基本初等函数的导数教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2 导数的运算一、本节知识结构框图二、内容解析本节导数的运算，主要包括几个常用函数的导数，基本初等函数的导数公式，函数的和、差、积、商的导数运算法则以及简单复合函数的导数运算法则．由于求基本初等函数的导数以及推导导数的运算法则时都涉及极限的运算，而极限的具体知识对高中生是不作要求的，所以教科书对上述内容并没有进行严格的数学推导，而是先根据导数的定义求解了几个常用函数的导数，在此基础上直接给出基本初等函数的导数公式表；然后采用从特殊到一般的方法，先以具体函数的求导使学生对导数的运算法则有直观的感觉，然后给出导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则．由于复合函数的求导涉及对复合函数的自变量、中间变量、因变量的结构分析，需要两次求导的过程，所以求简单复合函数的导数是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学运算素养将得以提升．本节引言阐明本节研究思路的同时，也指出了研究的必要性：很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的，由此自然想到要计算较复杂函数的导数，是否可以先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的运算法则，这样就可以利用基本初等函数的导数和导数的运算法则来求较复杂函数的导数了．通过节引言的学习，学生可以快速地了解本节的缘起、研究路径和方法，教学时应引导学生注意节引言中对研究方法的引导．5.2.1基本初等函数的导数一、教学内容：基本初等函数的导数二、教学目标：1、掌握基本初等函数的导数公式.2、学会利用公式求一些函数的导数.三、教学重点、难点：重点：基本初等函数的导数公式及公式的推导过程.难点：基本初等函数的导数公式及公式推导过程及应用.四、教学过程设计：引导语：我们通过对几个常用函数求导，可以进一步理解导数的概念，理解求函数的导数是一种借助极限的运算，从而进一步体会极限思想．极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具，导数是一种特殊的极限，蕴含着极限的思想，理解导数的定义，对于发展同学们的数学抽象思想和正确的世界观有着重要的作用.导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数在相应点处切线的斜率，对于帮助学生理解导数的定义，提升数学能力，发展直观想象素养，有重要的作用.【复习引入】问题1求函数y fx在x x0处的导数的步骤是什么？师生活动：第一步，计算yfx0xfx0，并化简；xx第二步，若limy存在，求limy；xxx0x0第三步，得到f'x0 lim y.x 0 x设计意图：回忆导数的概念，引入本节课题.问题2 函数y fx在x x0处的导数的几何意义是什么？师生活动：函数y fx在x x0处的导数f'x0就是曲线y fx在x x0处的切线的斜率k0，即k0 limfx0 xxfx0 f'x0.x 0设计意图：导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数在相应点处切线的斜率，对于帮助学生理解导数的定义，提升数学能力，发展直观想象素养，有重要的作用.问题3 求函数y fx的导数的步骤是什么？yf(x+Dx-fx)师生活动：第一步，计算D=)(，并化简；DxDx第二步，若limy存在，求limy；xxx0x0第三步，得到f'(x)=y'=limDy.Dx®0Dx设计意图：依据导数的定义，区别f'x0、f'(x).【探究新知】探究一 函数y=f(x)=c的导数yf(x+Dx-fx)c-c因为D=)(==0,DxDxDx所以limDy=lim0=0.所以y'=limDy=0.Dx®0DxDx®0Dx®0Dx思考 若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0的物理意义是什么？如图，若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.探究二 函数y=f(x)=x的导数Df()-f()(x+Dx)-x因为y=x+Dxx==1,DxDxDx所以limDy=lim1=1.Dx®0Dx Dx®0所以y'=limDy=1.Dx®0Dx思考 若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=1的物理意义是什么？如图，若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.探究三 函数y=f(x)=x2的导数因为D(x+Dx)-f()()y=fx=x+Dx2-x2DxDxDx()=x2+2x×Dx+Dx2-x2Dx=2x+Dx,所以limDy=lim(2x+Dx)=2x.Dx®0Dx Dx®0所以y'=limDy=2x.Dx®0Dx思考y'=2x的几何意义是什么？如图，y'=2x表示函数y=x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y'=2x表明：当x<0时，随着x的增加，y'越来越小，y=x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，y'越来越大，y=x2增加得越来越快.思考 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x的物理意义是什么？y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速直线运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.探究四 函数y=f(x)=x3的导数因为D()-f()()y=fx+Dxx=x+Dx3-x3DxDxDxx3+3x2×Dx+3x×D(x)2+(Dx)3-x3Dx=3x2+3x×Dx+Dx2,所以Dyé22ù2lim=lim3x+3x×Dx+Dx)=3x.DxDx®0Dx®0ë(û所以y'=limDy=3x2.Dx®0Dx思考 y'=3x2的几何意义是什么？如图，y'=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.探究五 函数y=f(x)=1x的导数yf(x+Dx-fx)1-1x+Dxx==因为DxDxDx=x-(x+Dx)=-1,x(x+DxDxx2+x×Dx)Dyæ1ö1所以lim=limç-÷=-.Dx2+x×Dxx2Dx®0Dx®0èxø所以y'=limDy=-1.DxDx®0x2函数y=f(x)=的导数探究六x因为yf(x+Dx-fx)xxx==DxDxDx=(x+Dx-x)(x+Dx+x)Dx(x+Dx+x)1=x+Dx+x,所以limDy=lim1=1.Dx®0DxDx®0x+Dx+x2x所以y'=limDy=1.Dx®0Dx2x【知识梳理】6个函数中，除第1个是常函数外，其余5个都是哪一类基本初等函数？都是幂函数.思考你能发现它们的导数f'(x)与函数f(x)之间的关系吗？f(x)=xa(aÎQ,且a¹0),则f'(x)=axa-1.还有哪些基本初等函数？它们的导数又是什么？指数函数、对数函数、三角函数.实际上，对于其它的基本初等函数，我们确实可以根据导数的定义求其导数的，但是由于我们目前的知识结构还不够完善，求导数的计算过程还有些困难，因此这些函数的导数我们直接给出，今后可以直接使用.基本初等函数的导数公式若f(x)=c(c为常数)，则f¢(x)=0；若f(x)=xa(aÎQ，且a¹0)，则f¢(x)=axa-1；若f(x)=sinx，则f¢(x)=cosx；若f(x)=cosx，则f¢(x)=-sinx；若f(x)=ax(a>0，且a¹1)，则f¢(x)=axlna；特别地，若f(x)=ex，则f¢(x)=ex；若f(x)=logax(a>0，且a¹1)，则f¢(x)=xln1a；特别地，若f(x)=lnx，则f¢(x)=1x；【典例分析】例1求下列函数的导数：2（2）ylog2x.（1）yx3；分析：分辨函数的类型，直接应用相应的导数公式求导数.'2'22121''1解：（1）yx3x;(2)33xln2例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为p(t)=po(1+5%)t其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？分析：由函数的解析式可以看出，这是一个指数型函数，底是1.05，因此p(t)是一个增函数，所以价格随着时间的增长而上涨.所以价格上涨的速度就是这个函数的导数值.因此，本题需要先求出p(t)的导函数，再求出t=10时的导数值.解：根据基本初等函数的导数公式表，有p't 1.05tln1.05.所以p'10 1.0510ln1.05 0.08.所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.【课堂练习】1.求下列函数的导数：x(1)y＝x(x＞0)；(2)y＝sin(π－x)；(3)y＝log1x3解:(1)∵y＝x＝x(x＞0)，∴y′＝(x)′＝1.x2x(2)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx.1 1(3)y′＝(log1x)′＝ 1＝－xln3.3 xln32.画出函数y=1的图象.根据函数y=1的图象，描述它的变化情况.求出曲线xx=1x在点(1,1)处的切线方程.如图,结合函数图象及其导数y'=-x12发现，当x<0时，随着x的增加，函数y=1减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数y=1减少得越xx来越慢.1根据导数的几何意义，函数y=x在x=1处的导数就是曲线在点(1,1)处切线的斜率.因为y'=-x12，所以函数在x=1处的导数y'x=1=-112=-1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率为-1，在点(1,1)处的切线方程为x+y-2=0.【课堂小结】1.对于基本初等函数导数公式需要注意以下几点（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．1（3）要特别注意“x与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数.2.本节课的地位和作用（1）本节课巩固了用定义求导数的方法，为后续学习奠定了基础；（2）本节课与导数概念的产生背景相呼应，巩固了导数的几何意义和物理意义，更深刻地认识了导数的内涵，逐渐养成应用数学知识解决实际问题的习惯；（3）提升数学运算的数学核心素养.【布置作业】1.教材75页2、3、4.已知曲线y=lnx，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．求曲线y=x2过点P(3,5)的切线方程.【目标检测设计】一、选择题111．已知函数f(x)=，则f¢ç÷=（）x2è2øA．-1B．-1C．-8D．-16482．已知f(x)=cos30o，则f¢(x)的值为（）11A．-B．C．-3D．02223．已知函数f(x)=x3，f¢(x)是f(x)的导函数，若f¢(x0)=12，则x0=（）B．-2±±A．2C．2D．4.曲线f(x)=1在点P处的切线的倾斜角为3