山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则的虚部为（）A. B.1 C. D.i〖答案〗A〖解析〗由题，，则，则，故的虚部为.故选：A.2.在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为，点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为，点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为，所以点关于y轴对称点的坐标为.故选：C.3.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则可能相交，平行或异面，故C错误；对于D，若，则可能相交，平行或异面，故D错误.故选：B.4.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，，所以共面，故A错误；对于B，，所以共面，故B错误；对于C，假设共面，则存在，使得，则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，所以不共面，故C正确；对于D，，所以共面，故D错误.故选：C.5.如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为，设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为，所以，在中，由，得.故选：D.6.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（）A6 B. C.24 D.44〖答案〗C〖解析〗如图，过作平面，作，连接，根据题意得，，所以，所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形，所以侧面积为.故选：.7.若△ABC为斜三角形，，则的值为（）A B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗由，可知或，又为斜三角形，所以，即，故选：A.8.已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗如图，作，垂足为，连接，因为平面，，平面，所以，所以，则或，易知，若，则，若，则.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.正方体中，点E，F分别为，的中点，则（）A.与为异面直线B.平面C.过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形D.平面〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取中点，连接，则由题意，又，故与不平行，又与无公共点，所以与异面，故A正确；对于B，连接，则由题意可知为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，连接、，由正方体性质，所以由可唯一确定一个平面，因为平面，所以平面是过点A，E，F的平面截正方体的截面，该截面为为平行四边形，故C错误；对于D，由B可知，由正方体性质，又平面，所以平面，因为平面，所以，同理平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，又由B可知，所以平面，故D正确.故选：ABD.10.已知向量在向量上的投影向量为，向量，则向量可以为（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意，所以，对于A，因为，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，因为，故C错误；对于D，因为，故D正确.故选：AD.11.已知四面体的所有棱长都等于6，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，点是棱的中点，则（）A.该四面体的高为B.该四面体的体积为C.点的运动轨迹长度为D.过的平面截该四面体内最大球的截面面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设点在底面上的射影为点，连接，则是线段的靠近点的三等分点，在等边中，，所以，，在中，，所以该四面体的高为，故A正确；对于B：，所以该四面体的体积为，故B错误；对于C：由平面知，就是与平面所成角，即，而，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹长度为，故C正确；对于D：设该四面体内切球的半径为，球心为，在截面中，取的中点，连接，则在线段上，因为，所以，因为，所以，而过的平面截该四面体内最大球的截面就是其内切球的大圆，所以该截面的面积为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N．（重力加速度g取）〖答案〗〖解析〗设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力为，又因为降落伞匀速下落，所以，所以，，所以.故〖答案〗为：.13.已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______．〖答案〗〖解析〗设，如图所示，在中，，设底面的外接圆的半径为，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，设的外心为，的外心为，则外接球的球心为的中点，所以外接球半径，所以外接球表面积为，所以，解得，所以此直棱柱的体积为.故〖答案〗为：.14.在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______．〖答案〗〖解析〗如图，取中点，连接，，，，且，又，且，平面，平面，平面，所以，面与面所成的二面角为，且在上，，又，，根据余弦定理可得．故〖答案〗为：．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．（1）证明：四边形为等腰梯形；（2）若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积．解：（1）因为，为圆台两条母线，所以，且它们都在同一个平面内，又由于圆台的上下底面都是圆，由圆的同心性和圆台的形成可知，，故四边形为等腰梯形.（2）如图所示：连接，过点作于点，则，所以由勾股定理得高，，，故剩余部分的体积.16.如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P是与的交点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）连接，因为分别是的中点，P是与的交点，所以为的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面.（2）因为，，所以是等边三角形，取的中点为，连接，则，，又因为平面底面且交线为，所以底面，因为，，，所以，所以，所以，所以取的三分之一等分点，，连接，则，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，设平面的法向量为，平面的法向量为，，令，则，所以，同理可得，，令，则，所以，所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值.17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且．（1）求B；（2）若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积．解：（1）由正弦定理得，故，因为，所以.（2）由正弦定理得，解得，因为，所以，因为B的角平分线交AC于点D，所以，由得：，即，在中，由余弦定理得，故，即，联立与，解得，负值舍去，故，解得，由三线合一可得⊥，且，，故，.18.如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．解：（1）设平面交上底面于，在圆弧上，因为上下底面平行，故，又因平面，平面，平面平面，所以，所以，由题意可知，又，平面，所以平面，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角，所以由题意，又由题意，，所以，所以，即在圆弧的中点上，所以由知点P在圆弧中点上，故，所以，因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离，又圆柱结构性质可知，平面，平面，所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为，因为，，又，所以，即点P到平面的距离为.（3）过作垂直于底面，则由上知，所以可建立如图所示的分别以为轴的空间直角坐标系，则，设，且，所以，设平面的法向量为，则，所以即，取可求得，设平面的法向量为，则，所以即，取可求得，设平面与平面的夹角为，则，且，整理得，所以，即，即，所以，所以，所以.19.如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB同一侧．（1）当时，求的长度；（2）当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；（3）证明：．解：（1）如图，取CD中点，过作与该斜截圆柱的底面圆平行且全等的圆面，交于点，与交于点，过点B作底面圆的垂线交平行圆面于点，由椭圆面过点B且与底面所成二面角为45°，则，因为所以，过作GH的垂线，交圆于J、K两点，过作交JK于点，又由圆M，因为圆M，则，又因，平面，故平面，因平面，故，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，所以，则为等腰直角三角形，，设，如图作圆所在平面的俯视图，则，由，所以，则有，所以，即，当时，.（2）当时，，由（1）可得：所以，…，则.（3）由（1）知，也即是关于