

*2能力培优练

27.下列说法正确的是()

A.5的平方根是*B.-0.36的算术平方根是-0.6

C.±3是27的立方根D.(-7丫的平方根是±7

28.(2324八年级下•四川泸州•期中)已知实数0、6满足而。+3+12)2=0,则2a+6=.

29.某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种

方案：

方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料；

方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4:3.

王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由.

30.如图，小华用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个的正方形.

(1)则大正方形的边长为cm.

(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3,且面积为

360cm2?

(3)小华手中有一个面积为628cm2的圆、请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由.(花取

3.14)

W］拓展突破练

31.据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一

个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出，得到正确答案.邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙.华

罗庚给出了如下的解题步骤：

(1)由IO,=1000,1003=1000000,因为1000<59319<1000000,所以盟59319是位数；

(2)已知59319的个位上的数字是9,所以359319的个位上的数字是;

(3)如果划掉59319的后面三位319,得到59,而由33=27©=64,因为27<59<64,所以匹59319的十位上

的数字是:

(4)综上所述，^59319=;已知，师前是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：VU7649.

32.若用卜］表示任意正实数的整数部分，例如：［2.5］=2,［2］=2,［血］=1,则式子

［行］-［百］+［"］-［后］+…+［而五］-［疝西+［而方］的值为()(式子中的“+”，“一”依次相间)

A.22B.-22C.23D.-23

33.设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：

Jx3(y-x)3-Jx3(z-x)3—y/y—x-sjx-z>贝!Jx'+/+z'-3孙z的值为.

34.(2223七年级下•安徽淮北•阶段练习)请认真阅读下面的材料，再解答问题.

依照平方根(即二次方根)和立方根(即三次方根)的定义，可给出四次方根、五次方根的定义.

比如：若工2=。伍20),则x叫。的二次方根；若则x叫。的三次方根；若无4=。(90),则x叫。的

四次方根.

(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；

(2)81的四次方根为；-32的五次方根为；

(3)若后=1有意义，则。的取值范围是;若痣有意义，则。的取值范围是;

（4）求x的值：1（2X-4）4-8=0.

35.（222