2024年人教版中学七年级下册数学期末解答题综合复习题及答案

2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题综合复习题及答案

一、解答题

1.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸

板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长.

2.已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度“和宽度6（单位：米）的取

值范围分别是lOOWaWllO,64<&<75.若某球场的宽与长的比是1：1.5,面积为7350

平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由.

3.如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，

（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（要求列方程组进行解答）

（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌

布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？

4.如图用两个边长为Mem的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸

片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3:2,且面积为

30cm2?请说明理由.

5.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资

产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为

5：3.

（1）求原来正方形场地的周长；

（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

二、解答题

6.已知：AB//CD.点E在CD上，点F,H在AB上，点G在AB,CD之间，连接FG,

EH,GE,ZGFB=NCEH.

（2）如图2,若NGEH=a,F/W平分NAFG,EM平分ZGEC,试问N/W与a之间有怎样的

数量关系（用含a的式子表示NM）?请写出你的猜想，并加以证明.

7.如图，直线PQ//MN,一副直角三角板AABCAD跖中，

ZACB=ZEDF=90°,ZABC=ABAC=45°,NDFE=30°,NDEF=60°.

（1）若ADEF如图1摆放，当瓦＞平分NPEF时，证明：FD平济ZEFM.

图1

（2）若AABC,MJEF如图2摆放时，则NPDE=

图2

（3）若图2中AABC固定，将ADEF沿着AC方向平移，边。R与直线PQ相交于点G,

作ZFGQ和NGE4的角平分线GH、网相交于点”（如图3）,求NGHF的度数.

图3

（4）若图2中ADEF的周长35an,AF=5c%,现将AABC固定，将ADEF沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到ADEN,点ZXE的对应点分别是。、E',请直接写

出四边形DE4D'的周长.

（5）若图2中AD£F固定，（如图4）将AABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线4V首次重合的过程中，当线段2C与A/无尸的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

图4

8.如图，MN//PQ,直线4。与政V、PQ分别交于点A、。，点8在直线尸。上，过点B

作3GLAD,垂足为点G.

（1）如图L求证：ZMAG+ZPBG^9Q°；

（2）若点C在线段上（不与A、D、G重合），连接3C,4G和/P3C的平分线

交于点H请在图2中补全图形，猜想并证明NCBG与的数量关系；

备用图

9.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推

理的基础.

已知：AMWCN,点B为平面内一点，4B_LBC于B.

问题解决：（1）如图L直接写出NA和NC之间的数量关系；

（2）如图2,过点B作BD_L4W于点。，求证：NABD=NC；

（3）如图3,在（2）问的条件下，点、E、F在。/W上，连接BE、BF、CF,BF平分NDBC,

8E平分NABD,若NFCB+ZWCF=180°,ZBFC=3NDBE,则NEBC=_.

10.如图，已知直线A3〃射线CD,ZCEB=100°.P是射线EB上一动点，过点P作

PQ//EC交射线CD于点Q,连接CP.作=交直线AB于点F,CG平分

ZECF.

（1）若点P，F,G都在点E的右侧，求/PCG的度数；

（2）若点P,F,G都在点E的右侧，ZEGC-ZECG=3O°,求NCP。的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使ZEGC:Z£FC=4:3?若存在，求出

NC尸。的度数；若不存在，请说明理由.

三、解答题

（1）如图1,M形5AMe。中，若A3//CE>,NA+NC=50。，则NM=；

（2）如图2,连接“形BAMCD中反。两点，+ZD=150°,ZAMC=a,试探求NA

与NC的数量关系，并说明理由；

（3）如图3,在（2）的条件下，且AC的延长线与3D的延长线有交点，当点M在线段

3。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出NA与NC所有可能的数量关系.

12.阅读下面材料：

小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，A8//COE为之间一点，连接

BE,DE,NB=35。,ZD=37°,求/BED的度数.

B

E

C-----------------

图甲

她是这样做的:

过点E作匹〃A3,

则有NBEF=NB,

因为AB//CD,

所以EF//CD①

所以ZEE。=NO,

所以NBEF+ZFED=NB+ND,

即ZBED=；

L小颖求得/BED的度数为__；

2.上述思路中的①的理由是;

3.请你参考她的思考问题的方法，解决问题：

已知：直线。/色点A3在直线。上，点CO在直线匕上，连接ARBCBE平分NABCDE

平分ZADC,且BE,DE所在的直线交于点E.

（1）如图1,当点8在点A的左侧时，若ZABC=a,ZADC=/3,则/时的度数

为;（用含有口，〃的式子表示）.

图1

（2）如图2,当点8在点A的右侧时，设NABC=a,/AT>C=/?,直接写出的度数

（用含有名方的式子表示）.

13.（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是

通过折纸做的，过程如（图1）.

(。)(c)

图1

图2图3

①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且6〃a,要求保留

折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的一线.

（2）已知，如图3,AB//CD,8E平分/ABC,CF平分/BCD.求证：BE//CF（写出每

步的依据）.

14.课题学习：平行线的"等角转化"功能.

阅读理解：

如图1,已知点A是BC外一点，连接A8,AC,求NBAC+NB+NC的度数.

（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作EDWBC,

NBEAB,NC—2

又ZE4B+NBAC+ADAC=180°

：.zB+ZBAC+NC=180°

解题反思：

从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将N弘C,NB,NC"凑"在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

方法运用：

（2）如图2,已知ABIIED,求NB+NBCD+N。的度数.（提示：过点。作611/18）

深化拓展：

（3）如图3,已知ABIIC。，点C在点。的右侧，NAOC=70。，点B在点4的左侧，

NABC=60。，BE平分NABC,0E平分NAOC,BE,所在的直线交于点E,点E在AB与

CD两条平行线之间，求NBED的度数.

图3

15.如图所示，已知AM/ABN,点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分

别平分Z4BP和分别交射线AM于点C、D,且NCBD=60。

（1）求ZA的度数.

（2）当点P运动时，Z4PB与NAZ汨之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写

出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.

（3）当点P运动到使=时，求NA3c的度数.

四、解答题

16.（1）如图1,N的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,ABIICO,

ZADC=50",ZABC=40",求NAEC的度数;

图3

（2）如图2,ZBAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,ZADC=a°,ZABC=^°,

求NAEC的度数；

（3）如图3,PQJ_MN于点。，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平

ZADP

分NBAC交PQ于点。，请问।的值是否发生变化?若不变，求出其值；若改

Z.?iCn—Z_/inC

变，请说明理由.

17.如图，在.ABC中，AD是高，AE是角平分线，ZB=20°,ZC=60°.

B

(1)求NC4O、NAEC和NE4D的度数.

(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当/3=30。，ZC=60°,贝U

ZEAD=°.

当ZB=50。，NC=60。时，则ZE4£>=°.

当NB=60。，NC=60°时，则ZE4D=°,

当/B=70。，/C=60°时，则ZE4D=

(3)若DB和NC的度数改为用字母a和夕来表示，你能找到/E4D与a和/?之间的关系

吗？请直接写出你发现的结论.

18.如图1,已知线段AB、CD相交于点0,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为

"8字形如图2,NCAB和NBDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相

交于M、N.试解答下列问题：

(1)仔细观察，在图2中有_个以线段AC为边的"8字形"；

(2)在图2中，若NB=96。，ZC=100°,求NP的度数；

(3)在图2中，若设NC=a,NB邛，NCAP=；NCAB,NCDP=；NCDB,试问NP与NC、

NB之间存在着怎样的数量关系(用a、B表示NP)，并说明理由；

(4)如图3,则NA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度数为一.

19.已知MN//GH,在RtABC中，NAC8=90。,NBAC=30。，点A在肱V上，边BC在

GH上,在及ADEF中,ZD尸E=90。,边在直线A3上，ZEDF=45°；

(1)如图1,求/5AN的度数；

(2)如图2,将用△DEf'沿射线54的方向平移，当点尸在"上时，求NAFE度数；

(3)将尸在直线A3上平移，当以A、D、尸为顶点的三角形是直角三角形时，直

接写出NE4N度数.

20.已知，如图1,直线bUi,垂足为A,点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C

不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作点E在直线b上，点D的

下方.

(1)L与b的位置关系是;

(2)如图1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，贝！UCED=°,ZADC=°；

(3)如图2,若CD_LBD于D,作NBCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明：

ZDGF=NDFG；

(4)如图3,若NDBE=NDEB,点C在射线AM上运动，NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点C的运动过程中，探索NN:NBCD的值是否变化，若变化，请说明理由；

若不变化，请直接写出比值.

图1图2图3

【参考答案】

一、解答题

1.正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米,

根据题意得：

取正值，可得，

解析：正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为X厘米，则小长方形的长为2x厘米，即得正方形纸板的边长是2x

厘米，根据题意得：

2x-x-162,

%2=81,

取正值x=9,可得2x=18,

二答：正方形纸板的边长是18厘米.

【点评】

本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式.

2.符合，理由见解析

【分析】

根据宽与长的比是1：1.5,面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出

答案.

【详解】

解：符合，理由如下：

设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5bxb

解析：符合，理由见解析

【分析】

根据宽与长的比是L1.5,面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案.

【详解】

解：符合，理由如下：

设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5bxb=7350,

b=70,或b=-70（舍去）,

即宽为70米，长为1.5x70=105米，

100<105<110,64<70<75,

•••符合国际标准球场的长宽标准.

【点睛】

本题考查算术平方根的意义，列出方程求出长和宽是得出正确答案的前提.

3.⑴长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；

（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.

【详解】

解：

解析：⑴长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可;

（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.

【详解】

解：（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得：

广=3〉

[x+y=2,

尤=1.5

解得:

y=0.5'

长是1.5m,宽是0.5m.

（2）••・正方形的面积为7平方米，

•••正方形的边长是五米，

币<3,

•他不能剪出符合要求的桌布.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解

（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键.

4.不能截得长宽之比为，且面积为cm2的长方形纸片，见解析

【分析】

根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2,计算长方

形的长与宽进行验证即可.

【详解】

解：不能，

因为大正方形纸

解析：不能截得长宽之比为3:2,且面积为30cm2的长方形纸片，见解析

【分析】

根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2,计算长方形的长与宽

进行验证即可.

【详解】

解：不能，

因为大正方形纸片的面积为（如）2+（炳）2=36（cm2）,

所以大正方形的边长为6cm,

设截出的长方形的长为3bcm,宽为2bcm,

则6b2=30,

所以乐百（取正值），

所以3b=3下=屈>底,

所以不能截得长宽之比为3：2,且面积为30cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键.

5.(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为

解析：(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为5am,计算出长方形的长

与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用.

【详解】

解：(1)(m),4x20=80(m),

答：原来正方形场地的周长为80m；

(2)设这个长方形场地宽为3am,则长为5am.

由题意有：3ax5a=300,

解得：a=士血5,

3。表示长度，

/.(7>0,

a=V20,

，这个长方形场地的周长为2(3a+5a)=：16a=16同(m),

-：80=16x5=16x725>16720,

.这些铁栅栏够用.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的

周长.

二、解答题

6.(1)见解析；(2),证明见解析.

【分析】

(1)由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平

行"得解；

(2)过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可.

【详

(y

解析：(1)见解析；(2)NFME=90。-万，证明见解析.

【分析】

(1)由平行线的性质得到NCEH=Z£RB,等量代换得出NGFB=NEHB,即可根据"同位角

相等，两直线平行"得解；

(2)过点M作MQ/A3,过点G作GH/A3,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即

可.

【详解】

(1)证明：ABHCD,

.-.ZCEH=ZEHB,

,ZGFB=ZCEH,

:.Z.GFB=ZEHB,

：.GF//EH；

(Y

(2)解：NFME=90°一一，理由如下：

2

如图2,过点M作过点G作G尸〃AB,

图2

ABI/CD,

.\MQ//CD,

ZAFM=ZFMQ,ZQME=ZMECf

ZFME=ZFMQ+ZQME=ZAFM+AMEC,

同理，ZFGE=ZFGP+ZPGE=ZAFG+^GEC,

可平分ZAFG,EM平分/GEC,

/.ZAFG=2ZAFM,ZGEC=2ZMEC,

:.ZFGE=2ZFME,

由(1)知，GF//EH,

ZFGE+ZGEH=180°,

tZ.GEH=a,

.\ZFGE=180°-a,

:.2ZFME=\S00-a,

ry

:.NFME=90°——.

2

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的

关键.

7.(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性

解析：(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、H作FLIIMN,HRllPQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

(4)根据平移性质可得。2=OF,OD，=EE，=AF=5cm,再结合DE+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当BCIIDE时，②当BCIIEF时，③当BCIIDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在小DEF中，ZEDF=90°,ZDFE=30°,ZDEF=60°,

图1

■，-ED平分NPEF,

：.ZPEF=2NPED=2NDEF=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMFE=1800-ZPEf=180o-120o=60°,

/.ZMFD=NMFE-NDFf=60°-30°=30°,

ZMFD=NDFE,

：.FD平分NEFM；

(2)如图2,过点E作EKWMN,

图2

ZBAC=45°,

/.ZKEA=Z.BAC=45°,

,/PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

/.ZPDE=NDEK=NDEF-NKEA,

又「ZDEF=60°.

：.ZPDE=60°-45o=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作FillMN,HRWPQ,

D

图3

ZLFA=NBAC=45°,ZRHG=NQGH,

FLWMN,HRWPQ,PQIIMN,

：.FLWPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=180°,ZRHF=NHFL=NHFA-ALFA,

ZFGQ和NGFA的角平分线GH、FH相交于点H,

:.NQGH=gzFGQ,ZHM=yZGFA,

■：ZDFE=30°,

：.ZGM=180°-ZDFE=150°,

：.ZHFA=gzGFA=75°,

：.ZRHF=NHFL=NHFA-NL£4=75°-45°=30°,

ZGFL=NGFA-乙Z.M=150°-45°=105°,

:.NRHG=NQGH=；NFGQ=；(180°-105°)=37.5°,

ZGHF=ZRHG+NRHF=37.5°+30°=67.5°；

(4)如图4,1,将AOEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△O'E'A,

图4

D'A=DF,DD,=EE,=AF=5cm,

-：DE+EF+DF=35cm,

,DE+EF+D'A+AF+OD'=35+10=45(cm),

即四边形OEA。，的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。,

分三种情况：

/.3t=30,

解得：t=10；

BCIIEF时，如图6,

ZBAE=4B=45°,

ZBAM=NBAE+AEA/W=45°+45°=90°,

3t=90,

解得：t=30；

BCIIOF时，如图7,延长BC交MN于K,延长OF交MN于R,

图7

ZDRM=ZEAM+AOFE=45°+30°=75°,

/.ZBKA=NDRM=75°,

■：ZACK^180°-ZACB=90°,

：.ZCAK=90°-NBKA=15°,

ZCAE=180°-ZEAM-NCAK=180o-45--15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与ADEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

8.（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，.

【分析】

（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；

（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解.

【详解】

（1）证明：

解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C在AG上时，2ZAHB-NCBG=90。；

当点C在。G上时，2ZAHB+NCBG=9。。.

【分析】

（1）过点G作GE〃初V,根据平行线的性质即可求解；

（2）分两种情况：当点C在AG上，当点C在。G上，再过点H作印7/MV即可求解.

【详解】

（1）证明：如图，过点、G作GE/IMN,

“__________A/

M---------y—N

P

'DBQ

/.ZMAG=ZAGE,

MN//PQ,

/.GE//PQ.

/./PBG=/BGE.

BG.LAD,

ZAGS=90。，

/.ZMAG+APBG=AAGE+ABGE=ZAGB=90°.

(2)补全图形如图2、图3,

猜想：2ZAHB—NCBG=90。或2ZAHB+NCBG=90。.

证明：过点、H作HF//MN.

"D~B-Q

Z1=ZAHF.

MN//PQ,

HFHPQ

Z2=ZBHF,

ZAHB=ZAHF+ZBHF=Z1+N2.

VAH平分NM4G,

/.ZM4G=24

如图3,当点。在AG上时，

vBH平分NPBC,

ZPBC=ZPBG-^ZCBG=2Z2,

MN//PQ,

/.ZMAG=ZGDB,

2ZAHB=2Z1+2Z2=ZMAG+NPBG+ZCBG

=ZGDB+ZPBG+ZCBG

=90°+ZCBG

即2ZAHB—/CBG=900.

如图2,当点。在0G上时，

BH平分NPBC,

・•.ZPBC=ZPBG-ZCBG=2Z2.

・••2ZAHB=2Z1+2N2=ZMAG+ZPBG-ZCBG=90°-ZCBG.

即2ZAHB+ZCBG=90°.

【点睛】

本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出

平行线，找出角与角之间的数量关系.

9.（1）；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIO/W,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设4M与8C交于点0,rAMIIC7V,

/.ZC=NAOB,

,/AB±BC,

/.ZABC=90°f

：.ZA+N>408=90°,

ZA+AC=90°,

故答案为：NA+NC=90。；

（2）证明：如图2,过点8作BGIIDM,

图2

BD±AM,

DB_LBG,

/.ZDBG=90°,

/.ZABD+NABG=90\

•/AB±BC,

：.ZCBG+NZBG=90。，

/.ZABD=NCBG,

AMWCN,

/.ZC=ZCBG,

/.ZABD=^C；

(3)如图3,过点B作BGIIDM,

EA

DM

N--------—

图3

■:BF平分NDBC,BE平分NAB。，

ZDBF=NCBF,ZDBE=NABE,

由(2)知NABD=ZCBG,

/.NABF=NGBF,

设NDBE=a,ZABF=6,

则NABE=a,ZABD=2a=NCBG,

ZGBF=NAFB=6,

ZBFC=3ZDBE=3a,

.ZAFC—3a+6,

■：ZAFC+NA/CF=180",ZFCB+NNCF=180°,

/.ZFCB=ZAFC=3a+6,

ABCF中，由NCBF+NBFC+NBCF=180°得：2a+6+3a+3a+6=180。，

AB±BC,

：.6+6+2a=90°,

：.a=15",

/.ZABE=15°,

：.ZEBC=NABE+NABC=15°+90°=105°.

故答案为：105。.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

10.(1)40°；(2)65°；(3)存在，56°或20°

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NG

解析：(1)40°；(2)65°；(3)存在，56。或20。

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NGC尸=25。，再根据

PQIICE,即可得出NCPQ=NECP=65°；

(3)设NEGC=4x,ZEFC=3x,则NGCF=4x-3x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)•••ZCEB=100°,ABWCD,

：.ZECQ=80°,

•••ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

：.ZPCG=ZPCF+NFCG=；NQCf+yZFCE=；NECQ=40°；

(2)ABIICD

：.ZQCG=NEGC,ZQCG+ZECG=NECQ=80°,

：.ZEGC+NECG=80°,

又「ZEGC-ZECG=30°,

ZEGC=55°,ZECG=25°,

，NECG=NGCF=25°,NPCF=NPCQ二(80°-50°)=15。,

PQIICE,

：.ZCPQ=NECP=65°；

(3)设NEGC=4x,NEFC=3x,则NGCF=NFCD=4x-3x=x,

①当点G、F在点E的右侧时，

/.x+x-i—x-i—x=80°

22?

解得x=16。,

则NECG=ZGCF=x,

■：ZCGF=180°-4x,ZGCQ=80°+x,

180°-4x=80°+x,

解得x=20。,

ZFCQ=NECF+NECQ=40°+80°=120°,

ZPCQ=WNFCQ=60°,

：.ZCPQ=NECP=80°-60°=20°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，

内错角相等.

三、解答题

11.（1）50°；（2）NA+NC=3（r+a,理由见解析；（3）NA-NDCM=3（r+a或

30°-a

【分析】

（1）过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长BA,DC交于E,

解析：（1）50°；（2）NA+NC=30°+a,理由见解析；（3）NA-NDCM=30°+a或30°-a

【分析】

（1）过M作MNWAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长BA,OC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

（3）分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：（1）过M作MNWAB,

图1

ABWCD,

：.ABWMNWCD,

：.Z1=ZA,Z2=ZC,

：.ZAMC=Z1+Z2=ZA+NC=50°；

故答案为：50。；

(2)ZA+NC=30°+a,

延长R4,0c交于E,

图2

ze+zD=150",

ZE=30°,

---ZBA/W+NDC/W=360°-(ZEAM+Z.ECM)=360°-(360°-Z£-ZM)=30°+a；

即NA+NC=30°+a；

(3)①如下图所示：

延长BA、DC使之相交于点E,延长MC与BA的延长线相交于点F,

ZB+Z0=150°,ZAMC=a,：.ZE=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Zl=300+Z2

Z2=Z3+a

Zl=30°+Z3+a

Z1-Z3=30°+a

即：NA-NC=30°+a.

②如图所示,210-Z4=(180°-ZDCM)+a,即N4NOCM=3(T-a.

BD

综上所述，ZA-乙DCM=30°+a或30。-/

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川AB,利用平行

线的性质(两直线平行内错角相等)将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得NM的度数.

12.；2.平行于同一条直线的两条直线平行；3.(1)；(2).

【分析】

1、根据角度和计算得到答案；

2、根据平行线的推论解答；

3、(1)根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；

(2)根据B

解析：1.72；2.平行于同一条直线的两条直线平行；3.(1)+(2)

180--a+-B.

22

【分析】

1、根据角度和计算得到答案；

2、根据平行线的推论解答；

3、(1)根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；

(2)根据BE平分NABCOE平分NADC,求出==过点E作

EFWAB,根据平行线的性质求出NZDEF=180°-ZCDE=180°-1,再利用

周角求出答案.

【详解】

1、过点E作EP//AB,

则有ZBE/=4,

因为AB〃cr),

所以£F//CD①

所以/的=NO,

所以NBEF+ZFED=ZB+ZD,

即NBED=72;

故答案为：72;

2、过点E作所〃A3,

则有NBEF=NB,

因为AB//CD,

所以EFWCD(平行于同一条直线的两条直线平行)，

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；

3、(1)；BE平分ZA3CDE平分ZADC,

ZABE=-ZABC=^a,ZCDE=-ZADC=^/3,

过点E作EFWAB,由1可得NBED=ZBEF+ZFED=ZABE+ZCDE,

11c

/.NBED=~^a+3。,

故答案为：—«+—;

图1

(2)BE平分ZABC,DE平分ZADC,

：.ZABE=-ZABC=-a,ZCDE=-ZADC=-/3,

2222

过点E作EFIIAB,则NABE=NBEF=-a,

2

-：ABI/CD,

：.EFWCD,

ZCDE+ZDEF=180°,

：.ZD£F=180°-NCDE=180°-L6，

2

/.ABED=360°-ZDEF-ZBEF=360°-(180°-1a=180一;a+

此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推

论，正确引出辅助线是解题的关键.

13.（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂

直，从而得到直线；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线.

（2）先根据

解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过P点折纸，使痕迹垂直直线“，然后过P点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而

得到直线匕；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线〃的垂线.

（2）先根据平行线的性质得到/ABC=/BCD,再利用角平分线的定义得到Z2=-3,

然后根据平行线的判定得到结论.

【详解】

（1）解：①如图2所示：

图2

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线”的垂线.

故答案为垂；

（2）证明：BE平分NA3C,CF平分NBCD（已知），

=Z3=Z3（角平分线的定义），

AB//CD（已知）,

:.ZABC=ZBCD（两直线平行，内错角相等），

.-.2Z2=2Z3（等量代换），

.-.Z2=Z3（等式性质），

：.BE//CF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与

判定.

14.（1）NDAC；（2）360°；（3）65°

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CFIIAB根据平行线的性质得到ND=NFCD,ZB=NBCF,然后根据

已知条件即可得到结论；

解析：（l）NEMC；（2）360°；（3）65°

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CFWAB根据平行线的性质得到ND=NFCD,ZB=ZBCF,然后根据已知条件即

可得到结论；

（3）过点E作EFIIA8,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度数.

【详解】

解：（1）过点A作EDIIBC,

/.ZB=ZEAB,ZC=ZDCA,

又ZEAB+ABAC+ADAC=180°,

：.ZB+ZBAC+NC=180".

故答案为：NDAC；

（2）过C作CFWAB,

图2

ABWDE,

：.CFWDE,

：.ZD-Z.FCD,

■：CFWAB,

ZB=ZBCF,

■：ZBCF+NBCD+NDCF=360°,

/.ZB+ZBCD+N0=360°；

(3)如图3,过点E作EFWAB,

■：ABWCD,

：.ABWCDIIEF,

：.ZABE=NBEF,ZCDE=ZDEF,

■：BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=60°,ZADC=70°,

：.ZABE=^AABC=30°,ZCOE=；NZ»OC=35°,

/.ZBED=ZBEF+ZOEF=30°+35°=65°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行

推算.

15.（1）；（2）不变化，，理由见解析；（3）

【分析】

（1）结合题意，根据角平分线的性质，得；再根据平行线的性质计算，即可得

到答案；

（2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解

解析：（1）ZA=60;（2）不变化，ZAPB=2ZADB,理由见解析；（3）ZABC=30

【分析】

（1）结合题意，根据角平分线的性质，得ZABN；再根据平行线的性质计算，即可得到

答案；

（2）根据平行线的性质，得ZAPB=NPBN,ZADB=ZDBN；结合角平分线性质，得

ZAPB=2ZADB,即可完成求解；

（3）根据平行线的性质，得ZACB=NCBN；结合=推导得

ZABC=NDBN；再结合（1）的结论计算，即可得到答案.

【详解】

（1）BC,BD分别评分Z4BP和

ZCBP=-ZABP,ZDBP=-ZPBN,

22

ZABN=2NCBD

丈：ZCBD=60,

NABN=120

-：AM//BN,

ZA+ZABN=180

:Z.A—60;

（2）.「AM//BN,

：.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN

又•「BD平分/PBN

：./PBN=2ZDBN,

ZAPB=2ZADB；

N4PB与NADS之间的数量关系保持不变；

（3）ADIIBN,

：.ZACB=NCBN

又ZACB=ZABD,

：.ZCBN=ZABD,

■：ZABC+ZCBN=ZABD+ZDBN

：.ZABCZDBN

由（1）可得NCB£>=60,ZABN=120

NABC=gx（120-60）=30.

【点睛】

本题考查了角平分线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质，

从而完成求解.

四、解答题

16.(1)ZE=45°；(2)NE=；(3)不变化，

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

NB+NEAB=NE+NECB,由角平分线的性质，可得NECD=NECB=N

解析：(1)NE=45°；(2)NE=2二区；(3)不变化，-

22

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,NB+NEAB=NE+NECB,由角平

分线的性质，可得NECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,则可得NE=-

222

(ND+NB),继而求得答案；

(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质，可得NBCD=NB+NBAD+ND,又

由角平分线的性质，即可求得答案.

(3)由三角形内角和定理，可得

ZADP+90°=ZACB+ADACZADP+ZDFO=ZABC+Z.OEB,利用角平分线的性质与三

角形的外角的性质可得答案.

【详解】

解：(1)CE平分NBCD,AE平分NBAD

11

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

---ZD+NECD=ZE+NEAD,ZB+NEAB=ZE+NECB,

ZD+NECD+ZB+NEAB=ZE+NEAD+ZE+NECB

/.ZD+NB=2ZE,

ZE=-(ZD+NB)，

2

,/ZADC=50°,ZABC=40°,

/.ZAEC=-x(50°+40°)=45°；

2

图1

(2)延长BC交AD于点F,

ZBFD=ZB+ZBAD,

/.ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+ZBAD+ZD,

CE平分NBCD,AE平分NBAD

11

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZE+ZECB=ZB+ZEAB,

1

ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+ZBAE——NBCD

2

1,、

=ZB+ZBAE——(ZB+ZBAD+ZD)

2

1.、

=-(ZB-ZD),

2

ZADC=a°,NABOB。，

即NAEC=勺^.

图2

ZADPZADP1

°)—/[BQ的值不发生变化'''\ZACB-ZABC\~2'

理由如下：

如图，记A3与P。交于E,AD与CB交于尸，

PQ1MN,

NDOC=NBOE=90。,

ZADP+90。=ZACB+/ZMC①，

ZADP+ZDFO=ZABC+ZOEB②,

①一②得：90°-ZDFO=ZACB-ZABC+ZDAC-ZOEB,

/.90°-ZDFO+ZOEB-ZDAC=ZACB-ZABC,

ZADP=90°-ZDFO,ZOEB-ZE