2024年中考数学压轴题冲刺提升-圆中证明及存在性问题（含解析）

专题07圆中证明及存在性问题

题型一：全3及存在桂向黑

IU中证明及

存在性问题题型二：切疑及存在性问曷

意型三：相似与存在性问号

典例剖析

【例1】（2024•河南南阳一模）如图，己知。/的半径为4,或是圆的直径，点夕是。/的切线"上

一个动点，连接46交。力于点〃袋EF〃AB,连接母AF.

（1）求证：aAB叱丛ABF；

（2）当/CAB=时，四边形破为菱形;

（3）当/庐时，四边形户为正方形.

【分析】（1）由EF〃AB,得NEE4;NFAB,ZCAB=ZAEF,又/AE氏/AFE,得：NBAC=NBAF,又AFAB,

A（=AF,证得△/比2△/班（2）连接bG依据/外F为菱形，确定出N08的度数；（3）由四边形/侬'是

正方形，得4户应力信4啦.

【解析】解：（1）'：EF//AB,

：.AEFA^AFAB,ZCAB=AAEF,

'：AE=AF,

:./AEF=/AFE,：.ABAC=ZBAF,

又AB=AB,A(=AF,:.丛AB8XABF(SAS)；

(2)如图，连接我C,

•.•四边形42破是菱形，

:.A±EF=FD=AD,

"：CE=2AE,N(7法90°,

.•./瓦产30°,Z627^60°,

,JEF//AB,

：.ZAE/^ZCAB=G0°,

故答案为：60°；

(3)由四边形力侬'是正方形，得A炉戊4俏4垃.

【变式1T】(2024•开封二模)如图，在△/劭中，AB=AD,46是。。的直径，DA、阳分别交。。于

点£、C,连接及7,OE,OC.

(1)当/胡。是锐角时，求证：△①隹△皈'；

(2)填空:

①若力6=2,则△/如的最大面积为；

②当的与。。相切时，若AB=应,则的长为.

【答案】（1）见解析；（2）工；1.

2

【解析】解：（1）连接力G

•.U是。。的直径，J.ACLBD,

U：AD=AB,:・/BAC=/DAC,:・BC=EC,

又,：0方OE,o(=oa

・•・△皈丝△睨(SSS),

(2)@'：AB=2,

：.OA=1,

设△/必的边0A上的高为x,

**•SXAOE=—OAXh

2

==h,

2

要使加AOE最大，需A最大，

点£在。。上，力最大是半径,

即：力最大=1

：.S"OE最大为:—;

2

②如图所示，

当物与。。相切时，则/〃46=90°,

■:AAAB=日

；.N4即=45°,

：/夕是直径，

:./ADB=9Q°,

：.AC=BC=—AB=1.

2

[例2](2024•济源一模)如图，XABC中，AB=AC,以AB为直径的0。与BC相交于点〃与G4

的延长线相交于点E,过点D作DFLAC于点F.

(1)试说明DF是©0的切线；

(2)①当/用。时，四边形力眦为矩形；

②当tanC=时，AC=3AE.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)证明：连接划,

：.ZB=ZODB,

•：AFAC,

・•・/斤NC,

：.AODB^AC,

：.OD//AC,

'：DF±AC,

：.ODLDF,点、D在©0上,

.•.加'是。。的切线；

(2)45°,理由如下：

由四边形/眦为矩形，得NBOD=90°,

：.ZB=45°,

：.ZC=ZB=45°,

故答案为：45°；

(3)—,理由如下，

2

连接班1,：48是直径，.•.//吩90°,

'：AB=AC,A(=3AE,:.AB=3AE,dAE,

:.B^二A百一A才=84片，

即B样2a,AE,

cBE2yf2CEV2

在鹿△龙。中，tQnC^---=-------=---

CE4CE2

故答案为：—

2

【变式2-1](2024•安阳一模)如图，在△/8C中，AB=A(=^L,以为直径的。。交比■于点〃交4c

于点£,点户是26的延长线上一点，且/如伊!/4连接DE,OE.

2

(1)求证：如是。。的切线.

(2)填空：①当/尸的度数为时，四边形侬石是菱形；

②当/掰华45。时，应的面积为.

【答案】(1)见解析；(2)30；272-2.

【解析】解：(1)连接切,

D

1

,：0土OD,/PDB=—NA,

2

：.40DB=/ABD=9Q°--Z^=90°—乙PDB,

2

：.ZODB+ZPDB=^0°,

：.ZODP=90°,

「勿是。。的半径，

如是。。的切线.

(2)①30。，理由如下：

NR30°,则N8内＞=60°,

.•.△6勿是等边三角形，

：.ZADP-30°,N4=60°,

△/必是等边三角形，即//循60°,

：.ZEOD=6Q°,

.•.△a总是等边三角形，

OB=BADE=OE,

即四边形碎是菱形；

②连接龙，AD,如上图，

为直径，

：.ZADB=^Q°,ADLBC,ZABB=90°,

:AB=AC,：.O为BC中点,

SADC所—SABCE，

2

•・•/胡华45°,:.A样BE,△/庞是等腰直角三角形,

'：AB=A(=^,：.AE=BF=2y[l,小4-2应，

SAD"—SABCE,

2

=1x1^.CE

22

=1X1X2A/2X（4-2⑸

22

=20-2.

[例3]（2024•洛阳三模）如图，AB是。。的直径，点C是。。上一点，AD和过点C的切线相互

垂直，垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点P.

（1）求证：Ad-AD,AB.

（2）点E是/"S所对的弧上的一个动点（不包括A,B两点），连接EC交直径AB于点F,Z

加R64°.

①当/瓦庐°时，△的为等腰三角形；

②当NECB=。时，四边形/侬为矩形.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）连接",

•切是切线,

：.OCLCD,

'：ADLCD,

OC//AD,

：.ZACO^ZCAD,

,：0归OC,

：.NACO=ZCAO,

：.ZCAD^ZCAO,

：46为直径，

小/氏90°,

：./\ACD^/\ABC,

.ADAC

"AC~AB'

即：Ad=AD•AB.

(2)①45；②58,理由如下：

①物664°,

片26°,ZCAB=ZDAC=32°,

:/夕下是的外角，

:./CFP>32°,即

由/尸C庐NG4於32°,知Z.FCP>2PCB^2P,

由△也?为等腰三角形，得POPF,

:.ACFP^II°,

ZAO^45°,N£CS=90°—//上45°,

故答案为：45；

②由力侬是矩形，得尸与。重合，

:./ECB^9Q°-ZACO=90°-32°=58°,

故答案为：58.

【变式3-1](2024•洛阳二模)如图，4ABC内接于。。，过点B的切线BE〃AC,点P是优弧/C上

一动点(不与A,C重合)，连接PA,PB,PC,PB交AC千D.

(1)求证：PB斗分2APC；

(2)当止3,以=4时，求AB的长.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：连接0B,

则OBLBE,

•:BE"AC,

：.OBLAC,

・,・弧/庐弧式；

:./AP*/BPC,

:・PB平分/APC、

(2)由(1)知，/APF/BPC,

ABAOABPC,

：.ABAOAAPB,

■:/AB庐/PBA,

^△ABD^XPBA,

.ABBD

・・访一耘’

即空=，

4AB

庐2,即的长为2.

压轴精练

1.(2024•河师大附中模拟)如图，在上%中，NZ叱90°,以力。为直径的。。与加交于点〃

过〃作。。的切线交CB于E.

(1)求证：EB^EC\

(2)若以点0、D、E、。为顶点的四边形是正方形，试推断△力笈的形态，并说明理由.

【解析】解：

(1)证明：连接切,

・・・欧为。。的切线，

・・,然是。。的切线，

：.DE^CE,Z6^=90°,

・・・NM+N瓦庐90°,

OQOD,

：.ZOAJ^ZODA,

,.・/处分/庐90°,

：.ZB=ZEDB9

:・D±BE,

：.EB=EC；

(2)△/回是等腰直角三角形，理由如下:

•・,四边形如必是正方形，

：.ZDEB=90°，

由（1）知CE-BE,

，△方劭是等腰直角三角形，

/斤45°,

，//=45°,

即AC=BC,

XVZACB=9Q°,

.•.△/8C是等腰直角三角形.

2.（2024•焦作二模）如图，以心△46c的直角边46为直径作。。与斜边/C交于点。，£为6c边的中

点，连接庞，OE.

（1）求证：应是。。的切线.

（2）填空：①当斤______一时，四边形/在是平行四边形；②连接勿，在①的条件下探究四边形

如劭密的形态为________.

【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.

【解n析】（1）连接OD,BD,

,."6为直径，

:£为死的中点，

:.D辰B5CE,

•：0庐OB,0序OE,

：./\ODE^^OBE,

・・・N〃庐N位庐90°,

・•・ODLDE,

即"是。。的切线.

(2)①若四边形加切是平行四边形，则加〃Z8,

・•・/归NCDE,

■:/CD序/C,

：.乙4二NC,

VZABC=90°,

：.ZA=45°；

②由/斤45。，得N42345。，即N”户90。，

9：ZEBO=ZOD^90°,

工四边形施切是矩形，

•・•四边形2〃劭是平行四边形，

：.ZE0B=ZA=4：5o,

・・・/£好/庞庐45°,

JOB=BE,

・・・四边形OBED是正方形.

3.(2024•周口二模)如图，在仇△/阿中，N庐90。，/庐6,CD平分/ACB交AB于点、D,点。在

上，以。。为半径的圆经过点〃而切。。于反

(1)求证：AD^AE.

(2)填空：

①当NZ®时，四边形2戊应是正方形；

②当8a时，四边形40是菱形.

E

C

ADB

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：连接0E,

,:CD*分乙ACB,

：.AOCD=ZBCD,

•IOOOD,

：.AOCD=AODC,

：・/ODO/BCD,

：.OD//BC,

,.・/户90°,

ZADO=90°,

・・・Z〃是圆。的切线，

・・・2£是圆。的切线，

：.AD=AE

(2)①45；②26，理由如下:

①是正方形，

・・・OFAD,

：.ZOAD=45°,

・・・/4阴45°；

②四边形4DCE为菱形,

:・A庐CD,/CAA/ACD,

■:/BCW/ACD,

:./CDB4S,N8O300,

・•・CD=2BD,

•.I庐6,

二盼2,BC=2y/3,

故答案为：45；2A/3.

4.(2024•信阳一模)如图，Z8是。。的弦，〃为半径刃的中点，过〃作6/a以交弦”于点£,交

。。于点尸，AC序CB

(1)求证：勿是。。的切线；

(2)连接/尸，BF,求//郎的度数.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)证明：连结OB,

,/C序CB,

:./CB&/CEB,

U：CDLOA,

：.ZDAE+ZAED=^°,

■:/CE氏/AED,

：.ZDAE+ZCB^0°,

OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZOBA+ZCB^90°,即/晒+90°,

.•.6。是。。的切线；

（2）解：连结阳OF交AB于H,（见上图）

'：DFVOA,AD=OD,

：.FA=FO,

'：OP=OA,

...△的尸为等边三角形，

；.//帕60°,

：.ZABF^~ZAO^O°.

2

5.（2024•南阳毕业测试）如图，在△/位中，AC=CE,。。经过点4C,且与边/£,位分别交于点

D,凡点方是劣弧/C上的一点，且弧除弧处；连接4?,BC,CD.

求证：匡△力6a

【解析】证明：连接明

:./CAE=NE,

•.•四边形477内接于

：.ZCAE+ZCFD=180°,

‘：/CFm/DF串\8Q°,

：.ACAE=ADFE,

：.ZDFE=ZE,

:.DF=DE,

:弧8年弧陇

：.BC=DF,

：.BC=DE,

:四边形4?"内接于0。，

同理可得：/B=/CDE,

在如和△45C中，

'JAOCE,AABOACDE,BODE,

：./\CDE^/\ABC.

6.(2024•濮阳二模)如图，是半圆。的直径，点尸是半圆上不与点48重合的动点，PC//AB,点

〃是8中点.

(1)求证：四边形侬了是平行四边形；

(2)填空：

①当时，四边形是菱形；

②连接即，当NABP=______时，fC是。。的切线.

【答案】(1)见解析；(2)120；45

【解析】(1)证明：：先■〃明

：.ZPCM=ZOAM,ZCPM=ZAOM.

:点〃是郎的中点,

：.OM=PM,

:.△CPgAAOM,

：.PC=OA.

'：OA=OB,

：.PC=OB.

'：PC//AB,

...四边形侬P是平行四边形.

（2）解:①•.•四边形40%是菱形，

：.0A=PA,

"：0A=0P,

：.OA=OP=PA,

，△力8是等边三角形，

ZA=ZA0P=6Q°,

:./B0仁120°；

②：先是。。的切线，

C.OPLPC,N（W=90°,

'：PC//AB,

：.ZBOP^90°,

'：0P=0B,

:./ABP=/OPB=45：

7.（2024•南阳模拟）如图，46为。。的直径，尸为弦4c的中点，连接冲并延长交弧/C于点。，过

点〃作。。的切线，交胡的延长线于点£.

（1）求证：AC//DE-,

（2）连接/久CD、OC.填空

①当//。的度数为时，四边形为菱形；②当力=/£=2时，四边形/侬的面积为.

【答案】（1）见解析；（2）30；273.

【解析】（1）证明：•.•尸为弦/C的中点,

：.AF=CF,⑺过圆心0

：.FOLAC,

即/板=90°,

:龙是。。切线,

・•・ODIDE

即/功390°,

：.DE//AC.

(2)①当N而。=30°时，四边形4。切是菱形，理由如下:

连接⑦ADOC,

'：ZOAC=30°,OF工AC

：.NW60°

,:AO=DO,ZAOF=QQ°

•••△/①是等边三角形

■:AFLDO

：.DF=FO,AF=CF,

・・・四边形2067?是平行四边形

'：AO=CO

，四边形2次》是菱形.

②连接CD,

AC//DE,OA=A^2,：.OD=2OF,DE=2AF

'：AC=2AF,：.DE=AC,旦DE〃AC

・・・四边形4。应是平行四边形

'：OA=AE=OD=2

：.OF=DF=1,OE=4

在.Rt丛ODE中,由勾股定理得：DE=26,

二・S四边形ACDE=DE乂DF

=273XI

答案为：2后.

8.(2024•商丘二模)如图，在放中，ZBAC=90°，ZC=30°以边上ZC上一点。为圆心,

物为半径作。。，。。恰好经过边8c的中点〃并与边/C相交于另一点汽

(1)求证：物是。。的切线.

(2)若AB=^,£是半圆/前上一动点，连接/£,AD,DE.

填空:

①当弧/£的长度是.时，四边形/叱是菱形;

②当弧/£的长度是.,时，△/庞是直角三角形.

2»71

一；一成JT・

33dl

ZC=30°,

：.AB=-BC,

2

是斜边8c的中点,

：.BD=-BC,

2

：.AB=BD,

：./BAD=ABDA,

•：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.Z0DB=ZBA0=90o,

即ODLBC,

・・・切是。。的切线.

(2)①若四边形/皿应是菱形，连接应;

则AB//DE,

•・•/为华90°,

：.DELAC,

得：AD=BD=AB=CD=-BC=,

2

・・・△/劭是等边三角形，OD=\,

：.ZADB=&0°,

♦：/CDE=60。,

：.ZADE=180°-ZADB-ZCDE=Q0o,

：.ZAOE=2ZADE=120°,

・••弧/£的长度为：1Z2d1二空；

1803

故答案为：—；

3

②・・3〃为弦(不是直径)，

・•・//瓦阜90°,

(7)若N/加=90°,则点£与点分重合，弧2£的长度为：180"1=孙

180

（77）若/DAE=90°,则应是直径，贝4应=2/49吐60。,

60%xl1

弧2£的长度为:----=—兀；

180----3

故答案为：！〃或".

3

9.（2024•开封二模）如图，在出中，NACB=90°,以点/为圆心，4C为半径，作。4交AB

于点〃交。的延长线于点£,过点£作/6的平行线交。/于点凡连接"；BF,DF.

（1）求证：△AB&AABF；

（2）填空：

①当/CAB=。时，四边形"叱为菱形；

②在①的条件下，BC=c勿时，四边形力〃殛的面积是加.

【答案】（1）见解析；（2）①60；②6.

【解析】（1）证明：•.•用〃/昆

：.4E=/CAB,NEFA=/FAB,

"：AE=AF,

：.ZE=ZEFA,

：.ZFAB=ZCAB,

又：/4。，AB=AB,

:.XAB悭XABF；

（2）①当/。8=60°时，四边形/母F为菱形.

由/窃8=60°,得/用。=/必尸=60°,

：.EF=AD=AE=DF,

...四边形/叱是菱形.

②：四边形/窈9是菱形，NAEF=NCAB=60°,

：.—xAE2=6y/3,

2

：.AE=2y/3,

：.AO2y/3，

：.Bl=y/3A(=6.

10.(2024•名校模考)如图，在放△/8C中，//四=90°,以直角边况为直径作O。，交AB于点、D,

£为AC的中点，连接班：

(1)求证：应为。。的切线；

(2)已知比’=4.填空：

①当DE=时，四边形切方为正方形；

②当DE=时，勿为等边三角形.

【答案】(1)见解析；(2)2；2百.

【解