山东省部分学校2023-2024学年高一下学期联合测评数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省部分学校2023-2024学年高一下学期联合测评数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第―象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.2.如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，所以，可得，所以.故选：C.3.已知向量满足，且，若，则（）A B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，，所以，又，所以，即，因为，所以.故选：A.4.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，面积为，则（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗因为，可得，又因且面积为，可得，解得，则，又由余弦定理得，所以.故选：D.5.有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）A.第75百分位数 B.平均数 C.极差 D.众数〖答案〗A〖解析〗计算第75百分位数：，则取第8位数据，即该组数据的第75百分位数为5；平均数为；极差为；众数为3，综上，第75百分位数最大.故选：A.6.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，则不获一等奖的概率分别是，，，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：，这三人都获得一等奖的概率为，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.故选：D.7.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，取中点，连接，由已知，、分别为、中点，因为是直三棱柱，所以，且，所以其，所以四边形为平行四边形，又，所以为矩形，所以，又，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为；，在中，，所以，设角，则有，因为四边形为平行四边形，所以，又因为因为是直三棱柱，所以，且，所以，，又因为平面，平面，所以，所以，即，解得，所以点到平面的距离是.故选：B.8.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下错误的是（）A.与所成角为 B.点P为线段的中点C.三棱锥的体积为 D.平面截正方体所得截面的面积为〖答案〗C〖解析〗对于A，连接，因为分别为的中点，所以，所以即为与所成角的平面角，在中，，故，所以与所成角为，故A正确；对于B，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，又平面，平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为平面，平面，所以平面平面，而为平面和平面的公共边，所以平面和平面重合，所以点即为的交点，所以点P为线段的中点，故B正确；对于C：因为平面，所以点到平面的距离相等，所以，故C错误；对于D：分别取，，的中点为，连接，在正方体中，，所以，所以四点共面，同理可证：共面，在棱长为2的正方体中，所以.同理可求：，所以平面截正方体所得截面为正六边形，边长为，面积为，故D正确.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则是直角三角形C.若是等腰三角形，则D.若，则的面积最大值为3〖答案〗BCD〖解析〗因为，由正弦定理得，对于A中，由余弦定理得，所以，所以A错误；对于B中，由，因为，可得，由余弦定理得，所以，则，所以，所以是直角三角形，所以B正确；对于C中，若是等腰三角形，显然，当时，则有成立，此时不能构成三角形，所以只能，由余弦定理得，在中，可得，所以C正确；对于D中，由余弦定理得，所以，则，当时，取得最大值，所以D正确.故选：BCD.10.下列说法错误是（）A.已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件B.已知向量，若，则C.若向量，则在方向上的投影向量坐标为D.在中，向量与满足，则为等边三角形〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由的夹角为锐角，得且不共线，则，解得且，因此“的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A错误；对于B，由量，，得，解得，B错误；对于C，由向量，得，因此在方向上的投影向量为，C正确；对于D，在中，，而，因此，所以不一定为等边三角形，D错误.故选：ABD.11.已知事件满足，，则下列结论正确的是（

）A.如果，那么B.如果，那么，C.如果与互斥，那么D.如果与相互独立，那么〖答案〗CD〖解析〗对于选项A，设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，记事件A=“球编号是偶数”，事件B=“球的编号是1，2，3”，事件C=“球的编号是奇数”满足，但是选项A错误；对于选项B，如果，那么，选项B错误；对于选项C，如果与互斥，那么，所以选项C正确；对于选项D，如果与相互独立，那么，所以选项D正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为_______.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故有，即圆锥母线长为，又圆锥的表面积为，解得，所以圆锥的高为.故〖答案〗为：.13.在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为.故〖答案〗为：.14.定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为____________．〖答案〗〖解析〗由题可知，化简得，即，C为三角形内角，解得，由余弦定理得，所以，时等号成立，所以边c的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，在同一平面上，且．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求k的值．解：（1）∵，设，∵，即，，或.（2），，，，，，即，即，则.16.在中，角的对边分别是．（1）求证：；（2）若，面积为1，求边的长．解：（1）证明：根据，以及，，得，，所以，即，根据，得，所以，由正弦定理，得，因此．（2）由（1）知，，，，所以，得，，又，所以由余弦定理得．17.新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.（1）写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；（2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.解：（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以.（2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，事件“乙符合该大学某专业报考条件”，事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，由（1）可知，，所以.18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边.（1）若，求A的大小；（2）若BC边上的高等于，且，求的取值范围；（3）求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有.解：（1）因为，所以由正弦定理可得，整理得，即，因为，，所以，因为，所以.（2）因为边上的高等于，由三角形面积公式得，即，又由余弦定理可得，，从而有，所以，因为，所以，所以，，所以的取值范围为.（3）令，所以当时，，所以所以，所以，所以①，或②，因为，又，所以，由①可得，，所以，所以，由②可得，所以，由对勾函数性质可知，所以，综上所述：实数的取值范围为.19.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得平面，并说明理由；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置；①请求出的值；②若正四棱锥模型的棱长均为6，求直线与平面α所成角的正弦值.解：（1）由已知得，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，如图，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有，则根据三角形相似，必有，因平面，平面，易得EF∥平面.（2）①延长FE，与的延长线交