七年级数学下册 平行线的四大模型（解析版）（人教版）

专题01平行线的四大模型

专题分析

平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几

何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的

逻辑推理的素材。它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而

且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型

的应用迁移.

模型分类

模型一“铅笔”模型

/

E/E

A>

一C------------/

✓rF

/

点P在斯右侧，在48、CD内部“铅笔”模型

结论1：若48口。),贝！JNP+N4EP+NP产C=360°；

结论2：^ZP+ZAEP+ZPFC=360°,贝！J4BUCD.

典例分析

【典例1】(2023秋•南岗区校级期中)已知，射线尸G分别交射线/8、。。于点RG,点

E为射线尸G上一点.

(1)如图1,若NA+/D=/AED,求证：AB//CD.

(2)如图2,若AB〃CD,求证：/A-/D=/AED.

(3)如图3,在(2)的条件下，ZV交4于点I,交AE于点K,/EDI=3/CDE,Z

4

图1图2图3

【答案】(1)(2)证明见解析；

(3)95°.

【解答】(1)证明：如图所示：过点、E作

ZA+ZD=ZAED,ZAED=NAEF+NDEF,

：./D=/DEF,

：.EF//CD,

:.AB〃CD；

(2)证明：9JAB//CD,

：.NA=NEHG,

*：ZEHG=/D+NAED,

：.NA=/D+/AED,

：.ZA-ND=NAED；

(3)解：设4E与CD交于点H,ZEAI=x,则/切/=为，ZEAB=x-^x=jx^

,:ABHCD,

：.ZEHC=ZEAB=L,

4V

VZI=ZAED=25°,ZEKI=ZEAI+ZI=ZEDI+ZAED,

：.x+25°=/EDI+25。,

：.ZEDI=x,

'：ZEDI=±ZCDE,

4

NCDI=J/EDI=Jx'

OO

,/ZCHE=ZCDE+ZAED,

.71cu。

.."pc=x+Qx+25，

解得：x=60°,

ZEKD=ZAKI=1SO°-ZEAI-ZI

=180°-60°-25°

=95°.

【变式1-1]（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a〃b,NB4c=90：Zl=40°,

则N2的度数为（）

A.40°B.50°C.130°D.140°

【答案】B

【解答】解：如图，

VZ1+Z3+900=180°，Zl=40°,

・・・N3=50°,

a//b,

：.N2=N3,

・・・N2=50°，

故选：B.

【变式1-2］（2023•金安区一模）如图，已知Q〃儿Zl=45°,N2=125°,则N/5C的

C.115D.125°

【答案】4

【解答】解：解法一：如图，过点8作。E〃处

\9a//b,DE//a,

:・DE〃b,

：.Z2+ZZ)5C=180°,

AZD5C=180°-Z2=180°-125°=55°,

；・NABC=/DBA+NDBC=450+55°=100°.

解法二：如图，延长45交b于点尸,

A

'：a//b,

・・・N1=N3=45°,

VZ2=125°,

*.•/2=N3+NCBF,

：.ZCBF=Z2-Z3=125°-45°=80°,

AZABC=\S0°-ZCBF=1S0°-80°=100°.

故选：A.

【变式1-3](2022春•肇州县期末)如图，AB//CD,ZC=110°,Z5=120°,则N3EC

=()

.4B

DC

A.110°B.120°C.130°D.150°

【答案】C

【解答】解：・.•过点E作斯〃45,

♦：AB〃CD,

C.EF//AB//CD,

・・・Nl+N8=180°,Z2+ZC=180°，

VZC=110°,ZB=120o,

：.Z1=6O°,N2=70°,

AZ5£C=Z1+Z2=13O°.

故选：C.

DC

【变式1-4](2023春•巴南区月考)已知直线点C、8分别在直线MN、P0上,

点A在直线MN和PO之间.

(1)如图1,求证：NCAB-/MCA=/PBA；

(2)如图2,CD//AB,点E在直线尸0上，且NMC4=NDCE,求证：/ECN=/CAB；

(3)如图3,BF平分/PBA,CG平分/ACN,且/斤〃CG.若NC48=50°,直接写

出//E8的度数.

(2)见解答.

(3)115°.

【解答】(1)证明：过点N作///〃如图:

图1

：.AH//MN//PQ,

ZMCA=ZCAH,NPBA=/BAH,

：.ZCAB=ZCAH+ZBAH=ZMCA+ZPBA,

：.：ZCAB-ZMCA=APBA.

(2)证明：:NMCA=/DCE.

ZACD=ZMCE,

'JCD//AB,

：.ZCAB+ZACD=iSO°,

：.ZCAB^180Q-N/C0=18O°-ZMCE,=ZECN,

：.ZECN=ZCAB.

(3)解:-：AF//CG.

：.ZGCA+ZE4C=1S0o,

VZCAB=50°,

AZGCA+ZCAB+ZE4C^180°,

AZE4B^13O°-ZGCA,

•:BF平分NPBA,CG平分NACN,

：.ZACN=2ZGCA,ZABP=2ZABF,

又ZMCA=180°-ZACN,

：.ZCAB=1S0°-2ZGCA+2ZABF=50°,

：.ZGCA-ZABF=65°,

VZABF+ZAFB+ZE4B=lS0°,

Z^F5=180°-ZABF-ZE4B

=180°-(130°-ZGCA)-ZABF

=50°+ZGCA-ZABF

=50°+65°=115°.

AZAFB=\\50.

【变式1-5](2023春•遂宁期末)如图，直线PQ〃MN,两个三角形如图①放置，其中N/5C

=/CDE=90°,ZACB=3Q°,ZBAC^60°,NDCE=NDEC=45°,点E在直线

P。上，点2,C均在直线上，且CE平分N/CN.

（1）求/DEQ的度数;

（2）如图②，若将△48C绕8点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（/,C的对应点

分别为RG）.设旋转时间为/秒，当f=10时，边2G与CD有何位置关系？请说明理

由.

图①图②图③

【答案】（1）60°；

（2）BG//CD,理由见解析.

【解答】解：（1）•:/ACB=30°,

：.ZACN^180°-N/CB=150°,

,:CE平分NACN,

：.ZECN=75°,

,JPQ//MN,

：.ZECN+ZCEQ=1?,0o,

：.ZCEQ=\05°,

VZDEC=45°,

:.NDEQ=NCEQ-NDEC=60°；

（2）BG//CD,理由如下：

当f=10时，8c转动了3X10°=30°,即/CBG=30°,

由（1）可知/ECN=75°,ZDCE=45°,

：.ZDCN=ZECN-ZDCE=30°,

：.ZCBG=ZDCN,

J.BG//CD.

模型分析

结论2：ZP=ZAEP+ZCFP,贝（JNBCICD.

典例分析

【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线N8〃CD,连接£尸，直线A8,CD及线段EF

把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点G落在某个部

分时，连接G£,GF,构成/EGR4GEB,/GFD三个角.

①①

④④

图一图二

(1)当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：ZEGF,ZGEB,NGFD三者的关

系;

(2)当动点G落在第②部分时，如图二，思考(1)中三者关系是否仍然成立若不成立,

说明理由.

【答案】(1)ZEGF=ZGEB+ZGFD,理由见解答;

(2)(1)中三者关系不成立，理由见解答.

【解答】解：(1)NEGF=/GEB+NGFD,

理由：过点G作GMr〃/3,

NGEB=Z.EGM,

•:AB"CD,

J.CD//GM,

：.ZGFD=ZFGM,

'：ZEGF=ZEGM+ZFGM,

：.ZEGF=ZGEB+ZGFD；

(2)(1)中三者关系不成立,

理由：过点G作GN〃/8,

①

④

图二

ZGEB+ZEGN=180°,

,JAB//CD,

：.CD//GN,

：.ZGFD+ZFGN=^0°,

:.NGEB+NEGN+NFGN+NGFD=360°,

即ZGEB+ZEGF+ZGFD=360°.

【变式2-1](2023•盘锦)如图，直线48〃CD,将一个含60°角的直角三角尺EG尸按图

中方式放置，点£在N8上，边GF,£尸分别交CD于点〃,K,若NBEF=64°,则/

GHC等于()

D.14°

【答案】B

【解答】解：因为AB〃CD,且/BE尸=64°,

所以NDKF=/8£F=64°.

又三角形£7田为直角三角形，且NG=90°,ZGEF=60°,

所以//=30°.

所以/^^7^=64°-30°=34°.

又/GHC=ZKHF,

所以NG77C=34°.

故选：B.

【变式2-2］（2023•盘锦）如图，直线48〃CD,将一个含60角的直角三角尺EG厂按图

中方式放置，点£在上，边GF,分别交CD于点，，K,若NBEF=64°,则/

GHC等于()

A.44°B.34°C.24°D.14°

【答案】B

【解答】解：因为/8〃C£>,且N8EF=64°,

所以NDKF=/BEF=64°.

又三角形EFG为直角三角形，且NG=90°,/GE尸=60°,

所以/尸=30°.

所以/KHF=64°-30°=34°.

又NGHC=/KHF,

所以NG〃C=34°.

故选:B.

【变式2-3］（2023•海南模拟）如图，已知NB=20°,ZZ>=130°,那么

等于（）

【答案】B

【解答】解：过点。作CF〃48,

,:AB〃DE,

：.AB//DE//CF；

：.ZB=ZBCF,ZFCD+Z£>=180°,

：.ZBCD=180°-ZZ）+Z5=180°-130°+20°=70°.

故选：B.

B

【变式2-4］（2023春•覃塘区期末）如图，AB//CD,将一副直角三角板作如下摆放，ZGEF

=60°,/MNP=45°.下列结论：©GE//MP-,②/£7W=150°；③/BEF=65°；

④/AEG=35°,其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

：.ZHFN=ZMNP=45°,

ZEFH=ZEFN-ZHFN=105°,

.'/BE尸=180°-/EFH=15°,故③错误；

@'：ZGEF=60°,ZBEF=【解答】解：①由题意得：ZG=ZMPN=90°,

：.GE//MP,故①正确；

②由题意得NEFG=30°,

：.NEFN=180°-N£FG=150°,故②正确；

③过点/作尸”〃/8,如图，

'JAB//CD,

:.NBEF+NEFH=180°,FH//CD,

75°,

：.ZAEG=1SO°-ZGEF-ZBEF=45°,故④错误.

综上所述，正确的有2个.

故选：B.

AEB

/ox--

CMND

【变式2-5］（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个

熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数

量关系.

'<0A

cD

（图1）

F

CD

（图2）（图3）

【问题探究［（1）如图1,AB//CD,E为AB、CD之间一点，连接BE、DE,得到/BED

与NB、ND之间的数量关系，并说明理由；

【类比迁移工（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：

如图2,直线N8〃CO,若NB=23。,ZG=35°,ND=25°,求/BE—NGFD的度

数；

【灵活应用】：（3）如图3,直线N5〃CD,若/£=/2=60°,ZF=85°,则ND=25

度.

【答案】（1）ZBED=ZB+ZD,理由见解答；

（2）NBEG+NGFO的度数为83°；

（3）25.

【解答】解：（1）ZBED=ZB+ZD,

理由：过点、E作EP〃AB,

（图1）

・•・/B=/BEP,

•:ABaCD,

：.CD//EP,

：./D=/DEP,

ZBED=/BEP+/DEP,

：.ZBED=ZB+ZD；

（2）过点G作GM//AB,

（图2）

由（1）可得：/BEG=/B+/EGM,

■:AB〃CD,

:,GM〃CD,

由（1）可得：ZGFD=ZD+ZFGM,

VZB=23°,NEG/=35°,ZD=25°,

・•・ZBEG+ZGFD=ZB+EGM+ZD+ZFGM

=ZB+ZD+ZEGF

=230+25°+35°

=83°,

•••N5EG+NGFD的度数为83°；

(3)如图：

E

CD

（图3）

VZ5=60°,ZF=85°,

:.NBNF=18Q°-ZB-ZF=35°,

：.ZANE=ZBNF=35°,

:AB〃CD,

...由（1）可得：ZDEN=ZANE+ZD,

：.ZD=ZDEN-ZANE=60°-35°=25°,

故答案为：25.

【变式2-6］（2023春•邵阳期末）如图1,直线4B〃CD,尸是截线MN上的一点.

（1）若NMNB=45°,ZMDP=20°,求/MPD；

（2）如图1,当点尸在线段MV上运动时，/CO尸与/48P的平分线交于。，问4

ZDPB

是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；

（3）如图2,若T是直线上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点尸在射线

上运动时，/CD尸与N/8P的平分线交于。，问/Q的值是否和（2）问中的情况

ZDPB

一样呢？请你写出探究过程，说明理由.

图1图2

【答案】（1）的度数25°；

（2）NQ是定值,NQ=1；

ZDPBZDPB2

（3）NQ是定值,NQ=工

ZDPBZDPB2

【解答】解：(1),：AB//CD,ZMNB=45

AZZ)A/P=180°-ZMNB=135°,

VZMDP=20°,

：.ZMPD=ISO°-ZDMP-ZMDP=25

.♦./MV)的度数为25°；

(2)是定值，

ZDPB

理由：过点P作尸G〃CD,

图1

：./CDP=4DPG,

'：CD//AB,

：.PG//AB,

：.ZABP=ZBPG,

"：ZDPB=ZDPG+ZBPG,

：.ZDPB=ZCDP+ZABP,

同理可得：ZQ=ZCDQ+ZABQ,

。平分NCDP,BQ平分4ABP,

：.ZCDQ=1.ZCDP,/ABQ=L/ABP,

22

；.NQ=NCDQ+NABQ

=1ZCDP+1ZABP

22

=A(ZCDP+ZABP)

2

=L/DPB,

2

•NQ=1.

ZDPB2

(3)NQ是定值,

ZDPB

理由：过点尸作尸G〃CD,

Q

T

评;…。

A/NB

图2

：./CDP=4DPG,

,:CD〃AB,

：.PG//AB,

ZABP=ZBPG,

'：ZDPB^ZBPG-ZDPG,

：.NDPB=NABP-ZCDP,

同理可得：ZQ=ZABQ-ZCDQ,

。平分/CAP,BQ平分/4BP,

.\ZCDQ=^ZCDP,/ABQ=1~/ABP,

22

：.ZQ=ZABQ-ZCDQ

=1ZABP-1ZCDP

22

=A(ZABP-NCDP)

2

=1ZDPB,

2

•NQ=1

ZDPB~2

【变式2-7](2023春•防城港期末)阅读下面材料:

（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB//CD,£为直线CD之间一

点，连接BE、DE得到/BED.求证：/BED=/B+/D.下面是小亮写出了该问题的

证明,请你帮他把证明过程补充完

（图甲）（图乙）

CD//EF,

：.NFED=ND,

ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD.

(2)请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线。〃6,BE平分NABC,

DE平分/ADC,若N48C=50°,ZADC=60°,求N2ED的度数，(温馨提示：过点

E作EF〃AB)

【答案】(1)ZB,CD,ZD；

(2)4BED=55°.

【解答】(1)证明：过点E作EF〃4B,

则有

,:AB〃CD,

C.CD//EF,

：.NFED=ND,

：.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD,

故答案为：ZB,CD,ZD；

(2)解：如图乙，过点E作石户〃48,

ZBEF=ZABE,

'：a//b,BPAB//CD,

J.CD//EF,

：.NDEF=NCDE,

：.NBED=NBEF+NDEF=ZABE+ZCDE,

:BE平分/ABC,DE平分NADC,

:.NABE=LNABC,NCDE=LNADC,

22

又•；//8C=50°,ZADC^60°,

；./ABE=25°,/CDE=3Q°,

:.NBED=NABE+NCDE=25°+30°=55°.

BAa

b

（图乙）

模型分析

模型三“臭脚”模型

点、P在EF右侧，在48、8外部

4______________

CF

“臭脚”模型

结论1：^ABDCD,则NP=N4EP-NCFP或NANCJP-N/EP；

结论2：若NP=N4EP-NCFP或NP=NCF}N4EP,贝()45口。.

典例分析

【典例3】（2023春•中山区期末）如图，AABE+Z.BED=ZCDE.

（1）如图1,求证4B〃CD；

（2）如图2,点尸在上，ZCDP=ZEDP,BF平分~/ABE,交PD于点、F,探究/

BFP,N8ED的数量关系，并证明你的结论;

（3）在（2）的条件下，如图3,P0交延长线于点Q,/DPQ=2/APQ,ZPQD

【答案】（1）答案见解答过程;

(2)NBED=2NBFP,理由见解答过程；

(3)120°.

【解答】(1)证明：延长CQ交BE于点

JZCDE=/DHE+/BED,

/ABE+/BED=NCDE,

：.ZDHE=ZABE,

：.AB//CD,

(2)解：/BFP,NB即的数量关系是：/BED=2/BFP,理由如下：

设/EBF=CL,NCZ)P=0,

•:BF平分/ABE,NCDP=NEDP,

：.ZEBF=ZABF=a,/CDP=/EDP=B，

：.ZPBE=2ZEBF=2af

由(1)可知：AB//CD,

：.NDPB=NCDP=B，

：.ZAPD=1SO°-NNQP8=180°-p,

/APD=/ABF+/BFP,

.*.180°-^=a+ZBFPf

:・NBFP=180°-(a+p),

由四边形的内角和等于360°得：NBED+NEDP+/DPB+/PBE=360：

即：N5£Z)+0+0+2a=36O°,

:・/BED=360°-2(a+p),

NBED=2/BFP.

(3)解：设n/尸。=e,

・・・NDPQ=2/APQ=26,

：./APD=/APQ+/DPQ=3S,

由（1）可知：AB//CD,

：.ZCDP+ZAPD=\S0o,

：.ZCDP=\SO°-ZAPD=180°-30,

VZPQD=SO°,

ZEDP=ZPQD+ZDPQ=SO°+26,

■:NCDP=NEDP,

.*.180°-30=80°+26,

解得：8=20°,

AZCZ>P=180°-36=120°,NEZ用=800+29=120°,

根据周角的定义得：ZCDE+ZCDP+ZEDP=360°,

・・・NCD£=360°-(NCDP+NEDP)=360°-(120°+120°)=120°.

【变式3-1】已知Z8〃CD

(1)如图1,求证：ZABE+ZDCE-ZBEC=1SO°；

(2)如图2,NDCE的平分线CG的反向延长线交的平分线BF于F.若BF〃CE,

ZBEC=26°,求/BFC.

【答案】(1)详见解析；

(2)103°.

【解答】(1)证明：如图，过E作EF//4B,

■:AB〃CD,

：.DC//EF,

:・/B=/BEF,ZC+ZC^F=180°,

・・・NC+NB=NBEC=180°,

即：/ABE+NDCE-/BEC=180°；

AB

E—----------------------

F

U

(2)解：：FB//CE9

：.ZFBE=ZBEC=26°,

•・・BF平分/48E,

：.ZABE=2ZFBE=52°,

由(1)得：ZDCE=1SO°-ZABE+ZBEC=1SO°-52°+26°=154°,

TCG平分NEC。，

:./DCG=T1。,

过点尸作厂N〃/8,如图：

,:ABHCD,

：.FN//CD,

：.ZBFN=ZABF=26°,ZNFC=ZDCG=77°,

・・・ZBFC=ZBFN+ZNFC=103

模型分析

模型四“骨折”模型

*

点、P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型

结论1：若4BUC。，则NANCFP-N/EP或NQNNEP-NCJP；

结论2：^ZP=ZCFP-ZAEPZP=ZAEP-ZCFP,贝！］/3口。.

典例分析

【典例4】(2022秋•朝阳区校级期末)已知4B〃CD,点E在48上，点P在DC上，点G

为射线EF上一点.

(1)【基础问题】如图1,试说明：/4GD=N4+/D.(完成图中的填空部分)证明：

过点G作直线MN//AB,

又,：AB〃CD,

：.MN//CD

\'MN//AB,

：.ZA=ZMGA.

,JMN//CD,

•••/D=DGM(两直线平行，内错角相等)

ZAGD=ZAGM+ZDGM^ZA+ZD.

(2)【类比探究】如图2,当点G在线段所延长线上时，请写出N/G。、//、/D三

者之间的数量关系，并说明理由.

(3)【应用拓展】如图3,AH平分/GAE,DH交AH于点、H,旦/GDH=2/HDF,Z

HDF=22°,NH=32°,直接写出/DG/的度数为。.

图1图2图3

【答案】（1）MN;NN;ZDGM；两直线平行，内错角相等;

（2）ZAGD^ZA-ZD.理由见解析；

（3）42°.

【解答】解：（1）过点G作直线跖V〃48,

又,：AB〃CD,

J.MN//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

"JMN//AB,

=（两直线平行，内错角相等），

'JMN//CD,

.•.ND=4DGM（两直线平行，内错角相等），

/AGD=/AGM+/DGM=ZA+ZD.

故答案为：MN；ZA；ZDGM；两直线平行，内错角相等.

（2）如图所示，过点G作直线九W〃48,

J.MN//CD,

'JMN//AB,

AA=AAGM,

■:MN//CD,

：.ND=/DGM,

：.NAGD=NAGM-NDGM=/A-ZD.

（3）如图所示，过点G作直线儿加〃NB,过点”作直线尸

M…@…N

C

A~~EB

又,：AB"CD,

：.MN//CDfPQ//CD

•:MN〃AB,PQ//AB,

；・/BAG=NAGM,/BAH=/AHP,

,:MN〃CD,PQ//CD,

：.ZCDG=ZDGM9ZCDH=ZDHPf

♦:/GDH=2/HDC,ZHDC=22°,ZAHD=32°,

・・・NGZ），=44°,ZDHP=22°,

・・・NCZ）G=66°,NAHP=54°,

：.ZDGM^66°,/BAH=54°,

平分NG4£,

AZBAG=2ZBAH=108°,

/.ZAGM=10S°,

/.ZAGD=ZAGM-ZDGM=42°.

【变式4-l】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1）,/3〃CZ）,N4*=40°,NPED=130°,

求N以/的度数.小明想到了以下方法：

解：如图（1）,过点尸作尸M〃力―

：.Z1=ZAEP=4O°（两直线平行，内错角相等）

9：AB//CD（已知）

J.PM//CD（平行于同一条直线的两直线平行）

.・・Z2+ZPFD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

VZPFD=130°（已知）

AZ2=180°-130°=50°

AZEPF=Z1+Z2=4O°+50°=90°

即NE尸尸=90°

【探究】如图（2）,AB//CD,N4EP=50°,/PFC=12Q°,求/£尸尸的度数.

【应用】如图（3）,在【探究】的条件下，ZPEA的平分线和/尸川C的平分线交于点G,

求/G的度数.

AEB

CFD

图⑴

【答案】［探究］70°；

［应用］35°.

【解答】［探究］如图②，过点尸作尸加^48,

（两直线平行，内错角相等）

,JAB//CD（已知）,

：.PM//CD（平行于同一条直线的两直线平行）,

:./PFC=/MPF=120°（两直线平行，内错角相等）.

AZEPF=ZMPF-ZMPE=120°-50°=70°（等式的性质）.

［应用］如图③所示,

\'EG是NPE4的平分线，FG是/PFC的平分线,

AAAEG=L^AEP=25°,ZGFC=-L^/PFC=600,

图③

过点G作GM//AB,

：.ZMGE=ZAEG=25°（两直线平行，内错角相等）

•：AB〃CD（已知），

J.GM//CD（平行于同一条直线的两直线平行），

:.NGFC=/MGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

AZEGF=ZMGF-ZMGE=60Q-25°=35°.

【变式4-2］（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平

行线的方法可以帮我们解决许多问题.

（1）小明遇到了下面的问题：如图1,11〃12,点、P在h,/2内部，探究NAPB,

乙8的关系，小明过点尸作人的平行线，可得/4PB,NA,N8之间的数量关系是：Z

APB=N/+N8.

（2）如图2,若点P在NC,8。外部，ZB,//P8的数量关系是否发

生变化？请写出证明过程.

【答案】（1）ZAPB=ZA+ZB；

（2）发生变化，ZAPB=ZB-ZA,证明见解答过程.

【解答】解：（1）：记过点尸作人的平行线为尸C,

,：PC//h,

：.AA=ZAPC,

'：h//h,

：.PC//l2,

：./B=NBPC,

ZAPB=/APC+NBPC=ZA+ZB,

故答案为：ZAPB=ZA+ZB；

(2)发生变化,

如图，过点〃/C,则N4P尸=NZ,

C.PF//BD,

：.NB=NBPF,

NAPB=ZBPF-ZAPF=/B-NA.

【变式4-3](2020春•乳山市期中)【信息阅读】

材料信息：

如图①，AB//DE,点C是直线48,DE外任意一点，连接2C,DC.

方法信息：

如图②，在“材料信息”的条件下，NB=55°,ZZ)=35°,求/BCD的度数.

解：过点C作C/〃N8.

；./BCF=NB=55°.

:AB〃DE,

：.CF//DE.

：.ZDCF=ZD=35°.

:./BCD=55°-35°=20°.

【问题解决】

(1)通过【信息阅读】，猜想：NB,ND,之间有怎样的等量关系？请直接写出

结论：/BCD=/B-/D；

（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点。的位置，/B,ND,N5CQ之间的

等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由.

图①图③

【答案】ZBCD=ZB-ZDfZBCD=ZD-ZB

【解答】解（1）过。作CF〃切，

■:AB〃ED,

C.AB//CF,

：.ZB=ZBCF,

/D=/DCF,

*.*/BCD=ZBCF-/DCF,

：.ZBCD=ZB-ND,

故答案为：ZBCD=ZB-ZD.

(2)过点。作

・•・ZBCF=ZB,

•:AB"DE,

：.CF//DE.

：.ZDCF=N。，

ZBCD=ZDCF-BCF,

：.ZBCD=ZD-ZB.

1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30。角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两

边.MN,尸0之间，则下列结论中：①/1=/3；②/2=/3；③/1+/3=90°；④若

Z3=60°,贝11/8，尸。，其中正确结论的个数是（）

【答案】C

【解答】解：设2c与尸0交于点RN2与尸0交于点G,AB与MN交于点、H,延长/C

交PQ于点E,

：.N3=NAEG,

；N1WN4EG,

.•.Z3^Z1,

故①不正确;

根据对顶角相等可得：Z2=Z3,

故②正确;

是△（?£尸的一个外角，ZACB=90°,

CB=ZAEB+Z1=90°,

ZAEB=Z3,

.,.Z3+Zl=90°,

故③正确；

VZA=30°,Z3=60°,

：.ZAHM^ISO°-ZA-Z3=90°,

'JMN//PQ,

:.NAHM=NAGP=90°,

：.AB±PQ,

故④正确；

所以，上列结论中，其中正确结论的个数是3个，

故选：C.

2.(2023春•芜湖期末)如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上

反射出的光线A4,都是水平线，若乙4BO=a,ZDCO^6Q°,则4BOC的度数为

()

A.180°-aB.120°-aC.60°+aD.60°-a

【答案】C

【解答】解：连接3C,

VAB//CD,

：.ZABO+ZCBO+ZBCO+ZOCD=180

而NC20+N5c。+/。=180°,

。=ZABO+ZDCO=60°+a.

故选：C.

3.（2022•恩施州）已知直线h//12,将含30°角的直角三角板按如图所示摆放.若/1=120°,

则N2=（

1

1\

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点5作研〃/i,交4C于点尸,

AZA=90°-ZC=60°.

'：Z1=ZA+ZADE9

：.ZADE=60°.

,:BF〃卜,

：.ZABF=ZADE=60°,

：・/FBG=90°-ZABF=30°.

,:BF〃h,I1//I2,

：.BF//h,

：,/BGH+/FBG=180。,

・"BGH=1800-ZFBG=150°,

：.Z2=ZBGH=15O°.

故选：D.

4.（2022•博山区一模）如图，直线a〃4点M、N分别在直线〃、6上，P为两平行线间

一点，那么N1+N2+N3等于（）

M

---------R---------a

X\

2

3

b

A.360°B.300°C.270°D.180°

【答案】4

【解答】解：如图，过点尸作24〃〃，则。〃力〃为,

.,.Z3+Z7VB4=180°,Zl+ZAffi4=180°,

・・・N1+N2+N3=18O°+180°=360°.

故选：A.

5.（2021春•椒江区校级月考）如图，已知48〃CZ）,和N5CD的平分线交于点£,

ZFBC=n°,ZBAD=m°，则N4EC等于（）度.

A.90-2+加B.90-2-㈣C.90-2D.90-工+四

222222

【答案】D

【解答】解：如图，过点E作近/〃45,

,:AB〃CD,EM//AB,

C.AB//EM//CD,

:・/BAE=/AEM,ZMEC=ZECD,NFBC+NBCD=180°,

AZBCD=180°-ZF5C=180°-n°,

•・・ABAD和NBC。的平分线交于点E,

:.NB4E=L/B4D=Ln。,ZECD=1ZBCD=1.（180°-n°）,

2222

；.NAEC=NAEM+/MEC=NBAE+NECD=Ln°+A（180°-n°）=90°+L?°-

222

-1n=，

2

故选：D.

6.（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1,/5〃CD,NF45=135°,NPCD=115°,

求//PC的度数；

【问题迁移】（2）如图2,已知/MON,AD//BC,点尸在射线（W上运动，当点P在N,

8两点之间运动时，连接PD,PC,ZADP=Za,ZBCP=Z^,求NCPD与Na,Zp

之间的数量关系，并说明理由；

【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点尸在4,8两点之间运动”改为“点P在

A,3两点外侧运动（点尸与点/,B,。三点不重合）”其他条件不变，请直接写出NCPD

与/a,N0之间的数量关系.

【答案】（1）N4PC的度数为110°；

（2）ZCP£>=Za+Zp,理由见解答；

（3）当尸在8/延长线时，ZCPD=Z^-Za；当尸在延长线时，ZCPD=Za-

【解答】解：（1）过点尸作PE〃/2,

图1

/.ZAPE=1SO°-NN=45°,

U：AB//CD,

:.PE〃CD,

：.ZCPE=1SO°-ZC=65°,

/.ZAPC=ZAPE+ZCPE=450+65°=110°,

・・・N4PC的度数为110°；

(2)ZCPD=Za+Zp,

理由：过尸作尸交CD于E,

\9AD//BC,

：.PE//BC,

：./BCP=/CPE=/B，

：.ZCPD=NDPE+ZCPE=Za+Zp；

(3)分两种情况：

当尸在A4延长线时，ZCPD=Z^-Za,

理由：如图3,过P作尸£〃/。交CD于E,

图3

・•・NADP=ZDPE=Na,

•:AD〃BC,

：.PE//BC,

Z.NBCP=NCPE=NB，

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z^-Na；

当尸在延长线时，ZCPD=Za-Zp,

理由：如图4,过尸作PE〃4D交OD于E,

ZADP=NDPE=Za,

,JAD//BC,

J.PE//BC,

NBCP=NCPE=NB，

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp,

综上所述，NCPZ>=NB-Na或NCPD=Na-N0.

7.(2022春•良庆区校级期中)已知/M〃CN,点8为平面内一点，于"

(1)如图1,直接写出NN和NC之间的数量关系N/+NC=90°；

(2)如图2,过点3作于点。，求证：ZABD=ZC；

(3)如图3,在(2)间的条件下，点£、尸在。〃上，连接8£、BF、CF,AF平分/

DBC,BE平分NABD,若/FCB=/CFD,/BFC=3/DBE,求/£8C的度数.

【解答】解：(1)如图1,4M与的交点记作点O,

B,

M

A

N图1C

■:AM〃CN,

:・/C=NAOB,

*：ABLBC,

：.ZA+ZAOB=90°,

AZA+ZC=90°,

故答案为：ZA+ZC=90°；

过点8作BG〃。跖

■:BD工AM,

:.DB1BG,即N/&)+N/BG=90°,

又・・Z5_LBC,

：.ZCBG+ZABG=90°,

:.NABD=NCBG,

■:AM〃CN,BG〃AM,

:・CN〃BG,

：.ZC=ZCBG,

：.NABD=/C；

(3)如图3,

DEAFM

…G

NN图3C

过点B作BG//DM,

■:BF平分NDBC,BE平分N4BD,

：.ZDBF=ZCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)可得/4BD=NCBG,

：.ZABF=ZGBF,

设NDBE=n,N4BF=S，则

ZABE=a