人教版八年级数学上册《分式方程（第1课时）》示范教学设计

分式方程（第1课时）教学目标1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程．2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程．3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．4．经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展分析问题和解决问题的能力，渗透转化的数学思想，体会化归思想在解方程时的作用．教学重点解分式方程的基本思路和一般步骤．教学难点检验分式方程的解的原因及方法．教学过程知识回顾1．前面我们学习了什么方程？【答案】一元一次方程和二元一次方程．【师生活动】教师提示：一元一次方程和二元一次方程都是整式方程．2．什么是一元一次方程？【答案】只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．【设计意图】带领学生复习已经学过的方程的知识，巩固基础，为本节课学习分式方程做好准备．新知探究一、探究学习【问题】1．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？【师生活动】教师出示本章引言的问题，学生独立解决，然后教师展示学生的答案．【答案】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意，得＝．【追问】为了解决引言中的问题，我们得到了方程＝．仔细观察这个方程，未知数有什么特点？【答案】未知数位于分母的位置上．【新知】方程＝的分母中含未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程．注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数都不在分母中．【设计意图】从本章引言中的轮船航行问题说起，列出分母中含未知数的方程，并指出这个方程的特点，给出分式方程的概念．【练习】判断下列式子是否是分式方程？若不是，请说明理由．（1）＝5； （2）＝1；（3）x2－x＋＝5； （4）－；（5）＋＝7； （6）－＝1．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．【答案】（1）（5）（6）是分式方程；（2）（3）（4）不是分式方程．理由：（2）（3）分母中不含未知数，不是分式方程；（4）不是方程．【归纳】分式方程的三个特征：①是方程；②方程中含分母；③分母中含有未知数．特别注意，判断一个式子是否为分式方程时，不能对式子进行约分、通分变形，更不能利用等式的性质对其进行变形．【设计意图】通过练习题，帮助学生巩固分式方程与整式方程的区别．【问题】2．解分式方程：＝．【追问】1．如何将分式方程化为整式方程？【师生活动】教师提问，学生小组讨论后回答．【答案】通过“去分母”将分式方程化为整式方程．【追问】2．如何去分母？去分母的依据是什么呢？【答案】利用等式的性质2，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．【师生活动】教师引导学生完成问题2的作答．【答案】解：方程两边同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．解得v＝6．【追问】v＝6是分式方程＝的解吗？你是怎样确定的？【答案】将v＝6代入分式方程中，左边＝＝右边，因此v＝6是原分式方程的解．【归纳】解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法．【设计意图】由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数．体会化繁为简，化未知为已知，化未学为已学的基本思想．【问题】3．解分式方程：＝．【答案】解：方程两边同乘(x－5)(x＋5)，得x＋5＝10．解得x＝5．检验：将x＝5代入原分式方程，发现这时分母x－5和x²－25的值都为0，相应的分式无意义．因此，x＝5虽是整式方程x＋5＝10的解，但不是原分式方程的解．实际上，这个分式方程无解．【问题】4．上面两个分式方程中，为什么＝①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而＝②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？【师生活动】学生分组讨论，得出结论，师生一起总结．【答案】解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解是v＝6．当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解是x＝5．当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．【归纳】解分式方程产生不适合原方程的解的原因在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解．【思考】你能总结出检验分式方程的解的方法吗？【师生活动】学生独立思考，进行作答．学生回答后，师生一起总结．【新知】一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．【设计意图】通过问题2和问题3，经过对比得出解分式方程时检验的必要性和具体的检验方法．让学生经历由特殊到一般的过程，认识到解分式方程时需要检验，并知道怎样检验．二、典例精讲【例1】解方程：＝．【师生活动】学生独立完成，教师巡查，给予辅导．【答案】解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3x－9．解得x＝9．检验：当x＝9时，x(x－3)≠0．所以，原分式方程的解为x＝9．【例2】解方程：－1＝．【师生活动】学生独立完成后，教师出示答案．师生总结解分式方程的一般步骤．【答案】解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．解得x＝1．检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．【归纳】解分式方程的一般步骤【