2024年初升高数学衔接讲义-数与式的运算练习（学生版+解析）

专题01数与式的运算

"敢徐述

初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同

点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.

二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，

对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简

与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最

后一章，是式的变形的终结章.

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.

本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幕运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数

塞逼近无理数指数基），掌握运算性质，能够区别值与（布）”的异同.

通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数募的概念，进而学习指数累的性质，掌握分数指数累和根

式之间的互化，掌握分数指数塞的运算性质.

薛程要求

《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有

顺序性，知道字母表示数的基本代数思想

2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法

3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超过三步的数的混合运算

4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了

解了整数指数塞的含义

《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打

基础，会运算字母代表数的式子

2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技

巧

3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两

数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步

4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比

较，会把整数指数嘉的运算及其性质推广到分数指数塞

知拥幡讲

高中必备知识点1:绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是

零.即：

a,a>0,

\a\=<0,Q=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：卜-q表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。+份（。-匕）=。2-4；

（2）完全平方公式（。±匕）2=a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式（。+匕）（。~-ab+b~）—/；

（2）立方差公式（Q—份（〃+。匕+/）=。3一夕；

（3）三数和平方公式（。+匕+c）~=矿+匕~+c~+2（ab+be+uc）；

（4）两数守口立方公式（。+33=/+3。％+3。/+夕.

（5）两数差立方公式（。一匕）3=。3—3。%+3。廿一3.

高中必备知识点3：二次根式

一般地，形如G（a»0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子

________桓

称为无理式.例如3a+Ja?+/?+2/?,a2+b2等是无理式，而+-^-x+l,x2+y/2xy+y2,

JU等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化

因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两

个代数式互为有理化因式，例如，5与，5,3G与,&+«与&-石，-3也与

2G+3也,等等.一般地，.心与/?,。4+久方与一%[,。4+匕与一匕互为

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子

有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

4ay/b=4ab(a>0,b>^；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有

理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同

类二次根式.

2.二次根式后的意义

11[-a,a<0.

高中必备知识点4：分式

1.分式的意义

AAA

形如©的式子，若5中含有字母，且BwO,则称©为分式.当研0时，分式色■具有下列性质:

BBB

AAxM

~B~B^M'

AA^M

万一B+M•

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像一人，—5一这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

y

算例周折

高中必备知识点1:绝对值

【典型例题】

阅读下列材料:

我们知道忖的几何意义是在数轴上数X对应的点与原点的距离，即国=|x-0],也就是说，忖表示在数轴

上数X与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|匹-々|表示在数轴上数再与数对应的点之间

的距离；

例1解方程|X|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|X|=2的解为X=±2.

例2解不等式|x-1|>2.在数轴上找出|x-1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2

的点对应的数为一1或3,所以方程|x—1|=2的解为x=—1或x=3,因此不等式|x—1|>2的解集为

-1或X>3.

例3解方程|x—1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点的距离

之和等于5的点对应的X的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3（如图），满足方程的X对应的点

在1的右边或一2的左边.若X对应的点在1的右边，可得％=2；若X对应的点在一2的左边，可得x=-3,

因此方程Ix—1|+|x+2|=5的解是x=2或x=-3.

参考阅读材料，解答下列问题：

⑴方程Ix+21=3的解为；

（2）解不等式：了一2|<6；

⑶解不等式：|X—3|+|X+4|29；

⑷解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

0

【变式训练】

实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简-勿-g-可.

-------------11-----►

ao-b

【能力提升】

已知方程组『+y=己+2的解心y的值的符号相同.

14%—y=1U—OCL

⑴求a的取值范围；

(2)化简:\2.CL+2|-21a—31.

高中必备知识点2：乘法公式

【典型例题】

⑴计算：1―g]+2016°+(—2)3+(—2)2

(2)化简：(a+2b)(a-2b)-(a-2b丫

【变式训练】

计算：

(l)(^-3.14)°+(-4)2-(1r2

(2)(X-3)2-(X+2)(X-2)

【能力提升】

已知10x=a,5*=b,求：

⑴50*的值;

(2)2、的值;

(3)20*的值.(结果用含°、b的代数式表示)

高中必备知识点3：二次根式

【典型例题】

计算下面各题.——

(2)V4x+2>j2x—y/8x—4y[x

2

【变式训练】

小颖计算JF+-+,时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:

解：原式=++

=715x73+715x75

=3小+56•

她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.

【能力提升】

先化简，再求值：（生?-2）+匕学，其中a=^+VLb=72-73.

a+ba-ba+b

高中必备知识点4：分式

【典型例题】

先化简，再求值(Y3+]-土Y+2)+2:1*2+x,其中X满足X2+X-1=O.

xx-1x-2x+1

【变式训练】

4x2-4xy+y2

化简:-r(4x2—y2)

2x-y

【能力提升】

已知：―,则丈M的值等于多少？

对点幡称

1.下列运算正确的是（）

A.上

B.V3+V7=V10

孙一/％―y

C.3x3-5x3=-2D.8xMx=2x3

2.下列计算结果正确的是（)

C.（一孙）”（一移）3=r2y2D.3x2y-5xy2=-2xy

x

3.若式子——有意义，则下列说法正确的是（）

X+1

A.x>—1且％W0B.x>—1C.XW—1D.x。0

4.计算*——2—的结果是（）

ci—1a—1

a1

A.3B.0C.D.

〃一1〃一1

5.若|a|=4,\b\=2,且的绝对值与相反数相等，则4—5的值是（）

A.-2B.-6C.一2或—6D.2或6

a_|_bb-|—cQ_|_c

6.设有理数a、b、c满足〃>b>c（〃c<。），且同〈网〈同，则％-三一%|九-三一|+|九+三一的最小

值是（）

a-c+Z7+2c-2a+b+c2a+b—c

A.--------B⑴n

22.2.2

abcctbc

7.如果。，b,<:是非零有理数，那么对十^T一同+痴d的所有可能的值为（

A.—4,—2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

8.如图是一个按某种规律排列的数阵：

T72第1行

2J5R第2行

历2五3JioJu24第3行

JBTH/is4J173J27192J5第4行

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n“）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）.

9.与6）最接近的整数是（）

A.3B.4C.5D.6

2设a为历十一g的小数部分’b为屈方—忻国的小数部分’则)的值为(

)

A.痛+0-1B.V6-V2+Ic.V6-V2-1D.V6+V2+1

#11oEI八*2。+3ab-2b

右厂厂3,则分式二“r

2__7

12.若分式rXrX/的值为零,则X的值为

x—2

13.已知整数。满足1＜。？3,则分式(1—工］-/：的值为______

Ia)a--4

14.计算(26-JIT的结果等于.

15.计算(0-1)2+返=一

16.化简：3a2b2

9ab

17.化简"6-何的结果为.

18.若有理数x,y,z满足(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)—36,则x+2y+3z的最小值是

19.已知|x+2|+|l_x|=9_J(y_5)2_J(l+y>,则x+y的最小值为

20.已知式子|x+l|+|x-2|+|y+3|+|y-4|-10,则x+y的最小值是.

21.⑴计算:(—2)。+/—21n-(-2)3；

(x2)1

(2)先化简，再求值：--+--，其中x=-l.

(x+2x-2)x-4

22.计算：6(6-1)+2-询.

23.已知a,b,c满足|4+3|+的=T+(c—5)2=0,请回答下列问题:

⑴直接写出。，b,c的值.a=,b=,c=.并在数轴上表示.

(2)a,b,c所对应的点分别为A,B,C,若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向

左运动；

①运动1.5秒后，4C两点相距几个单位长度.

②几秒后，4C两点之间的距离为4个单位长度.

24.同学们都知道，14-(-2)|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应

的两点之间的距离：问理|x-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：

(1)|4-(-2)|=.

⑵找出所有符合条件的整数x,使|x-4|+|x+2|=6成立，并说明理由

⑶由以上探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|尤-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，

说明理由.

25.⑴已知三一5%一百=0,求代数式2尤2_10X-君的值;

x2+6%+9x

(2)化简:

%2-9x-3

2

26.先化简，再求值：([XT2+_FJX+—xF，其中“6

27.如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚.

,4：4。+65：I+2tz—3

甲乙

⑴嘉嘉认为污染的数为—3,计算"A+3"的结果；

⑵若a=3+石，淇淇认为存在一个整数，可以使得"A-5"的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的

这个数.

2022

28.⑴计算：-1+1-31+73-tan30°-^/8-(2021-^-)°+

(2)先化简再求值：---x+1k-------,其中犬=血一2.

[x+1)x+1

(4、a-2

29.己知片+2。—1=0，求代数式a--十—=的值.

IaJa

30.计算:

(4)(_1)2°19+(〃_3.14)°—

专题01数与式的运算

与曼徐述

初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同

点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.

二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，

对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简

与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最

后一章，是式的变形的终结章.

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.

本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幕运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数

事逼近无理数指数幕），掌握运算性质，能够区别"与（布）”的异同.

通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幕的概念，进而学习指数幕的性质，掌握分数指数塞和根

式之间的互化，掌握分数指数暴的运算性质.

锦程要索

《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有

顺序性，知道字母表示数的基本代数思想

2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法

3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超过三步的数的混合运算

4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了

解了整数指数基的含义

《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打

基础，会运算字母代表数的式子

2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技

巧

3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两

数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步

4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比

较，会把整数指数幕的运算及其性质推广到分数指数幕

知拥幡讲

高中必备知识点1:绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是

零.即：

a,a>0,

\a\=<0,Q=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：卜-q表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。+份（。-匕）=。2-4；

（2）完全平方公式（。±匕）2=a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式（。+匕）（。~-ab+b~）—/；

（2）立方差公式（Q—份（〃+。匕+/）=。3一夕；

（3）三数和平方公式（。+匕+c）~=矿+匕~+c~+2（ab+be+uc）；

（4）两数守口立方公式（。+33=/+3。％+3。/+夕.

（5）两数差立方公式（。一匕）3=。3—3。%+3。廿一3.

高中必备知识点3：二次根式

一般地，形如G（a»0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子

________桓

称为无理式.例如3a+Ja?+/?+2/?,a2+b2等是无理式，而+-^-x+l,x2+y/2xy+y2,

JU等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化

因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两

个代数式互为有理化因式，例如，5与，5,3G与,&+«与&-石，-3也与

2G+3也,等等.一般地，.心与/?,。4+久方与一%[,。4+匕与一匕互为

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子

有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

4ay/b=4ab(a>0,b>^；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有

理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同

类二次根式.

2.二次根式后的意义

11[-a,a<0.

高中必备知识点4：分式

1.分式的意义

AAA

形如©的式子，若5中含有字母，且BwO,则称©为分式.当研0时，分式色■具有下列性质:

BBB

AAxM

~B~B^M'

AA^M

万一B+M•

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像一人，—5一这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

y

算例周折

高中必备知识点1:绝对值

【典型例题】

阅读下列材料:

我们知道忖的几何意义是在数轴上数X对应的点与原点的距离，即国=|x-0],也就是说，忖表示在数轴

上数X与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|匹-々|表示在数轴上数再与数对应的点之间

的距离；

例1解方程|X|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|X|=2的解为X=±2.

例2解不等式|x-1|>2.在数轴上找出|x-1|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2

的点对应的数为一1或3,所以方程|x—1|=2的解为x=—1或x=3,因此不等式|x—1|>2的解集为

-1或X>3.

例3解方程|x—1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点的距离

之和等于5的点对应的X的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3(如图)，满足方程的X对应的点

在1的右边或一2的左边.若X对应的点在1的右边，可得％=2；若X对应的点在一2的左边，可得x=-3,

因此方程Ix—1|+|x+2|=5的解是x=2或x=-3.

参考阅读材料，解答下列问题：

⑴方程Ix+21=3的解为；

(2)解不等式：了一2|<6；

⑶解不等式：|X—3|+|X+4|29；

⑷解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

o

答案：(1)X=1或X=—5；(2)—4<x<8；⑶应4或X4—5；⑷x=——或工=一.

33

解析：

⑴由已知可得x+2=3或x+2=-3

解得X=1或x=—5.

(2)在数轴上找出|X-2|=6的解...•在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为一4或8,

方程I%—2|=6的解为x=—4或x=8,.•.不等式|x-2\<6的解集为一4Vx<8.

⑶在数轴上找出|x—31+1%+41=9的解.

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和一4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值.

•.•在数轴上3和一4对应的点的距离为7,.•.满足方程的x对应的点在3的右边或一4的左边.

若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在一4的左边，可得x=-5,

二方程IX—3|+|X+4|=9的解是x=4或x=—5,

.,•不等式|X-3|+|X+4|29的解集为X24或X4—5.

⑷在数轴上找出|X-2|+|X+2|+|X-5|=15的解.

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和一2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的X的

值.

•.,在数轴上-2和5对应的点的距离为7,.•.满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边.

若x对应的点在5的右边，可得x=型；若x对应的点在一2的左边，可得x=-3，

33

方程Ix-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是尤=_竺或/.

33

【变式训练】

实数a、6在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简+|a--g-a|.

----------1----1---►

aob

答案:a-2b

解析：

解：由数轴知：a<0,b>0,|a|>|b|,

所以b-a>0,a-b<0

原式二|a|-(b-aHb-a)

=-a-b+a-b+a

=a-2b

【能力提升】

已知方程组匕；二京+忆的解心y的值的符号相同.

14%—V—J.U—OCI

⑴求a的取值范围；

⑵化简：|2a+2]-2|a—31.

答案:⑴-1<。<3；⑵4a—4.

解析：

fx+y=5+a①

(4%—y=10—6a②，

①+②得：5x=15-5a,即x=3-o,

代入①得：片2+2o,

根据题意得：xy=(3-a)(2+2a)>0,

解得

(2)V-l<a<3,

*,•当-1<0<3时，|2Q+2|-2|Q—3|=2a+2—2(3—a)=2a+2—6+2a=4a—4.

高中必备知识点2：乘法公式

【典型例题】

(1)计算：(―g]+2016°+(—2)3+(—2)2

(2)化简：(a+2b)(a—2b)—(a—2b产

答案：(1)3

(2)4ab-8b2

解析：

解：(1)原式=4+l+(-8)+4

=5-2

=3

(2)JM^=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)

=a2-4b2-a2+4ab-4b2

=4ab-8b2

【变式训练】

计算：

(1)(%-3.14)°+(—4)2—(§)-2

(2)(X-3)2-(X+2)(X-2)

答案:(1)8(2)-6x+13

解析：

⑴原式=1+16-9=8；

(2)原式=X2-6X+9・(X2・4)

=x2-6x+9-x2+4

=-6x+13.

【能力提升】

已知Wx=a,5x=b,求：

⑴5。的值;

(2)2,的值;

(3)20、的值.(结果用含。、b的代数式表示)

2

答案:(l)ab;(2)g⑶

bb

解析：

解：(l)50x=10xx5x=ab；

高中必备知识点3：二次根式

【典型例题】

计算下面各题.—6，万;

(2)J4x+2,2x———4-yfx

答案:⑴-6A/5;(2)岳-2«

解析:

(1)(76-2715)x73-6j1

=30-675-372

=_6小;

(2)V4x+2^/2X--A/8X-46

=2Vx+2^2%-A/2X-4-Jx

—-2Vx-

【变式训练】

小颖计算厉十时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:

解:原式=V15+而"+

=J15x\f3+J15xy/5

=3A/5+5A/3.

她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.

答案:不正确，见解析

解析：

解：不正确，正确解答过程为：

原式二至+与I

715

15

y/5-^-yf3

^15^/5-1573

2

【能力提升】

先化简，再求值：（空心--H匕型，其中a=^+JLb=&-&.

a+ba-ba+b

答案:0逅±1.

a-b3

解析：

&2a—bba—2b

解：(---一r)。--

a+ba-ba+b

(2a-b)(a-b)-b(a+b)a+b

(a+b)(a-b)a-2b

2a2-3ab+b?-ab-b2]

a-ba-2b

2a(a-2b)1

a-ba-2b

2a

a-b'

当a母+5b=&-也时，

用比—2(0+司_2(血+⑸_76+3

原式一(拒+省卜(0-百)-273一二

高中必备知识点4：分式

【典型例题】

Y+]1*+22J+x

先化简，再求值（士一二）.・・；,，其中X满足x2+x-l=0.

xx-1x-2x+l

,.1—X

答A案:—J-/I-

X

解析：

々刀e—-2%—1（犬—1）1—x

解：原式——~=

x（x-l）x（2x+l）x

%2+x-l=O,

?.X2=l-X,

二・原式=1.

【变式训练】

4x2-4xy+y2

化简:--r(4x2—y2)

2x-y

…41

答案:十

解析:

4x2-4xy+y2

--r(4x2—y2)

2x-y

(2x-1

X

2x-y(2x+y)(2x-y)

1

2x+y'

【能力提升】

已知：--y=2,则的值等于多少?

ab2a-2b+lab

答案:---.

3

解析:

解：-----=2、

ab

/.a-b=-2ab,

.—2ab—2ab4

则----------=——

-4ab+7ab3

对点幡秣

1.下列运算正确的是（）

xyX

A.B.拒+币=M

xy-y2x-y

C.3x3-5x3=-2D.8x3-r4x=2x3

答案:A

孙xy_x

解：A,正确.

孙-Vy(x-y)x-y

B,6+币=#，+币,不正确.

C,3x3-5x3=_2x3,不正确.

D,8X3+4X=2X2,不正确.

故选：A.

2.下列计算结果正确的是()

321

A.------+-------=-------B.(x2)3=x5

%—22—%%—2

c(-xy)5-(-xy)3=-x2y2D.3x2y-5xy2=-2xy

答案:A

321

•[---+-----=------,

x—22—xx—2

・,・选项4计算正确；

V（X2）3=X6,

.•・选项B计算错误；

•；（一孙）5”一川羊二公产，

.•・选项C计算错误；

•••3/%—5孙2不是同类项，无法计算,

.••选项。计算错误；

故选A

Y

3.若式子一;有意义，则下列说法正确的是（）

X+1

A.%>—1且xwOB.x>-\C.xw—1D.xwO

答案:C

解：由题意可知:

x+1wO

・・xw—1

故选：c

4.计算上、-一二的结果是（）

a—1a—1

a1

A.3B.0C.-------D.-------

6Z—1d~l

答案:A

解：心——L

Cl—16Z—1

3a—3

a—1

3（"1）

〃一1

=3.

故选人

5.若|。|=4,传1=2,且的绝对值与相反数相等，则Q—。的值是（）

A.-2B.-6C.—2或—6D.2或6

答案:C

解：・.・|。|=4,传|=2,

;・。=±4,Z?=±2,

Va+b的绝对值与相反数相等，

a+b<0,

:・〃=­4,/?=±2,

a—Z?=T—2=—6或a—Z?=T+2=—2,

故选：c.

6.设有理数a、b、c满足a>匕>c（ac<0）,且同<陶<同，则”《一卜|六；一卜|%+^一的最小

值是（）

〃一ca+b+2c2a+Z?+c2a+b—c

A.--------B.--------------C.--------------D.---------------

2222

答案:C

解：:acvO,

Aa,c异号，

•；a>b>c,

，a〉0,c<0,

又：上<同<同，

•­—a<—b<c<Q<—c<b<a,

「•・a+bI/?+CiIa+c士一+bb+c〃+c_如,

又*%一一~—}十%—-z—十%~1—~一表示至U----,----，-------二点的距禺的和,

2112112222

、“4b+c

当次在一^时距离最小,

2

a+b\Ib+c\Ia+ca+b〃+。、一山皿一口门2々+人+。

即x~一二一十%——I—十九"1—z—取小，取小值是----与-------之间的距禺，即---------.

2112112222

故选：C.

cibcubc

7.如果a,b,c是非零有理数，那么同+忸+同+国的所有可能的值为（）.

A.一4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

答案:D

①a、b、c均是正数，原式=1+1+1+1=4；

②a、b、c均是负数，原式=_1_1_1_1=_4；

③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式=1一1一1+1=0；

④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式=1+1-1一1=0；

故选D.

8.如图是一个按某种规律排列的数阵：

1戊第ifi

Q2Jsn第2行

J72G3JIoJu2G第3行

JBJUJis4后3j2ji92a第4行

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且*4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示乂

答案:C

由图中规律知，前(n-1)行的数据个数为2+4+6+...+2(n-l)=n(n-l),

・••第n(n是整数，且n24)行从左向右数第(n-3)个数的被开方数是：n(n-l)+n-3=n2-3,

第n(n是整数，且nM)行从左向右数第(n-3)个数是：7n2-3

故选：C.

9.与石(如-6)最接近的整数是()

A.3B.4C.5D.6

答案:B

解：原式=&?-3，

V49<54<64,

二7<疯<8，

V7.52=56.25,

7<^/54<7.5，

最接近7,

/.国—3最接近7-3即4,

故选：B.

10.设a为13+石—^3—石的小数部分,b为16+36-56-36的小数部分,则|-：的值为(

)

A.V6+V2-IB.&一丘+1C.V6-V2-ID.R+6+1

答案:B

亚+1A/5-I

收41

亚

Aa的小数部分为J5-1，

,6+36-46-

12-673

6+33-73

忘V2

=A/6

；.b的小数部分为卡-2,

---=—-----；i—=V6+2-\/2-1=A/6-\/2+1,

baV6-2V2-1

故选：B.

,,11cm_u2a+3ab-2b

11.若一一-=3,则分/k式———

aba-lab-b

答案:|

解：!―g=3两边都乘。匕，得:

ab

b-a-3ab®

2a+3ab-2b

a-lab-b

2（〃-b）+3〃Z?

a-b-2ab

2（〃-Z?）+3〃Z?

②

a-b-2ab

-6ab+3ab_-3ab_3

将①代入②得:

—3ab—lab—Sab5

3

故答案为：—

X—x—2

12.若分式X%的值为零,则X的值为

%—2

答案:-1

解：♦.•分式』2的值为零,

%—2

••・X2_%—2=0且%—2。0,

解方程得，石=—1,莅=2；

解不等式得，X/2,

x=—1

故答案为：-1.

13.已知整数。满足1<。？3,则分式1—2的值为

Ia)4Z--4

答案：g

Iu)ci—4

a-2a

a(〃+2)(Q-2)

1

~7+2f

由题意awO且Q2-4W。,

所以awO且aw2且aw—2,

又•・,整数。满足l<a?3,

a=3,

当a=3时，原式二一--=—,

3+25

故答案为：—.

14.计算(2石—©了的结果等于.

答案：14-4布

解：(2代-同

=(2百)2—2X20X直+(0)2

=12-4A/6+2

=14-476.

故答案为：14—4.

15.计算(0-1)2+指=_.

答案：3

解：原式=2+1—2拒+28

=3.

故答案为：3.

16.化简：3a2b2J——=________

V9ab

答案:-abd-ab

解：要使该二次根式有意义，则有二L〉o

9ab

2222

ab<Q:.3a2廿二L=3a2/?2f—ab3ab/--3ab/——/--

-~~——-；--------丁7—ab--------7—ab=—ab7-cib

V9ab9a2b~\3ab\-3ab

故答案为：-ab《-ab.

17.化简«-而的结果为.

答案:君-1

解：原式=，6_2行

=｛（后_2百+而2

=«书-1）2

=75-1.

故答案为：V5-1.

18.若有理数x,y,z满足(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)=36,则x+2y+3z的最小值是

答案：-8

解：当xV-1时,|x+l|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-2x+l>3,

当-l<x<2时,|x+l|+|x-2|=x+l-(x-2)=3,

当x>2时，|x+l|+|x-2|=x+l+x-2=2x-1>3,

所以可知|x+l|+|x-2|23,

同理可得：

|y-l|+|y-3|>2,

\z-3|+|z+3|>6,

所以(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)>3x2x6=36,

所以|x+l|+|x-2|=3,

|y-i|+|y-3|=2,

\z-3|+|z+3|=6,

所以-l<x<2,

l<y<3,

-3<z<3,

；.x+2y+3z的最大值为：2+2x3+3x3=17,

x+2y+3z的最小值为：-l+2xl+3x(-3)=-8.

故答案为：-8.

19.已知|x+2|+|l_x|=9_J(y—5)2—"(l+yp,则x+y的最小值为

答案：-3.

'|x+2|+|l-x|=9-^(y-5)2-7(l+y)2-

x+2|+|x—1|+|y+l|+|y—5|=9,

|x+2|+|x-i|可理解为在数轴上，数％的对应的点到一2和1两点的距离之和；ly+i|+ly-5|可理解为

在数轴上，数y的对应的点到-1和5两点的距离之和，

・•・当一2领k1,|x+2|+|x—1|的最小值为3；

当-啜65时,|y+l|+|y-5|的最小值为6,

\》的范围为一2领k1,丁的范围为-琛65,

当x=-2,y=—1时，x+y的值最小，最小值为一3.

故答案为：-3.

20.已知式子|x+l|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10,则x+y的最小值是

答案:T

解：A|x+l|+|.r-2|+|y+3|+|y-4|=10,

.'.-l<x<2,-3<y<4,

x+y的最小值为7,

故答案为：-4.

21.⑴计算：(―2)°+|6—2]—[g]—(—2)3；

⑵先化简’再求值：Ur二1

其中x=—1.

X--4-

答案：(1)9-6;⑵龙2+4；5

解：(1)原式=1+2—6-2+8

=9-6

⑵原式—+£](—

=x(x-2)+2(%+2)

=%?+4.

当x=—1时