河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某汽车启动阶段的位移函数为，则汽车在时的瞬时速度为（）A.10 B.14 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗设瞬时速度为，则由题意得：.又，则.故选：C2.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A.6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2步进行分析：

①将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，

②将剩下的3张参观券分给其他三人，有种分法，

则有种不同的分法；

故选:B．3.设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（）X12PA. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分布列性质可得,即，解得.又，解得，故.故选:B.4.已知一组观测值，，…，满足，若恒为0，则（）A.0 B.0.5 C.0.9 D.1〖答案〗D〖解析〗由恒为0，知恒成立，即恒成立，故.故选：D．5.的展开式中的系数为（）A. B.4 C. D.6〖答案〗D〖解析〗，只需求展开式中的含项的系数，的展开式的通项为，令，得，展开式中的系数为，故选：D．6.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（）A.甲班的平均分比乙班的平均分高B.相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散C.甲班108分以上的人数约占该班总人数的D.乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等〖答案〗D〖解析〗对于A，由图知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A错误；对于B，因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误；对于C，甲班的最大值为，则，则,故C错误；对于D，乙班的最大值为，则，则，又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D正确.故选：D.7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）A.51种 B.45种 C.48种 D.42种〖答案〗A〖解析〗若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有种情况，若这两个人选报的另外的学科不同，则共有种情况，若三个人全部都报名数学竞赛，则共有种情况，所以不同的参赛方案有：种情况，故选：A．8.已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以函数在区间上单调递增.所以当时，恒成立，即恒成立，记，则，当，即时，易知，所以在区间上单调递增，所以，则有，满足题意；当，即时，令，得，时，时，所以当时，有最小值，解，得.综上，k的取值范围为.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.对于独立性检验，的值越大，说明两事件的相关程度越大B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则D.通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势〖答案〗ABC〖解析〗对于，根据独立性检验的性质知，的值越大，说明两个事件的相关程度越大，故A正确；对于，由，两边取自然对数，可得，，则，因为，所以则故B正确；对于，由于回归直线过点，故C正确；对于，通过回归直线及回归系数，可预测变量的取值和变化趋势，故D错误.故选：ABC.10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详析九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A.B.记第n行的第i个数为，则C.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等D.第30行中第12个数与第13个数之比为12∶19〖答案〗BD〖解析〗对于A，由可得:,故A错误；对于B，，故B正确；对于C，第2023行的二项式系数个数为偶数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故C错误；对于D，第30行中第12个数与第13个数之比为，故D正确.故选：BD.11.某大学文学院有两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室的概率为；他第二天去自习室的概率为；如果他第一天去自习室，则第二天去自习室的概率为.下列说法正确的是（）A.小王两天都去自习室的概率为B.小王两天都去自习室的概率为C.小王两天去不同自习室的概率为D.如果他第二天去自习室，则第一天去自习室的概率为〖答案〗BC〖解析〗设小王第一天去自习室A的事件为，第二天去自习室A的事件为，设小王第一天去自习室的事件为，第二天去自习室的事件为，由题意，，，又，所以，则，所以B正确；因为，所以，所以A错误；设小王两天去不同自习室的事件为C，则，所以C正确；，所以D错误；故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是，则__________．〖答案〗1〖解析〗∵编号为的位同学随意入座编号为的个座位，

∴有123,132,213,231,312,321,共6种结果，

设与座位编号相同的学生个数为，则的可能为0,1,3，

∴的分布列为：013∴.

故〖答案〗为:1.13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量的取值集合均为，则的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，则的取值范围是__________.0101〖答案〗〖解析〗根据已知公式，得，，令，开口向下，对称轴为，在上，，则，则，故〖答案〗为：14.若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由可得，由可得，设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，所以，即，可得或，因为，，则，，即，，，令，可得，由可得；由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）求f（x）在处的切线方程；（2）求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．解：（1）由题意知，，即切点为（1，－3），又，所以所以f（x）在处的切线方程为：，即；（2），令得；令得或，故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，又，∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1916.已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由二项式系数和为512知，，故，所以.（2）在中，令，可得，令，可得，所以.（3）在中，两边求导可得，令,可得，所以.17.在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列列联表．并依据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；（结果均保留到小数点后三位）上课转笔上课不转笔合计优秀合格20合计55100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为，当取最大值时，求k的值．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）零假设：成绩优秀与上课转笔无关，

列联表如下：上课转笔上课不转笔合计优秀52530合格502070合计5545100，

根据小概率值独立性检验，我们推断不成立，因此认为成绩优秀与上课转笔有关．（2）100个人中优秀的人数为，

则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格；

由题意的可能值为2,3,4,5,,,,,则X的分布列为:X2345P所以.（3）由题意可知，则，,

解得.又,所以，

则当时，取最大值．18.一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t（分钟）和答对人数y的统计表格如下：时间t（分钟）102030405060708090100答对人数y9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7时间t与答对人数y和的散点图如下：附：，，，，，对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．请根据表格数据回答下列问题：（1）根据散点图判断，与哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）判断结果，建立y与的回归方程；（a，b或c，d的计算结果均保留到小数点后三位）（3）根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：，）．解：（1）观察两个散点图知，更适宜作为线性回归类型.（2）依题意，，，由（1）知，，根据最小二乘法得：，，于是，因此y与的回归方程.（3）依题意，，即，则，而，于是，解得，所以要想答对人数不少于75人，至多间隔19分钟需要重新记忆一遍.19.对于正实数a，，我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：．（1）