2024年勤学早中考在线（压轴部分）（学生书）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑第三部分压轴题一、几何综合探索几何压轴题拆分突破一全等模型拆分突破1中点模型典例精讲类型一倍长中线模型倍长中线条件:AD为△ABC的中线主意:延伸AD至点E,使DE=结论:AC,AB,【例】(2023年鞍山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,D是线段BC上的动点(不与点B,C重合),衔接AD,过点D在AD左侧作DE⊥AD,并使DE=AD(1)求证:AB⊥(2)探索FG与CD的数量关系.典题精练类型二构三角形中位线模型1连线构三角形中位线模型2倍长线段构三角形中位线条件:E,F分离是AB,条件:E是AB衔接BC,构△ABCFC=AF,衔接AC的中点.主意:延伸AF至点C,使结论:EF是△ABC的结论:EF是△ABC衔接EF,构△ABC线.中位线.的中位线EF.1.(2023年黑龙江)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120∘,衔接CD,F,H,G分离是DE,BC,CD类型三斜边中线模型1取中点构斜边中线模型2补形构直角三角形条件:∠ACB=90∘.主意:取AB的中点E.主意:延伸AB交CD于点E.结论:(1)CE=BE=AE=(2)∠ECB(3)∠ECA2.(2023年朝阳)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上的一点,衔接EA,将线段EA绕点E逆时针旋转,使点A落在射线CB上的点F处,衔接EC.【问题引入】(1)求证:EF=【探索发现】(2)延伸FE交直线CD于点M.将图形补充残破,预测线段DM和线段BF的数量关系,并说明理由.拆分突破2对角互补模型模型1非直角对角互补模型2两直角对角互补条件:∠ADC+∠ABC=180∘.条件:∠BAD=∠(1)∠BAD∠(2)BD平分∠ABC∠主意:(1)过点D作BA,BC的垂线,垂足分离为∠(2)延伸BC至点M,使CM=AB,衔接DM.主意:取BD的中点O,衔接典例精讲类型一90∘对【例】（&2024华一光谷)【问题背景】(1)如图1,在△BDC中,DB=DC,E为边BC上的一点,点F,G分离在边BD,CD上,且∠FEG+∠【变式应用】如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘,BC=2AB,BD⊥AC于点D.E,G分离是BC,DC上的一点,衔接AE交BD于点图1图2典题精练类型ニα∘对如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠(1)求证:CA平分∠BCD(2)F为BA的延伸线上一点,AE平分∠FAD交CD的延伸线于点E.若AE=4,CD=6拆分突破3一线三等角模型典例精讲类型一“外K”全等模型外K型全等α为锐角α为直角α为钝角条件:A,D,B∠A=∠结论:△ACD【例】如图,A为DE上一点,AB=(1)求证:△ADB(2)若AB⊥CE,AB=5,典题精练类型二“内K全等”模型内K型全等条件:∠ACB主意:作BE⊥CD于点结论:△AC如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘,D为△ABC内一点拆分突破4角平分线模型典例精讲类型一截长补短【例】如图,在△ABC中,∠C=60∘,AD,BE为△ABC的角平分线,(1)求证:∠AOB(2)求证:AB典题精练类型二作双垂线(2023年大连)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E在BC的延伸线上,且CE=2.衔接AE,∠DCE的平分线与AE相交于点F,衔接DF,拆分突破5手拉手模型模型1对角线为边构等腰三角形模型2四边形的边为边构等腰三角形条件:AB=AD,AC=∠BAD=∠CAE结论:(1)△ABC≅△ADE;结论(2)∠CDE=∠BAD+∠典例精讲【例】(2023年年武汉中考1、2问)问题提出:如图1,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90∘,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部,直线AD问题探索:(1)先将问题异常化如图2,当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF(2)再探索普通情形如图1,当点D,F不重合时,证实(1)中的结论依然图1图2典题精练在△ABC中,BC=5,以AC为边向外作等边(1)如图1,△ABE是等边三角形,若AC=4,∠ACB=30(2)如图2,若∠ABC=60∘,AB=图1图2拆分突破6夹半角模型模型1三角形中夹半角模型2四边形中夹半角条件:AB=AC,条件:AB=AD∠DAE=主意:将△ABD绕点A逆时针旋转α,得到△ACF.主意:将△ABE绕点A结论:△ADE≅△AFE.逆时针旋转α,得到典例精讲类型一三角形中夹半角【例】如图,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠典题精练类型二四边形中夹半角在四边形ABCD中,BC//AD,AB=BC,∠A+∠BCD=180∘,点M,N几何压轴题拆分突破二相似模型拆分突破1A型相似模型模型1 A型相似模型2作平行线构A主意2:过端点B作BF//CD交延伸线于点F.条件;DF//BC,DE//AC.条件:D为△ABC结论:△ADF∽△ABC,主意1:过分点D作DE//BC交AC△典例精讲类型一直接用A型相似【例】(2023年陕西)如图,在▫ABCD中,AB=3,AD=4,点E在AD的延伸线上,且DE=2,过点E作直线l分离交边CD,AB于点M,N.若直线l典题精练类型二构A型相似(2023年锦州)如图,AB=AC,FE=FC,∠ACB=∠FCE=30∘(1)求证:BE=(2)若BC=47,BD=1拆分突破2X型相似模型模型1X型相似模型2作平行线构X条件:CD//AB,条件:BD为△延伸线于点E.结论:△AOB∽△COD.主意:过点A作AE//BC结论:(1)AE=AB;(2)典例精讲类型一直接用X型相似【例】(2023年内蒙古改)如图,已知正方形ABCD,E是对角线AC上一点.F是DE延伸线上一点,DF交AB于点G,且(1)判断△FBG的形状,并说明理由(2)若BE=BF,求证:典题精练类型ニ构X型相似(2023年二中广雅)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠B=30∘,CD⊥AB于点(1)求证:△CED(2)衔接EF交CD于点G,若GF=2GE,求CF拆分突破3仿A型相似模型模型1仿A型相似模型2作垂线构仿A型相似条件:∠AED=∠C.条件:∠B=90∘,E为AB上一点.结论:主意:过点E(1)△AED∽△ACB;结论(2)AE⋅AB=典例精讲【例】(2023年盘锦改)如图,四边形ABCD是正方形,点M在BC上,衔接AM,点H在BC的延伸线上,点E在线段BH上,且HE=AM,将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG,使得∠HEG=∠MAH=2∠BAM(1)求AH的长;(2)求证:MHBM典题精练(2023年杨春湖实验小学)【问题背景】(1)如图1,在△ABC中,∠BED=∠BCA.【问题探索】(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90∘,E为AB上一点,EF⊥BC于点F,AC=CF,BD平分∠ABC图1图2拆分突破4蝶形相似模型模型蝶形相似条件:AD与BC交于点O,∠结论:(1)△AOB∽△COD典例精讲类型一用蝶形相似如图,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,D为BC上一点,DA=DE(1)求证:△AFC(2)求证:EC//典题精练类型二构蝶形相似(2023年东湖高新)如图,在等边△ABC中,G为BC的中点,D,E分离是BC,AC上的一点,且BD=CE,AD(1)求证:∠BAD(2)H为EF上一点,若∠BHG+∠AFH=90∘,拆分突破5母子相似模型模型1母子相似模型2构母子相似条件:D为AC上一点,条件:∠ABE∠ABD=∠C.主意1:延伸BE交AC于点结论:(1)△ABD∽△ACB;结论(2)AB2=AD⋅AC.主意2:过点C作CP//BE交结论:△AB典例精讲【例】（2023年七一华源）【探索发现】(1)如图1,在△ABC中,F为BC边上一点,∠B=∠CAF.【迁移拓展】(2)如图2,在△ABC中,F为BC边上一点,∠B=∠CAF,H为AC上一点,且CH=CF,过点H作HG//BC交AB于点G,图1图2典题精练(2023年东湖高新)如图,在等腰Rt△ABC中,G为斜边BC的中点,D为BG的中点,BD=1.E是AC上的一点,CE=2BD,AD交BE(1)求证:∠CBE(2)若∠BHG+∠AFH=90∘,拆分突破6射影相似模型模型1射影定理模型2作高用射影定理条件:∠ACB=90∘,条件:F,ACD⊥AB.线,结论:思路:作斜边上的高后,有二次相似.(1)△ACD∽△ABC∽△CBD.主意:过点C作CD(2)AC2=AD⋅CD典例精讲类型一直接用射影定理【例】(2023年泰州改)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,将点B翻折到BD上的点E处,折痕AF交BD于点(1)求证:AD(2)BP平分∠DBC交CD于点P,将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处,求∠AGH图1图2典题精练类型二构模型用射影定理(2023年年绵阳改)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90∘,AC⊥BC,∠ABC=45∘,AC与BD交于拆分突破7一线三垂直模型模型1模型2条件:B,C,D共线,∠B=∠ACE=∠D=90∘.主意;过点G作结论:△ABC∽△CDE.结论典例精讲类型一直接用一线三垂直相似【例】（2023年仙桃改）如图,将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分离与边AB,CD交于点E,F,衔接(1)用含x的式子表示y;(2)若DP=1,求MD典题精练类型二构一线三垂直相似如图,在△ABC中,C为BE上一点,CD⊥AC,CD(1)求证:∠DCE(2)求∠AEC的度数(3)若BC=4,AC=29,拆分突破8一线三等角模型模型一线三等角α为锐角条件:点D在BC上,∠B结论:△ABD∽△DCE.典例精讲【例】(2023年新洲区)在△ABC中,点D,E分离在BC,AC上【问题背景】(1)如图1,若∠B=∠C,求证【变式运用】(2)如图2,AB=5,BC图1图2典题精练如图,在▫ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=60∘,点E是AB上一点,过点E作EF⊥DE交BC边于点F,拆分突破9十字架模型典例精讲类型一矩形中的十字架模型矩形中的十字架条件:矩形ABCD,结论:(1)DECF=AD【例】如图,在矩形ABCD中,BCAB=34.将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,折痕为(1)求FGAE的值(2)若tan∠CGP=43,GF=典题精练类型二直角三角形中的十字架模型直角三角形中的十字架条件:∠ACB主意:作DF⊥CB于点结论:(1)△CDF∽△AEC如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=3,D,E分离是BC,AB边上的点拆分突破10对角互补相似模型典例精讲【例】在四边形ABCD中,AD,BC的延伸线交于点F,BA,CD(1)【问题背景】如图1,若∠ECF+∠BAF=180(2)【尝试应用】如图2,若∠ECB+∠BAF=180图1图2典题精练(1)问题背景:如图1,在△ABC中,AB=AC,P是BC边上一点,E,F分离是AB,AC上一(2)尝试探索:如图2,四边形ABCD是平行四边形,E,F分离是边AB,AD上一点,CF与DE交于点G,若∠B图1图2拆分突破11旋转相似模型(1)半角型条件:AB=主意:作AM⊥BC于点M,HN⊥结论:△ADM典例精讲【例】(2023年山东改)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30典题精练(2023年蔡甸区)如图1,在菱形ABCD和等腰△DEF中,DE=EF,∠DEF=∠DAB=120∘,点F在边AB上,对角线(1)求证:△DEG(2)如图2,衔接CE.图1图2(1)求BFCE的值(2)若AF=3CE,求证拆分突破12旋转相似模型(2)半角型条件:∠1结论:(1)△ABD(2)BDCE典例精讲【例】（&2023年武汉外校）【问题提出】(1)如图1,在正方形ABCD中,衔接对角线AC,BD,E,F分离是对角线BD和边AD上的点,且∠ECF【尝试应用】(2)如图2,∠BAD=∠CDA,AB=CD,衔接AC,∠DAC=45∘,AC=4,E,F分离为边图1图2典题精练如图,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠CDE=90∘,且点D在BA的延伸线上,拆分突破13利用参数表示比值模型1三角形相似转化比模型2先算后比求BCCE的值.求BCCE主意:证△ABC∽△DCE.主意:算BC=fn,CE=gn典例精讲【例】(2023年年武汉中考改)如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,E为BC的延伸线上的一点,ED的延伸线交AB于点F,G为BC(1)若BG=CE,求FDDE(2)若GC=nBG,求AFAB典题精练(2023年年武汉四调改)如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90∘,D,E分离为BC,AB上的一点,且∠ADC=∠EDB,过点(1)求证:△AGE(2)若CDCB=1n,求拆分突破14相似与三角函数值模型1作垂线求三角函数值模型2等角转化求三角函数值求tan∠B的值.求tan∠B主意:过点A作AD1⊥BC于点D1;过点A作AD2⊥AB交BC于主意:tan∠B=tan∠ADE.点D2;过点C作典例精讲【例】(2023年年武汉中考改)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘,M为BC的中点(1)求证:MB(2)延伸CP交AB于点Q,若AB=nBC,求tan∠BPQ的值(用含n典题精练(2023年年东西湖区)如图,在△BDE中,DC⊥BE于点C,BH(1)求证:EHBE(2)若CH=3DH,BC=nCD,求tan∠HCE数学思想主意突破类比推理类比推理1图形从异常到普通典例精讲【例】（&2023年年武汉中考)【问题提出】如图1,在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,延伸BC至点E,使DE=DB,延伸ED交AB于点F【问题探索】(1)先将问题异常化.如图2,当∠BAC=60∘时,直接写出(2)再探索普通情形.如图1,证实(1)中的结论依然成立.图1图2典题精练(2023年锦州)【问题情境】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ACB=α,E为△ABC内一点,连接BE,CE,以CE为底边在其上方作等腰三角形【尝试探索】(1)如图1,当α=60∘时,求证(2)如图2,写出AF与BE的数量关系(用含α的三角函数表示),并说明理由.图1图2类比推理2位置从异常到普通典例精讲【例】等边△ABC与等腰△EDC有公共顶点C,其中∠EDC=120∘,AB=CE,衔接BE,(1)如图1,当点E与点A重合时,求证:AD=(2)如图2,当点E与点A不重合时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请给出证实;若不成立,请说明理由.图1典题精练(2023年丹东)在△ABC中,∠BAC=90∘,∠ABC=30∘,AB=6,D是BC的中点.四边形DEFG是菱形D,E,F,G按逆时针顺序罗列),∠EDG=60∘,且DE=2,菱形DEFG(1)在菱形DEFG绕点D旋转的过程中,当点E在线段DC上时,如图1,请直接写出线段AG与CE的数量关系及α的值;(2)当菱形DEFG绕点D旋转到如图2所示的位置时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请写出证实过程;若不成立,请说明理由.图1类比推理3条件从异常到普通典例精讲【例】（2023年年武汉四调第1,2问）如图,P是正方形ABCD的边BC上一动点,线段AE与AD关于直线AP对称,衔接EB并延伸交直线AP于点F,衔接CF.(1)如图1,若∠BAP=20∘,求(2)如图2,求证:BE=图1图2典题精练(2023年菏泽)【解决问题】(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分离在边DC,BC上,AE=DF,延伸BC至点H,使CH=DE,【类比迁移】(2)如图2,在菱形ABCD中,点E,F分离在边DC,BC上,AE=DF=11,图1图2类比推理4结论从异常到普通典例精讲【例】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α0∘<α<180∘,P为平面内不与点A,C重合的随意一点,衔接CP,将线段CP绕点P顺时针旋转α度,得到线段(1)当α=90∘时,如图1,求EF(2)当0∘<α<180∘时,如图2,直接写出EFPA的值为图1图2典题精练在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,CD为∠ACB的平分线,将∠ACB沿CD所在的直线对折,使点B落在点B'处,衔接AB',BB',(1)如图1,若AB=AC,求证:(2)如图2,若AB≠AC,试探索CD与BE的数量关系(用含α图1图2类比推理5从异常到异常典例精讲【例】（&2023年七一华源）在△ABC中,∠ACB=α,AC=BC,D是线段BC延伸线上的一点,衔接AD,将线段AD绕点D逆时针旋转(1)如图1,当α=90∘时,求线段DC与BE的数量关系以及∠(2)如图2,当α=120∘,AC=6,AD图1图2典题精练在▫ABGD中,点E在边AB上,点C在边BG上,AB(1)如图1,若∠DCE=∠B=90∘,(2)如图2,E为AB的中点,若∠DCE=∠B=60∘,图1图2类比推理6从全等到相似典例精讲【例】(2023年湖州)【特例感知】(1)如图1,在正方形ABCD中,点P在边AB的延伸线上,衔接PD,过点D作DM⊥PD,交BC的延伸线于点M,△DAP与【变式求异】(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘,点D在边AB上,过点D作DQ⊥AB,交AC于点Q,点P在边AB的延伸线上,衔接PQ,过点Q作QM⊥PQ,交射线BC于点M.已知图1图2典题精练(2023年营口)在▫ABCD中,∠ADB=90∘,点E在CD上,点G在AB上,点F在BD的延长线上(1)如图1,当k=1时,请用等式表示线段AG与线段DF(2)如图2,当k=3时,写出线段AD,DE和DF图1图2类比推理7类比迁移典例精讲【例】（2023年武汉中考)【问题提出】如图1,E是菱形ABCD的边BC上一点,△AEF是等腰三角形,AE=EF,∠AEF=∠ABC=αα≥90∘,AF交CD【问题探索】(1)先将问题异常化,如图2,当α=90∘时,直接写出∠(2)再探索普通情形,如图1,求∠GCF与α的数量关系【问题拓展】(3)将图1异常化,如图3,当α=120∘时,若DGCG=12图1图2图3典题精练(2023年武汉四调)如图1,E,F,H是正方形ABCD边上的点,衔接BE,CF交于点G(1)判断BE与CF的位置关系,并证实你的结论;(2)若CE=CH,求证:(3)如图2,E,F是菱形ABCD边AB,AD上的点,衔接DE,点G在DE上,衔接AG,FG,CG,∠AGD=∠BAD,图1图2类比推理8模型运用(1)A型、X型典例精讲【例】(2023年年武昌区)【问题背景】(1)如图1,M,D分离为△PBQ上的点,MD//BQ,E为MD的中点,PE的延伸线交BQ于点F.求证:F【变式运用】(2)如图2,M是矩形ABCD的边AD的中点,点Q在边BC上,BM,QD的延长线交于点P,衔接PA,求证:图2图1典题精练【问题背景】(1)如图1,AB//CD,AD与BC交于点F,E为CD上一动点,EF的延伸线与AB交于点P.求证:【变式运用】(2)如图2,AB//CD,AD与BC交于点F,E为CD的中点,若AB=4,BFFC图1图2类比推理9模型运用(2)一线三等角典例精讲【例】(2023年年武汉中考第1,2问)在△ABC中,∠(1)如图1,分离过A,C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分离为M,N.求证:(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=2图1图2典题精练在等边△ABC中,M,N是边AC上的点,D是BC上的点,且(1)如图1,当点M与点A重合时,求证:△ABD(2)如图2,若AC=2MN=3CD=图1图2类比推理10模型运用(3)母子型典例精讲【例】已知在△ABC中,D是BC边上的一点,E为AD上一点,∠(1)如图1,当E与A重合时,求证:AB(2)如图2,E为AD的中点,AB=4,CD=3,(3)如图3,E是AD的中点,AD=AC,tan∠CDE=3图1图2图3典题精练(2023年研口区)如图,E是菱形ABCD的边DC上一点,∠DFE(1)求证:AD(2)∠DFE=∠C=60∘,tan∠类比推理11模型运用(4)旋转模型典例精讲【例】（&2023年年武汉中考T23(1)(2)问)【问题背景】(1)如图1,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;【尝试应用】(2)如图2,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90∘,tan∠ABC=tan∠ADE=34,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,AD=2图1典题精练已知,在△ABC和△EFC中,∠ABC=∠EFC=90∘,点E在(1)如图1,当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时,衔接(1)求证:△CAE∽△CBF; (2)若BE=2(2)如图2,当BCAC=CFCE=k,BE=图2综合实践综合实践1阅读理解与新定义典例精讲【例】【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,衔接这两个角的顶点的线段称为对余线.【理解运用】(1)如图1,在对余四边形ABCD中,∠BCD>90∘,AB=(2)如图2,凸四边形ABCD中,AD=BD,AD⊥BD,当2CD2+CB【拓展提升】(3)如图3,四边形ABCD是对余四边形,AC=BC=22,AB=4,点E在对余线BD上,∠ACE=∠图1图2图3综合实践2图形的翻折典例精讲【例】(2023年大连)问题情境:数学活动课上,王教师给学生们每人发了一张等腰三角形纸片探索折叠的性质.已知AB=AC,∠A>90∘,点E为AC上一动点,将△ABE以BE为对称轴翻折.学生们经自立思量:小明:“当点D落在BC上时,∠EDC小红:“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.”实践探索:奋进小组的学生们经过探索后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A>90(1)如图1,当点D落在BC上时,求证:∠EDC(2)如图2,若点E为AC中点,AC=4,CD=3,问题解决:小明经过探索发现:若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90∘的等腰三角形,问题2:如图3,在等腰△ABC中,∠A<90∘,AB=AC=BD图1图2图3综合实践3图形的拼接典例精讲【例】(2023年山西)问题情境:“综合与实践”课上,教师提出如下问题:将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为△ABC和△DFE,其中∠ACB=∠DEF=90∘,∠A=∠D.将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放,其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时,延伸DE交(1)数学思量:请你解答教师提出的问题;(2)深入探索:教师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转,使点E落在△ABC内部,并让学生(1)“善思小组”提出问题:如图3,当∠ABE=∠BAC时,过点A作AM⊥BE,交BE的延伸线于点M,BM与AC交于点N.试预测线段AM和BE的数量关系,(2)“智慧小组”提出问题:如图4,当∠CBE=∠BAC时,过点A作AH⊥DE于点H,若BC=9,AC=12,求图1图2图3图4综合实践4三角板的旋转典例精讲(2023年年潍坊改)【情境再现】(1)甲、乙两个含45∘角的直角三角尺如图1放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图2位置,小莹用作图软件Geogebra按图2作出暗示图3,并衔接AG,BH,求证【迁移应用】(2)延伸GA分离交HO,HB所在直线于点P,D,如图4,预测并证实DG与【拓展延伸】(3)小亮将图2中的甲、乙换成含30∘角的直角三角尺,如图5,按图5作出暗示图,并衔接HB,AG,如图6所示,其他条件不变,请你预测并证实AG与BH图1图2图3图4图5图6二、二次函数综合探索二次函数压轴题拆分突破一二次函数与线段二次函数与线段1横平坚直线模型1横平线模型2坚直线AB//x轴AB//y轴典例精讲类型一坚直线【例】(2023年丹东)抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A-4,0,B2,0两点,与y轴交于点C.D是抛物线上的一动点,设点D的横坐标为m-4<m<2,过点D作直线DE⊥x轴典题精练类型二横平竖直线(2023年内江改)如图,抛物线y=14x2-12x-2与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点A.P是直线AB下方抛物线上的一动点,PK//x轴,交直线AB于点K,PD//y轴二次函数与线段2斜线长模型1勾股定理模型2三角函数ABAB=x典例精讲类型一运用勾股定理化斜为直【例】如图,抛物线y=-x-m2+m+2交直线y=x+1典题精练类型二运用三角函数化斜为直(2023年无锡)如图,抛物线y=22x2+bx+c与y轴交于点A(1)请直接写出b,c(2)直线BC交y轴于点D,E是抛物线上位于直线AB下方的动点,过点E作直线AB的垂线,垂足为F.求EF二次函数与线段3线段关系典例精讲类型一线段相等一等腰或勾股斜化直【例】(2023年年武汉中考T24(2))如图,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴正半轴交于点A,直线y=-43x+b经过点A,与抛物线的另一交点为B.请你在线段AB上取点P,过点P(1)若AP=AQ,求点P(2)若PA=PQ,直接写出点P典题精练类型二线段倍分用相似一化斜为直(2023年年武汉四调T243)如图,抛物线y=-x2+2x+c分离交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴正半轴于点C,过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E,交y轴于点二次函数与线段4斜线比模型1斜线比一横线比模型2斜线比一坚线比作AE//PF//y轴,作PE//x轴,则典例精讲类型一作x轴平行线一化斜为直【例】(2023年眉山改)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,P是直线AC上方的抛物线上一点,衔接BP交AC于点D.当PDBD典题精练类型二作y轴平行线一化斜为直(2023年营口)如图,抛物线y=ax2+bx-1a≠0经过点1,0,与x轴交于另一点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D3,0,过点B作直线l⊥x轴,过点D作DE⊥CD,交直线l于点E,P二次函数与线段5平行弦典例精讲类型一平行→k【例】如图,已知抛物线y=ax2+4x+4a0<a<2,且A1,ya,B0,yb典题精练类型二平行→相似1.(2023年江岸区)如图,抛物线y=12x2-32x-nn>0与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,AD//BC交抛物线于另一点类型三k相等一平行2.(2023年年新洲区)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,E,F为线段OC上两点,AE二次函数与线段6垂直线典例精讲类型一垂直→相似一唯一存在【例】（2023年武汉四调）如图,M是x轴正半轴上一动点,点N0,3.经过点M的直线PQ交抛物线y=x2于P,Q两点.当点M运动到某一个位置时,存在唯一的一条直线PQ,使典题精练类型二垂直一相似一恒存在1.(武汉中考)如图,直线y=kx+2k+4与抛物线y=12x2交于A,B两点,若在抛物线上存在定点D,使得对于随意类型三垂直一相似一定值2.(2023年年荆门T24(2))如图,P为抛物线y=x-12的顶点,过点P作两条互相垂直的直线与抛物线交于不同于P的M,N两点,若直线MN二次函数压轴题拆分突破二二次函数与面积二次函数与面积1割补法模型1模型2S△PAB=S圆边形典例精讲类型一割补求三角形面积【例】(2023年娄底)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0,B5,0,交y轴于点C.点Px0,典题精练类型二割补求四边形面积(2023年广安)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B(1)求这个抛物线的解析式;(2)求四边形ABCN面积的最大值,并求出此时点N的坐标.二次函数与面积2铅垂法模型1模型2模型3S△ABC=1典例精讲类型一两定一动,知水平宽【例】(2023年阜新)如图,抛物线y=-x2+bx-c与x轴交于点A-3(1)求这个抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点,典题精练类型二一定两动,隐水平宽(2023年福州)如图,抛物线的顶点在原点,且点C2,1(1)求抛物线的解析式;(2)直线y=mx-m2+1与抛物线的交于A,B两点(点C在直线AB下方,点B在点A右侧),若二次函数与面积3平行转化法模型1模型2条件:PM//AC条件:PM//AB结论:S典例精讲类型一利用平行转化法,线上点一轴上点【例】(2023年湖北联盟)如图,抛物线y=ax2+bx(1)求该抛物线的解析式;(2)P是第一象限内抛物线上一动点,当△ABP的面积为3时,求点P的坐标典题精练类型二利用平行转化法,轴上点一线上点(2023年湘潭)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y(1)求这个二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使得S△PAC=S△ABC?(点P与点B不重合).若存在,哀求出点P二次函数与面积4面积转化典例精讲类型一面积比一高的比【例1】（&2023年二中广雅）如图,经过定点A的直线y=kx-2k+1k<0交抛物线y=-x2+4x于B,C(1)直接写出点A的坐标;(2)若S△ACD=2S△ABD类型二面积比一底的比【例2】（&2023年泸州）如图,已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分离相交于(1)求该抛物线的解析式;(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线AF分离与y轴,直线BC交于点D,E.若△CAD,△CDE,△CEF的面积分离为S1,S2,典题精练类型三平行转化面积1.(2023年张家界)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-2,0和B6,0两点,与(1)求抛物线的解析式;(2)过动点D作DP//AC,交抛物线第一象限部分于点P,衔接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S.当S取得最大值时,求点P的坐标,类型四四边形转化为三角形2.(2023年年武汉中考T24(2))如图,抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点A在B的左边,▫ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上,若点D在抛物线上,二次函数压轴题拆分突破三二次函数与角度二次函数与角度1异常角典例精讲类型一45∘角→构三垂直全等【例】(2023年年通辽改)如图,抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.Q典题精练类型二90∘角→构三垂直相似1.如图,抛物线y=-x2+4x经过点A4,0,它的对称轴交抛物线于点B.C,D两点在对称轴上(点C在D的上方),且关于点B对称,直线OD交抛物线于点E,衔接OC类型三30∘或60∘角→构三垂直相似2.(武汉调考)如图,抛物线y=3x2-43x+33与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点D二次函数与角度2角度范围典例精讲类型一锐角【例】(2023年湘潭改)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B1,0,C0,3,Q是x轴上方对称轴l上一点,且点典题精练类型二直角(2023年怀化)如图,直线l1:y=kx+k-354与抛物线y=x2+2x-8交于M,N两点,求证:无论k二次函数与角度3三角函数值典例精讲类型一知三角函数一构三垂直相似【例1】如图,抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于点A-1,0(1)直接写出抛物线的解析式;(2)M为抛物线上一点,衔接AC,CM,当tan∠ACM=2时,求点类型二知三角函数一找等角【例2】(2023年郴州)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1(1)求抛物线的解析式;(2)取线段OC的中点D,在抛物线上是否存在点Q,使tan∠QDB=12?若存在,求出点Q的坐标;典题精练类型三求三角函数→作垂直1.(2023年二中广雅)如图,抛物线y=ax2-72x+ca>0与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴类型四知三角函数→转移角→构三垂直相似2.(2023年鞍山)如图,抛物线y=-x2+53x+5与y轴交于点B,E为第一象限内抛物线上一点,N为x轴正半轴上一点,OE与BN交于点M二次函数与角度4等角典例精讲类型一角等一全等或平行【例】如图,抛物线y=x2-4x与x轴相交于原点O和点A,直线y=x与抛物线在第一象限的交点为B,抛物线的顶点为C.抛物线上是否存在点D,使得∠DOB=∠OBC?若存在,求出典题精练类型二角等一相似(2023年金华改)如图,直线y=52x+5与x轴,y轴分离交于点A,B,抛物线的顶点P在直线AB上,与x轴的交点为C2,0,D,衔接PC,PD.∠CPD与∠二次函数与角度5倍角典例精讲类型一二倍角一减半变等角【例】(2023年黄冈改)如图,抛物线y=-12x2+32x+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.P为第一象限抛物线上的一点,衔接典题精练类型ニ二倍角一加倍变等角(2023年无锡)如图,抛物线y=22x2+bx+c与y轴交于点A,且经过点B4,2和点C-1,2.直线BC交y轴于点D,E是抛物线y=22x2+bx+c上位于直线AB下方的动点,过点E二次函数与角度6角的和差典例精讲类型一角的和差一构等角用全等【例】（&2023年衡阳）如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.P典题精练类型二角的和差一构等角得等腰1.(2023年年黄石)如图,抛物线y=-23x2+23x+4与坐标轴分离交于A,B,C三点,P是第一象限内抛物线上的一点,且横坐标为m.衔接CP,是否存在点P,使得类型三角的和差一构异常角2.(2023年洪山区)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,P为第一象限内抛物线上一点,若点E的坐标为1,二次函数压轴题拆分突破四二次函数与三角形二次函数与三角形1等腰三角形典例精讲类型一等腰三角形【例】(2023年凉山州)如图,已知抛物线与x轴交于A1,0和B-5,0两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.当△EFC是等腰三典题精练类型二等腰直角三角形(2023年广元改)如图,已知二次函数y=-12x2+x+4的图象与x轴正半轴交于点B,E为第一象限抛物线上的一点,F为抛物线对称轴l上的一点,以B,E,F二次函数与三角形2全等三角形典例精讲类型一全等三角形一知全等【例】(2023年年黄冈、孝感、咸宁)如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A-1,0,B3,0两点,与(1)求抛物线的解析式;(2)若n<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G.过点P作PD⊥BC于点D,当n典题精练类型二全等三角形一构全等(2023年武汉模拟)如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点A在B的左侧,与y轴交于点C二次函数与三角形3相似三角形典例精讲类型一直角三角形的相似【例】(2023年武汉中考T242)如图,抛物线y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,作直线x=t0<t<4,分离交x轴,线段BC,抛物线于D,E,F典题精练类型二非直角三角形的相似(2023年随州T23(3)改)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0,B2,0和C0,2,连接BC,点Pm,n0<m<2为抛物线上一动点,过点P作PN⊥x轴于点N.当点P在运动过程中,在y轴上是否存在点Q,使得以O,P,二次函数压轴题拆分突破五二次函数与四边形二次函数与四边形1平行四边形典例精讲类型一两定两动,一边明确【例】(2023年聊城)如图,抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0,B6,0,与y轴交(1)求抛物线的解析式;(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,典题精练类型二两定两动,边不明确(2023年年眉山)如图,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.若M是抛物线上一点,N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M,使以A,C,M,N二次函数与四边形2矩形、菱形、正方形典例精讲【例】(2023年内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-2x+3与x轴的交点分别为A和B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,P是直线AC上方抛物线上一动点,M为抛物线对称轴上一动点,当点P,点M运动时,在坐标轴上决定点N,使四边形PMCN典题精练(2023年扬州改)在平面直角坐标系中,已知点A在y轴正半轴上.(1)如图1,已知菱形ABCD的顶点B,C,D在二次函数y=x2的图象上,且AD(2)如图2,已知正方形ABCD的顶点B,D在二次函数y=x2的图象上,点B,D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B,D的横坐标分离为图1图2二次函数压轴题拆分突破六二次函数与图形变换二次函数与图形变换1平移与旋转典例精讲类型一平移【例】(2023年一初慧泉)如图,抛物线y=-x2+bx+cbc≠0的顶点为D(点D在第一象限),与x轴交于A,B两点(点A在点B左边).直线y=-x+3经过点D与抛物线交于另一点典题精练类型二旋转(2023年柳州)如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(点B在点A的右边),D0,-2,衔接BD,将△OBD绕平面内的某点(记为点P)旋转180∘得到△O'B'D',O二次函数与图形变换2对称变换典例精讲类型一对称一全等【例】（2023年日照）如图,抛物线y=-ax2+5ax+2a>0交y轴于点(1)求C,D(2)当α=13时,该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),P为直线AD上方抛物线上一点,将直线PD沿直线AD翻折,交x轴于点M4,典题精练类型二对称一异常图形(2023年阜新)如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,P是直线AC上的一个动点,过点P的直线l与BC平行,则在直线l上是否存在点Q,使点B与点P关于直线CQ对称?若存在二次函数压轴题拆分突破七二次函数与定值、定线、定点二次函数与定值典例精讲类型一两定一动【例1】(2023年广元)如图,抛物线y=-12x2+x+4与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.P为第一象限内抛物线上一点,直线AP交y轴于点M,直线BP交y轴于点N点参法:设点坐标→点参表示直线→点参表示关联点坐标→定值线参法:设直线解析式一线参表示点坐标→根系消参→定值类型二一定两动【例2】（&2023年武汉模拟）如图,抛物线y=x2-2x-3交x轴负半轴于点A,直线y=kx-3k+2交抛物线于P,Q两点,衔接AP,1.(2023年汉阳区)如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A左点B右),Q为第四象限的抛物线上一点,直线BQ交y轴于点M,过点B作直线NB//AQ,交y轴于点N.当点Q运动时,线段2.(2023年海南)如图,抛物线y=x2-2x-3交x轴于点A,B(点A在点B的左边),其对称轴为直线l,D是抛物线的顶点,P是第二象限内抛物线上一动点,直线PA,PB分离与直线l交于点G3.(2023年江岸区)如图,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,P为y轴上点C下方一动点,PM,PN分离与抛物线交于唯一公共点M,N,衔接4.(2023年武昌区)如图,直线y=kx+k+6k>0交y轴正半轴于点M,与抛物线y=x2交于A,B两点,AC⊥y轴于点二次函数与定线“典例精讲类型一平行线【例1】如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,直线y=kx+1与抛物线交于点P,D两点,过点D作DE//y轴交直线PC于点类型二平行弦【例2】（2023年年武汉四调）如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.平行于BC的直线MN交抛物线于M,N两点,直线MC类型三双切线1.如图,过定点H0,2的直线MN交抛物线y=-x2+4于M,N两点,过M,N的直线MR,NR(不与y轴平行)类型四相交弦2.(2023年武汉中考T243)如图,直线y=2x与抛物线y=x2交于O,G两点,过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线于M,N两点,直线MO与直线GN交于点P.问:点二次函数与定点典例精讲类型一内接三角形【例1】(2023年洪山区)如图,点T1,-1在抛物线y=-x2上;过点T作TM⊥TN,分离交抛物线于M,N两点.【例2】(2023年福州)如图,直线y=kx-2k与抛物线y=14x2交于D,E两点,过点D的直线y=类型二线束【例3】（&2023年青山区）如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.M,N是抛物线上异于B,C的两个动点,若直线BN与直线CM的交点始类型三阿基米德三角形1.(2023年武汉模拟)在平面直角坐标系中,点A为第二象限抛物线y=14x2上一点,过点A的直线l(不与y轴平行)与抛物线惟独一个公共点,与y轴交于点D.P为射线AD上一点,PB与抛物线惟独一个公共点B,且PB与y轴不平行,若Pm,-2,判断直线AB是否经过某一定类型四平形四边形2.(2023年武汉模拟)如图,已知抛物线y=-12x2+32,点P0,12,点M,N,C都在抛物线上,二次函数压轴题拆分突破八二次函数与最值二次函数与最值1线段最值典例精讲类型一距离最值【例】(2023年衡阳)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,将直线BC向下平移mm>0个单位长度,交抛物线于B',C'两点.若在直线B'C'上方的抛物线上存在定点D,无论m取何值时典题精练类型二线段比最值如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点A在B的左侧,与y轴交于点C,D为第四象