人教版八年级数学上册《分式的运算（第1课时）》示范教学设计

分式的运算（第1课时）教学目标1．掌握分式的乘法法则，能进行分式的乘法运算．2．掌握分式的除法法则，能进行分式的除法及乘除混合运算．3．将分式的乘除与分数的乘除进行类比，体会类比思想．4．能用分式的乘除法解决生活中的实际问题．教学重点分式乘除法的法则及其应用．教学难点分子、分母是多项式的分式乘除运算．教学过程新课导入1．一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？【师生活动】学生先独立思考，教师提出问题引导学生列出代数式．【分析】本题中的相等关系是：容器内水面的高与容器高的比＝容器内的水所占容积的比．【答案】长方体容器的高为，水面的高度为·．2．大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【师生活动】学生先独立思考，教师提出问题引导学生列出代数式．【分析】本题中“工作效率”即为“耕地速度”，单位“hm2/天”．大拖拉机工作效率为hm2/天，小拖拉机工作效率为hm2/天．【答案】大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的÷倍．【思考】观察上述两个问题中列出的式子·，÷，其中涉及分式的哪些运算？【答案】其中涉及分式的运算有：乘法运算、除法运算．【设计意图】从实际问题出发，引出分式的乘除的实际意义，体会学习分式乘除法的实际需要．新知探究一、探究学习【问题】1．计算：（1）×； （2）÷．【答案】解：（1）×＝＝；（2）÷＝×＝＝．【思考】在计算的过程中，你运用了分数的哪些运算法则？你能叙述这些法则吗？【回顾】运用了分数的乘法法则和除法法则．分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，能约分的要先约分．分数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．【问题】2．计算：（1）·； （2）÷．【答案】解：（1）·＝＝；（2）÷＝·＝＝．【思考】类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【师生活动】学生分组讨论，师生一起归纳出分式的乘除法法则．【新知】类似于分数，分式有：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．上述法则可以用式子表示为：，．【设计意图】让学生通过讨论归纳出分式的乘除法法则，培养学生的抽象、归纳能力，体会类比的数学思想．引导学生运用符号语言表达法则，加深学生对法则本身的理解，锻炼学生的数学表达能力．【练习】计算：（1）·； （2）÷．【师生活动】学生独立完成，教师巡视批改，及时纠正错误．【答案】解：（1）·＝；（2）÷＝·＝．【总结】“分式乘、除本一家，一变一倒求除法”．分式的除法运算抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母颠倒位置；如果除式是整式，应先把它的分母看成1，再把分子、分母颠倒位置．【设计意图】通过简单的练习让学生熟悉分式的乘除法运算，加深学生对分式乘除法的理解．二、典例精讲【例1】计算：（1）·；（2）÷．【师生活动】学生独立完成，教师提醒学生：运算结果要化为最简分式或整式．【答案】解：（1）·＝＝；（2）÷＝·＝－＝－．【例2】计算：（1）·；（2）÷．【答案】解：（1）·＝·＝＝；（2）÷＝－·(m2－7m)＝－＝－．【归纳】分式乘法的两种类型（1）若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，再约去公因式，化为最简分式或整式；（2）若分子、分母中有多项式，则先把多项式因式分解，再看能否约分，最后相乘．【设计意图】通过例1和例2，巩固分式的乘除法法则，培养学生的运算能力．【例3】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？【师生活动】学生分组讨论，解答问题，教师巡视，并作适当指导．【答案】解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是kg/m2．∵a＞1，∴(a－1)2＞0，a2－1＞0.由图可得(a－1)2＜a2－1．∴＜．所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．（2）÷＝·＝＝．所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．【设计意图】锻炼学生用分式乘除法解决生活中的实际问题的能力．【例4】计算：÷·．【答案】解：÷·＝··＝．【归纳】分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同：先统一为乘法，再按从左到右的顺序依次运算，有括号的先算括号里面的．【设计意图】通过例题，运用分式的乘