江苏省泰州市2024届高三下学期四模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2024届高三下学期四模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即命题“”的否定为“”.故选：B.2.已知为虚数单位，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数有意义，等价于，解得，故函数的定义域为.故选：A.4.已知向量，向量在上的投影向量为，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因向量在上的投影向量为，由题意，，解得.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，又，所以，所以，综上，.故选：C.6.已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于在上，故，即，所以.根据抛物线的定义，就是点到直线的距离，从而该圆的半径为.由于圆心到轴的距离为，故该圆被轴截得的弦长为.从而据已知有，故，解得.所以该圆的半径为，故面积为.故选：C.7.已知等差数列的公差大于0且，若，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，,解得.故选：B．8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理得，所以，又因为，所以，所以，即.所以，显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），所以，当且仅当，即取等号.所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和平面，则下列命题中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，，一定有正确．对于B，如图，在正方体中，平面平面，平面，但平面，B错误；对于C，一定有，C正确．对于D，正方体中，平面，平面，但平面与平面不平行，错误，故选：．10.定义在上的函数满足，则（）A. B.C.为奇函数 D.单调递增〖答案〗BCD〖解析〗由题意，在中，A和B项，当时，，解得：或，当时，则，由于具有任意性，故不成立，∴，A错误，B正确；C项，当时，，∵，∴为奇函数，且，C正确；D项，由C项可知，故为增函数，D正确.故选：BCD.11.已知椭圆经过点，且离心率为．记在处的切线为，平行于OP的直线与交于A，B两点，则（）A.C的方程B.直线OP与的斜率之积为-1C.直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形〖答案〗ACD〖解析〗椭圆方程为：，故A正确；如图，因为点在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：，则，所以，所以，故B错误；，则为等腰三角形，故C正确；，消可得，与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式中存在常数项，则的值可以是______（写出一个值即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一，满足的即可）〖解析〗二项式展开式的通项为（且），令，则，又且，所以故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，满足的即可）.13.已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为______．〖答案〗〖解析〗正方体的体对角线长为，面对角线长为，因为，以为球心的球与面ABCD，面，面都没有交点，记球面与上底面交于M，N两点，则，因为为锐角，所以，同理，所以所以，同理在面和面内轨迹长都是，所以，球面与正方体表面交线的长度之和为．14.数列满足，，其中为函数的极值点，则______.〖答案〗〖解析〗为函数的极值点，，则（*），因则由可得，将（*）代入得，，因在R上递增，故有则而，两边取自然对数可得，于是，又由，两边取自然对数可得，，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2.（1）记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望；（2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率．解：（1）X的可能值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：01230.6480.3060.0440.002期望．（2）记事件为“车间停工”，事件为型机床发生故障”，，，因此，所以某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率为．16.如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线．（1）证明：；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值．（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以．又平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）解：因为，所以当三棱锥体积最大时，最大．由（1）可知平面，因为面，所以．又，所以，当且仅当时取等号，即当最大时，．法1：综合法如图，作于，连结AH.由（1）可知平面，因为面，所以．又平面，所以平面．因此，AC与平面所成的角等于．因为平面平面，所以．在Rt中，，所以，因此,在Rt中，．所以AC与平面所成角的正弦值．法2：向量法在平面内，作交于，因为平面ABC，所以平面ABC．分别以DC，DA，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.则．设平面的法向量为，易得，可取．因，则，所以AC与平面所成角的正弦值等于．17.函数的图象在处的切线为.（1）求的值；（2）求在上零点的个数.解：（1）因为，所以，所以切线斜率为，即，所切线方程为又，所以切点坐标为，代入得，解得.（1）由（1）得，令，则，当时，恒成立，所以在上递增，所以，因此在无零点；当时，恒成立，所以单调递增，又，所以在上存在唯一零点，当单调递减；当单调递增；又，，因此在上仅有1个零点；综上，在上仅有1个零点.18.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，满足，且到的渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知P，Q是轴上异于原点的两点，满足，直线分别交于点，直线的交点为．①直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由；②记和的面积分别为．若，求直线MN方程.解：（1）由条件得，即；渐近线方程为，则，又，所以．所以的方程为．（2）①设．联立得，所以，且，法1：由条件易得，即，又，所以，因此，即，整理得，所以，整理得，解得或2．当时，直线MN过点，与题意不符，所以，因此直线过定点．法2：设，则，所以，由求得；由求得所以，则MN方程：，整理得：即，所以直线MN经过点．②由①得．联立与，解得于是解得或1，所以直线的方程为或．19.已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．（1）若数列等差数列，且，求证：数列具有性质；（2）设数列的各项均为正数，且具有性质．①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；②求的最小值．（1）证明：设等差数列的公差为，由，得，解得，则，于是，即，所以数列具有性质．（2）解：①由数列具有性