函数模型的应用（一）教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3函数模型的应用（第一课时）一、教学目标能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.二、教学重难点重点：利用已知的函数模型解决实际问题.难点：对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合.三、教学过程1.复习引入：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？常见函数模型(1)一次函数模型（2）二次函数模型(3)指数函数模型(4)对数函数模型(5)幂函数模型(6)分段函数模型建立函数模型解决问题的基本过程2.典例解析例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：yy0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.1（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?例题讲解问题1：用马尔萨斯人口增长模型y y0ert建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？【预设答案】人口初始量y0及年平均增长率r．解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为r，由67207 55196e9r，由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率r 0.021876．已知y0 55196，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为55196e0.021876,t0,9．【设计意图】数学建模是为了解决实际问题，在2021年全国第七次人口普查的背景下借助人口增长这一实例，让学生感受“数学建模”是非常具有现实意义的，有科学价值.问题2：所得模型与实际人口数据是否相符？【预设答案】利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较，检验所得模型与实际人口数据是否相符．解：首先我们利用人口增长模型y55196e0.021876,t0,9求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符．年份19511952195319541955195619571958计算所得人5641757665589406024361576629386433065753口总数／万人口数/万5630057482587966026661456628286456365994【教师活动】我们也可以画出函数y55196e0.021876,t0,9的图象，并根据国家统计局网2站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．【教师活动】教师通过计算机工具呈现函数图象与实际人口数据散点图．【设计意图】引导学生验证模型，体会数学建模的思维过程.问题3：如果利用所得模型y 55196e0.021876,t 0,9计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？【预设答案】将y 130000代入y 55196e0.021876,t 0,9，0.021786t即130000e0.021786t55196由计算工具得 t 39.15．那么大约在1950年后的第40年（即1990年）我国人口达到13亿．问题4：事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？【预设答案】因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，所以得到的结果与实际不符的情况．【教师活动】在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据，探究我国人口变化的规律．【设计意图】使学生明确使用已知模型的前提条件，并正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异.例42010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？3问题1：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？学生：可以选择指数模型y kax(k R,k 0；a 0,a 1).教师：若设死亡生物体内碳14的初始含量为k，年衰减率为p(0p1)，生物死亡的年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，则y与x间有何种对应关系？学生：y k（1 p）x(k R,k 0；0 p 1,x 0)（教师强调各变量范围）【设计意图】提高学生解决问题的兴趣与好奇心.问题2：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？【预设答案】需要确定k和p教师：如何求解年衰减率p学生：用半衰期求解，阅读材料中已知碳14半衰期为5730年，代入函数关系式求解.12kk(1p)5730，解得1p573012，即p1573012.解：由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得55.2%kk（57301x）2x1即55.2%（），解得xlog0.552，257302由计算工具得x4912．因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此大坝是公元前2903年建成的．【设计意图】在探究的基础上，遵循严谨的科学原则，巩固建模的思维过程和求解步骤.3.归纳小结问题：在本节课中，我们主要研究了哪些函数模型？它们可以帮助我们解决怎样的实际问题？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？【预设答案】本节课主要学习了马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型，它们分别在人口增长以及考古研究中有重要的应用.当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变4量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值.利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用条件.【教师活动】通过本节课的学习，我们体会到函数在描述客观世界中变量关系和规律的作用，在面临实际问题时应该选择合适的函数模型刻画规律.4.当堂达标练习1、一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数2、若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A.y0.9576B.y(0.9576)100xC.y(0.9576xD.y10.04241003.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3100Q成正比,且当Q=900时,v=1.(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?