湖南省邵阳市2024届高三第三次联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省邵阳市2024届高三第三次联考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗，，．故选：B．2.已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，所以图中阴影部分表示的集合或.故选：D.3.“”是“函数（且）在上单调递减”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若，则的图象为：可知在上单调递增；若，则的图象为：可知在上单调递减；综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C．4.下列函数对于任意，都有成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗满足，则函数为上凸函数，对于A，的图象是上凸的，符合题意；对于B，的图象是下凸的，不符合题意；对于C，的图象是下凸的，不符合题意；对于D，的图象是下凸的，不符合题意；故选：A5.已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（）A.0 B. C.1 D.0或1〖答案〗C〖解析〗，，所以曲线在点处的切线为：，即．联立与，得，依题意可知，所以或1．当时，不是抛物线，舍去．故选：C.6.甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，由题意得，，，．因为，所以．故选：D．7.已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可得：，则，由直线与圆有公共点，则点到直线的距离，所以，由离心率．故选：B．8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（）A.不为周期函数 B.的图象不关于点对称C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数的图象关于点对称，所以，即，则的图象关于点对称，B选项错误．由，得．令，则，由，得的图象关于直线对称．又的图象关于点对称，则，所以，即，则可得的图象关于点对称，故为周期函数，且周期为8，，所以，，D选项错误．又，则，所以，由得：，故为周期函数，A选项错误．由，两边求导得：，由得：，令得：，利用的周期为8，则，C选项正确．故选：C．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若角的终边过点，则角的集合是B.若，则C若，则D.若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是〖答案〗ABC〖解析〗因为角的终边过点，为第一象限角，所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，所以角的集合是，故A选项正确；因为，所以B选项正确；因为，所以C选项正确；设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．故选：ABC.10.如图所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使平面C.不存在点，使平面D.经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心〖答案〗AD〖解析〗三棱锥中，底面的面积为定值，由平面平面可知，平面上任意一点到平面的距离都相等，则可得三棱锥的体积为定值．故A选项正确；在正方体中，，平面，且，所以平面，若存在点使得平面，则与重合或平行，显然这样的点不存在，故B选项错误；在正方体中，，平面，平面，所以平面，当点与重合时，为，则存在点使得平面，故C选项错误；因为正方体中，平面，由题可得平面，所以，又因为，，平面，所以平面，平面，则．当与重合时，．在正方形中，则可得为与的交点，即为上底面的中心，故D选项正确．故选：AD.11.英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（）A. B.（精确到小数点后两位）C. D.当时，〖答案〗BD〖解析〗由，，则有，故A选项错误．由，则，又（精确到小数点后两位），故B选项正确．，，则有，故C选项错误．当时，令，则，，所以在上为增函数，则，所以在上为增函数，则，故当时，恒成立，即．故D选项正确．故选：BD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中常数项是______．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗由的展开式的通项得：，令，得，故．13.宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______．〖答案〗〖解析〗由题知：，，，即，又，，故，即．14.已知分别为三个内角的对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由及正弦定理，得，由余弦定理可知，又，．，，由余弦定理得，，与的夹角的余弦值为．又，，且，，，.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．解：（1）由，得，令，得，解得．所以的单调递增区间为.（2）令，解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示：0200单调递减1单调递增单调递减由函数有且仅有三个零点，得方程有且仅有三个不等的实数根，所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．显然，当时，；当时，．所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，故．16.如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，取的中点，连接，则.又，，四边形为平行四边形，，，即，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，又平面，.（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.则，依题意得，，，，则，，，.设平面法向量为，则取，得，．.设直线与平面所成角为，则有.直线与平面所成角的正弦值为.17.如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围．解：（1）设，则．直线的方程为，，．，．，，化简得，其中．即的方程为：．（2）抛物线的图象关于轴对称，点在上，点关于轴对称的点也在抛物线的图象上．设直线的方程为，，，则．联立方程得：，整理得．，，．设，则，．三点共线，，．即，又，．．点关于轴对称，，等边三角形，，直线的斜率，．由，得．，，又，，则点到直线的距离．设，则，且，故．在上单调递减，．即点到直线的距离的取值范围是18.某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.5.58.71.930138579.75表中，.（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.（3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：性别佩戴头盔合计不佩戴佩戴女性81220男性14620合计221840依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？参考公式：，，，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.（2）由，得，依题意得，，所以，即.（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到：，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.10.19.已知数列，，函数，其中，均为实数．（1）若，，，，，（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设数列的前项和为，求证：