复数-2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考）解析版

备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

复数

一、考向解读

考向：复数是以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小。考查

代数运算的同时，主要涉及考查的概念有：复数的代数形式、复数的模、复数的几何意

义等。

考点：复数的四则运算、复数的模、共辗复数、复数的代数形式、复数的几何意义。

导师建议：复数在高考中考查的比较基础，化简能力和计算能力是重中之重！特别是化

简中移项、多项式的运算！

二、知识点汇总

1.复数的概念

（1）虚数单位，：①『=—1;②实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、

乘运算律仍成立.

（2）复数的定义

形如。+初（。，b£R）的数叫复数，。叫复数的实部，6叫复数的虚部.

（3）复数的分类

对于复数。+初（a,bGR）,当且仅当6=0时，复数。+初（。，是实数。；当b

和时，复数。+初（。，b£R）叫虚数；当。=0且6和时，z=叫纯虚数.

（4）复数的相等

a+bi=c+dia=c,b=d,（a,b,c,de）

2.复数的点表示

复数a+bi（a,bGR）可用点Z（a,。）表示，这个建立了直角坐标系表示复数的平面叫

复平面，》轴叫实轴，V轴除去原点叫虚轴，实轴上点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.

3.复数z=a+bz'的模（或绝对值）

\z\=\a+bi\=y/a^.

4.复数的四则运算法则

⑴（。+初）+（。+力）=（a+c）+（b-hd）i；

(2)(。+bi)一(c+di)=(Q—c)+(人一d)i；

(3)(^+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

ac+bdbe-ad

(4)(〃+bi)+(c+di)=c2+d2+c2+d2z(c+diw0).

【常用结论】

1.对于复数z=a+bi,它的共辆复数为2=a—btz-z=(a+bi)(a—bi)=a2+b2

三、题型专项训练

①复数的实部与虚部

1.已知i-z=5—2i,则z的虚部是（）.

A.5B.-5iC.-5D.-1

【答案】C

5-2i一“5-2i）

【详解】z=-=；「=-2-5i,虚部是一5.故选:C.

1i-（-i）

2.已知复数z满足（l-i）z=2-i,则复数z的虚部为（）

【答案】A

(2-i)(l+i)_2+2i-i-i2_31.

【详解】由（一）z=2-i可得z-三------------------------------1--1

(l-i)(l+i)1-i222

所以复数z的虚部为［.故选：A

3.已知复数z满足z（l-i）=i2°23（i是虚数单位），则z的虚部是（）

A1-1"1・n1・

A.—B.—C.—iD.—i

2222

【答案】A

【详解】因为i2023=15。"4+3=«4rxi3=-"

所以z（—）=吁J，故=="所以z的虚部为-;.

故选：A.

4.已知复数z=l-i,则可二的实部为()

z*12+2z

A.—B.---C.-D.—

10105

【答案】A

【详解】解：因为z=l-i,

所以z?+2z=(l-i)?+2(l-i)=2-4i,

〜，112+4i2+4i11.

Z7'^Z2+2Z2-4i(2-4i)(2+4i)20105

11

所以干■的实部为故选：A.

z+2z10

5.若i为虚数单位，复数z满足z(l+i)=|3+4i|-i,则z的实部为().

A.-3B.3C.-2D.2

【答案】D

【详解】z(l+i)=|3+4i|-i=V32+42-i=5-i,

5-i(5-4-6i

则2=厂=>°<=丁=2-笈,则z的实部为2.故选：D.

②共期复数

6.已知复数z满足z(l+i)=l,贝()

A.-B.克(

D.72

42

【答案】C

解法二:先求目，利用zl=|z「求解.

(拓展：求复数的模时，可直接根据复数的模的公式和性质由=回，归|=，=

•Z,|4旬二闵忆|,

3=」)进行计算)

11—1—

【详解】解法一：由z(l+i)=l得z=W己(1-i),所以z=(l+i),因此z.z=

-2,

解法二:因为z(l+i)=l,所以|z(l+i)|=l,即典z|=l,所以归=白，故Z.5=|z|2=(，故选:C.

2

7.复数z满足：z+—7=2Z,Z=()

1B1.21.

A-11—ic.-------1iD

-1155155-FT

【答案】A

【详解】解：设2=〃+历M,)£R,则玄=。一历，

2+i1

由zH——--=2z得a+历+—―7=a+历+=2（tz-Z7i）,

2-i2-1（2-i）（2+i）55

2。2

ClH——2。a=一

:，解得，5

b+-=-2bb=~—

515

21

•.z=---i.故选：A.

8.已知i是虚数单位，复数(1-2讲的共软复数的虚部为()

A.4iB.-3C.4D.-4

【答案】C

【详解】（l-2i）2=l-4i+4i2=l-4-4i=-3-4i,

故复数(1-2讲的共朝复数为-3+4i,故共朝复数的虚部为4.故选：C

9.若复数z满足(l+3i)z=2+4i(其中i是虚数单位)，复数z的共辗复数为彳，则同=

B.述

C.72D.2

4

【答案】C

【详解】因为复数，满足d+3i)z=2+4i,则z=康生，

(1+31)(1+31)(1+31)55

所以复数Z的共朝复数为彳=:一5,贝小|=j(.2+(_$2=0,故选：C.

③复数的分类

10.若黑(aeR)是纯虚数，贝()

A.-1B.1C.-9D.9

【答案】A

a+3i（a+3i）（3—i）3Q+3（9—a）.

【详解】3+i-（3+i）（3-i）-10101

3〃+3八

-----二0

因为？包是纯虚数，故小1°、，得。=-1,故选：A.

3+1(9-叽0

.10

11.已知复数Z=(〃L〃P)+而为纯虚数，则实数机的值为()

A.-1B.0C.1D.0或1

【答案】C

【详解】因为z=^m—m2)+m为纯虚数，

所以｛c，解得m=1.

故选：C.

12.若虚数Z使得z2+z是实数，则Z满足()

A.实部是-;B.实部是gC.虚部是0D.虚部是g

【答案】A

【详解】设z=〃+Ai(Q,beR且Z?w0),

z2+z=(a+bi)2+(Q+bi)=a2+2abi-b1+a+b1=a1+a-b2+(2ab+b)i,

z?+z是实数，因此2ab+人=0,b=0(舍去)，或。=一；.故选：A.

13.已知复数Z=〃+(Q—l)i,其中asR,若z是实数，则〃=()

A.0B.1C.-1D.i

【答案】B

【详解】因为复数z=〃+(〃—l)i,且z是实数，贝！1=0=＞，=1,故选：B.

④复数相等

14.已知2=3+2次(a,6eR),贝|a+》=()

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【详解】由^=3+2万可得。7=(1+讥3+2历)=3—2b+(»+3)i,

(3—2b=a1a=7

则c,0I，所以八」故0+6=5.故选：C.

[2b+3=-l[b=-2

15.已知15="+历(a,Z?eR),则a+Z?的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】i*5=i，故a+6i=i,所以。=0,0=1,a+b=l.故选：C

16.已知oeR,(5+ai)i=l+5i(i为虚数单位)，则。=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】A

【详解】由题意知，(5+ai)i=—>+5i=l+5i,则。=-1.故选:A.

17.已知复数z的共轨复数为彳，且(1-i)z=(l+iR,则下列四个选项中，z可以为()

A.l+2iB.2-iC.2-2iD.2+2i

【答案】D

［详解］设2=°+历(a,beR),由已知得(l_i)(a+历)=(l+i)(a_历)，^a+b+(b-d)i=a+b+{a-b)i,

:.b—a=a—b,即°=)，对照各选项，只有D满足.故选：D.

⑤复数的模长

18.已知i是虚数单位，若z=J,贝”zb()

2-1

A.1B.75C.好

D.3

5

【答案】C

i(2+i)-l+2i2i

【详解】因为“白——1十一

(2-i)(2+i)555

19.已知复数Z满足z(l—i)=|l+i|,i为虚数单位，则2=

D.1+i

【答案】B

|l+i|_Vl2+12_V2_行(1+i)_V2(l+i)_V20.

【详解】------===--------------=-----------=11故选：B

l-i1-i----1-i(l-i)(l+i)2---------22

20.若(1-z)i3=-2,则|z|=()

A.73B.y/5C.77D.3

【答案】B

【详解】由(l—z)i3=-2得(1-z)-(-i)=-2,所以1-=：=-2，

则2=1+27,所以目=JF+22=退,故选:B.

21.已知复数2=三，则以下判断正确的是()

A.复数z的模为1B.复数z的模为应

C.复数z的虚部为iD.复数z的虚部为T

【答案】B

2i(l+i)2i+2i2

【详解】由z=二可得z==—1+i•

1-11-i2

即复数z的虚部为1,所以CD错误；则复数z的模为J(_ly+12=四,即A错误，B正确；故选：B

⑥复数的几何意义

22.复数z=-i(l+2i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【详解】因为z=-i(l+2i)=2-i,可知复数z在复平面内对应的点为(2,-1),

所以z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D

_1+；

23.在复平面内，复数一一对应的点位于()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

-1+i+-ii.、

【详解】—=k—=1+i，故千+在复平面内对应的点坐标为(U)，位于第一象限•故选：A

24.已知i-z=5-2i,贝卜在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】由题意得Zq=i=_2_5i,

ii

所以复数Z在复平面内对应的点为（-2,-5）,位于第三象限，故选：C

25.复数z满足z==+3i（i是虚数单位），则z的共软复数［对应的点在复平面内位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】因为z=^F+3i=T+i,所以］=一1一i，

所以［在复平面上的对应点的坐标为点位于第三象限.故选：C.

26.在复平面内，复数z=a+2i（aeR）对应的点在直线、=-2尤上,嗝=（）

35.

A.1B.iC.—iD.----------i

22

【答案】B

【详解】复平面内，复数z=a+2i（aeR）对应的点为（4,2）,

又在直线V=-2x上，所以2=-2。，解得a=—1,所以z=—l+2i,

用z-\_=T+2i-i=-l+i=(T+i)(lTm=L故选：B.

人」l+i-l+i—l+i-(l+i)(l-i)

四、高考真题及模拟题精选

1.若复数Z满足（Z-=i,贝”的虚部是（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【详解】由（Z-I）-i=l一i得：z-l=—=-l-i,;.Z=—i

1

.•.z的虚部为-1.故选：B.

7

2.设复数z满足三=l+2i,则彳的虚部为（）

1-1

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【详解】z=(l+2i)(l—i)=3+i,.•.2=3-i,.•上的虚部为T.故选：A.

3.若i(l-z)=l,贝lJz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【详解】由题设有l-z=：=]=-i,故z=l+i,ttz+z=(l+i)+(l-i)=2,故选：D

4.若z=—l+V§i,则i=()

ZZ

A.-1+V3iB.-l-,/3iC.--+—1D.」一包

3333

【答案】C

【详解】彳=_1_技方=(-1+杳)(-1-格)=1+3=4.=-=士变=」+立i故选：C

zz-1333

5.若复数z满足i.z=3—4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【详解】由题意有z=y__4_互,故|z|=J(-4『+(-3>=5.故选：B.

6.若z=l+i.则|iz+3制=()

A.4君B.40C.2如D.2A/2

【答案】D

【详解】因为z=l+i,所以iz+3彳=i(l+i)+3(l-i)=2—2i,所以归+3司="Z^=2应.故选：D.

2-i

7.复数一在复平面内对应的点所在的象限为()

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【详解】2zL(2_i)(l+3i)=U=l±i,所以该复数对应的点为

l-3i10102(22)

该点在第一象限，故选：A.

8.已知Q,b£R,〃+3i=S+i)i(i为虚数单位)，则()

A.a=l,b=-3B.a=-l,b=3C.a=—Lb=-3D.a=l,b=3

【答案】B

【详解】a+3i=—1+历，而。力为实数，故。=-11=3,故选：B.

9.设2(z+可+3(z-可=4+6i,贝|z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】c

【详解】设2=々+沅，贝！=〃一历，贝!)2(z+彳)+3(z—彳)=4a+6历=4+6i,

f4Q=4

所以，)<；4，解得。=>=1,因此，z=l+i.故选：C.

[66=6

10.已知aeR,(l+«z)z=3+z,(i为虚数单位)，贝()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【详解】(1+-i+ai2=i-a=-a+i=3+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：-。=3,，。=-3.故选：C.

11.设复数z满足|z+i|=|z-3i|,z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.x=lB.y=lC.x=-lD.y=-l

【答案】B

【详解】复数Z满足|z+l]Tz—3i|,即|z—(—i)|=|z—3i|,

其几何意义为复平面内的点z到点(0,-1)和点(0,3)的距离相等，

即点z的轨迹为(0,-1)和(0,3)的垂直平分线y==1,

即z在复平面内对应的点hy)在直线y=l上，故y=l,故选：B

12.复数z=「二的共辗复数在复平面内所对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【详解】z=£=am=*=|+&，j|-5,对应点为(»在第四象限.故选:

五、题型精练，巩固基础

1.已知复数z满足(l-i)z=l+i,其中i为虚数单位，则2的实部为()

A.1B.-1C.0D.-i

【答案】C

【详解】解：(l-i)z=l+i,

1+i(l+i)(l+i)2i

所以z=「=>.=j=i,.•万=—i,.,.2的实部为0.故选：C

l-i(l+i)(l-i)2

2.复数上的虚部为()

1+21

A.—iB.-C.--D.--i

5555

【答案】C

1l-2i12.i2

【详解】"=(l+2i)(l.2i)=5—0「•复数后的虚部为-小故选：C.

3.若复数z=[Ej-3,则z的共粗复数为()

A.—6—4iB.-4iC.—6+4iD.4i

【答案】A

【详解】号=-="公，所以z=(l+2i)Z-3=-6+4i,则彳=-6-4i.故选：A

4.已知复数z满足z-2zi—3+i=0,贝心的共辗复数三=()

A.1+iB.1—iC.—+iD.——i

【答案】B

【详解】由z-2zi-3+i=0,得zEd：；；=—=l+i，所以5=故选：B

5.若复数z=r(aeR)是纯虚数，则7=()

A.-1B.-iC.-aiD.3i

【答案】B

【详解】z=S+3i)(3T=3a+3+(9j)i为纯虚数,。z=-i,故选：B.

1010

1-1-7

6.已知复数2是纯虚数，F是实数，贝匹=()

1+1

A.-iB.iC.-2iD.2i

【答案】A

,母妙、4H含2mJ+Zl+历(l+M)(l-i)(l+b)+(b-l)i

【详解】由1a题意设z=Zn(beR),1m则777=777=(1-i)(l+i)=--------2--------'

1+Z_

因为不一是实数，所以6-1=。，得力=1,所以z=i,所以』=-i，故选：A.

1+1

7.已知复数z=2-i,且1-az+6=i，，其中。，6为实数，则。一》=()

A.l2B.0C.2D.3

【答案】c

【详解】由题意得5=2+i,则代入原式得：2+i—a(2—i)+6=i,

2—2〃+6=0

即(2—2a+b)+(l+a)i=i,所以

1+62=1

(1=0

解得什-2'所以7=2.故选：C.

8.已知复数z满足zi+2=l+2i,贝!]z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

【答案】D

-l+2i_(-l+2i)(-i)

【详解】由zi+2=l+2i得：zi=-l+2i,因此z==2+i.故选：D

ii-(-i)

9.已知复数z满足(i-l)z=2i,则目=()

A.1B.72C.73D.2

【答案】B

【详解】•••(—•"=占书^^一,

；.|2|=忘.故选:B.

10-若复数Z满足£则上+[=(

B.历C.5D.17

【答案】C

【详解】；二=公，.•.z=2i(2—i)=2+4i,

2-1

|z+l|=|3+4i|=扬+42=5.故选:C.

复数=(i为虚数单位)的共轨复数对应的点位于().

11.在复平面内,

A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限.

【答案】D

11+i1+i11.11

【详解】解：匚r/i)(i+i)可=5+51,所以其共朝复数为它在复平面所对应的点坐标为

，位于第四象限.故选：D.

12.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,-1),贝任1七Z=

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

【答案】D

【详解】因为在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,-1),

所以z=l—i,所以三=l+i，故i-5=i(l+i)=i+『=T+i,故选：D

二、多选题

13.把复数z的共朝复数记作2,已知z=l+i(i为虚数单位)，则下列结论正确的有(

z

A.z-2=2iB.z+z=2C.zz=2D.—=2i

z

【答案】BC

【详解】由z=l+i,可得N=l—i,有：

z2=(l-i)2=l-2i+i2=-2i,选项A错误.

z+z=l+i+l-i=2,选项B正确;

z-z=(l+i).(l-i)=l-i2=2,选项C正确；

三=l±i=0+i)2J+2+1选项D错误.故选：BC.

z1-i1-i22

14.已知复数4=1-3i,z2=3+i,贝I]()

A.|z1+z2|=6

B.Z]—z[=-2+2i

C.ZjZ2=6-8i

D.z】Z2在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】BCD

【详解】对于A选项，Z]+z2—4-2i,所以，区+小西+⑴口百,A错；

对于B选项，^-z2=l+3i-3-i=-2+2i,B对；

对于C选项，z1z2=(l-3i)(3+i)=6-8i,C对;

对于D选项，4均在复平面内对应的点位于第四象限，D