人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《因式分解（第2课时）》示范教学设计

因式分解（第2课时）教学目标1．掌握平方差公式的特点，熟练运用平方差公式进行因式分解．2．掌握用平方差公式分解因式的方法，会综合运用提公因式法和公式法分解因式．3．通过乘法公式逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括的能力，发展有条理地思考及语言表达能力，感受数学知识的关联性和完整性．教学重点利用平方差公式分解因式．教学难点灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式．教学过程知识回顾1．什么叫多项式的因式分解？【答案】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．2．判断下列变形过程，哪些是整式的乘法？哪些是因式分解？（1）(x＋2)(x－2)＝x2－4； （2）x2－4＋3x＝(x＋4)(x－1)；（3）7m－7n－7＝7(m－n－1)； （4）x2－4＝(x＋2)(x－2)．【答案】解：（1）是整式的乘法；（2）（3）（4）是因式分解．【设计意图】带领学生复习已经学过的知识，巩固基础，为本节课学习运用平方差公式因式分解做好准备．新知探究一、探究学习【问题】1．如图，在边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？【师生活动】教师展示图形变换过程，学生独立观察思考，得出答案．【答案】拼成一个长方形前：S阴影＝a2－b2；拼成一个长方形后：S阴影＝(a＋b)(a－b)；所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)．【问题】2．你能将多项式x2－9与多项式y2－64分解因式吗？【师生活动】教师提示：这两个多项式都是两个数的平方差的形式，由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把(x＋3)(x－3)＝x2－9和(y＋8)(y－8)＝y2－64的等号两边互换位置，就能得到结果．学生根据教师的提示思考，得出答案．【答案】解：x2－9＝(x＋3)(x－3)；y2－64＝(y＋8)(y－8)．【思考】你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现．【师生活动】教师出示问题，学生小组讨论，并尝试归纳．教师提醒学生注意此处语言叙述的顺序与乘法公式中的平方差公式不相同．【新知】a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和实践的过程中，了解用平方差公式分解因式的方法，通过乘法公式逆向变形，发展学生的归纳、类比、概括能力．【思考】利用平方差公式分解因式时，多项式需具备什么特点？【师生活动】教师展示：学生观察思考，并尝试归纳．【答案】利用平方差公式分解因式时，多项式应含有两部分，两部分的符号相反，且每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方．【设计意图】让学生弄清平方差公式的形式和特点，加深对运用平方差公式进行因式分解的理解．【练习】判断下列各式能否用平方差公式分解因式：（1）y2－49； （2）y2－2x3；（3）x2＋4； （4）(p＋q)2－9；（5）－m4－n4； （6）a＋(－b)2．【答案】解：（1）（4）能用平方差公式分解因式，（2）（3）（5）（6）不能用平方差公式分解因式．【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解平方差公式的特点．二、典例精讲【例1】分解因式：（1）4x2－9；（2）(x＋p)2－(x＋q)2．【分析】（1）4x2＝(2x)2，9＝32，4x2－9＝(2x)2－32，即可用平方差公式分解因式．（2）把x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p＝m，x＋q＝n，则原式化为m2－n2．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．【答案】解：（1）4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)．（2）(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【归纳】用平方差公式分解因式的一般步骤第1步：观察多项式的特点，确定a，b；第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方；第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式；第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简．【设计意图】通过例题，让学生掌握用平方差公式分解因式的一般步骤．【例2】分解因式：（1）x4－y4；（2）a3b－ab．【分析】（1）x4＝(x2)2，y4＝(y2)2，x4－y4＝(x2)2－(y2)2，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．（2）a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解因式．【师生活动】学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流．【答案】解：（1）x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．（2）a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)．【归纳】对于二项式进行因式分解，先看有没有公因式，有公因式要先提公因式；再看能不能用平方差公式分解因式，注意必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止．【设计意图】通过例题，巩固用平方差公式分解因式的一般步骤，会综合运用提公因式法和公式法分解因