等差数列的判定与实际应用 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

思维提升

已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.解法一根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.法二由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.等差数列项的常见设法如果三个数成等差数列，可根据项的对称性把这三个数设为a－d，a，a＋d；如果四个数成等差数列，可根据项的对称性把这四个数设为a

－3d，a－d，a＋d，a＋3d；如果五个或五个以上的数成等差数列，可根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，把这些数设为a1，a1＋d，a1＋2d，….思维升华（1）等差数列及等差中项的定义（2）等差数列的通项公式

（3）通项公式的应用an＋1－an＝1（n∈N*），an＝a1＋(n－1)d（n∈N*）课前回顾函数与方程思想4.2.2等差数列的判定与实际应用1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.掌握等差数列的判断与证明方法.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.学习目标当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？情境导入(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2).(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2).(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d.一、等差数列的判定与证明问题1如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？提示不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.(2)求an.跟踪训练1(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.

证明

因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，

则an＋1－an＝d.

从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，

所以数列{bn}也是等差数列.证明由于an＋1＝2an＋2n＋1，∴an＝n·2n.跟踪训练2

已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝

.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.跟踪训练3(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.判断一个数列是否为等差数列的方法(1)定义法：aa＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)(2)定义变形法：验证数列的通项an是否满足an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*).(3)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)

(4)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)

注意：要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.思维升华判断等差数列的方法(1)定义法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)思维升华例3

某公司购置一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，经过一年其价值就会减少d万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.二、等差数列的实际应用跟踪训练3

《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“