福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下学期期末联合检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下学期期末联合检测数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量服从正态分布，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7〖答案〗A〖解析〗因为，，则，且，所以.故选：A.2.已知函数，则的值为（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.3.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则（）A. B. C.1 D.3〖答案〗A〖解析〗由样本数据可知解释变量与响应变量之间具有负相关性，所以又因为对应的点均在直线上，故，故A正确.故选：A4.随机变量的分布列如下:12ab若，则（）A.0 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗根据各离散型随机变量对应的概率和为1，可得，又因为，解得，所以.故选：B.5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为（）A.6 B.10 C.12 D.20〖答案〗C〖解析〗根据题意：原定5个节目之间有4个空位，从中选择2个安排互动节目即可，所以不同的插法种数为.故选：C.6.某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，，依题意，，，，则，由有：，因为，所以，所以.故选：B.7.某人在次射击中，击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件，则（）A.当时，取得最小值B.若，则的取值范围是C.若，当取最大值时，则D.当时，随着的增大而减小〖答案〗D〖解析〗对于A，，当时，取得最大值，故A错误；对于B，，若，则由于，则，由于，则，则在上单调递增.则，的取值范围是，故B错误.对于C，在20次射击中击中目标的次数，当时对应的概率，因为取最大值，所以，即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故C错误；对于D，，，，当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确；故选：D．8.已知函数，若，则实数的最大值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，所以在内的值域为.因为的定义域为，若，整理可得，令，设，则，可知对任意恒成立，若，则对任意恒成立，可知在内单调递增，则，符合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，设，则对任意恒成立，可知在内单调递减，且，则不等式的解集为，即；综上所述：，所以实数的最大值为.故选：D.9.已知，则（）A. B.C.二项式系数和为256 D.〖答案〗BC〖解析〗对于A项，，故A项错误；对于B项，令，得，故B项正确；对于C项，二项式系数和为：；故C项正确；对于D项，对二项展开式两边求导得，，令，得，故D项错误；故选：BC10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗选项A：所以故选项A正确.选项B：所以所以事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立，则故选项B错误.选项C:故选项C正确，选项D：因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立，所以故选项D正确.故选：ACD.11.设函数，则（）A.当时，直线不是曲线的切线B.若有三个不同的零点，则C.当时，存在等差数列，满足D.若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，当时，，则，因为，所以曲线在点处的切线方程为，所以A错误，对于B，因为有三个不同的零点，所以，所以，所以，所以B正确，对于C，当时，，因为，，，，，所以，因为是公差为1的等差数列，所以存在等差数列，满足，所以C正确，对于D，由，得当时，，所以在上单调递增，所以曲线上不存在4个点能构成正方形，所以，因为，所以的图象关于点对称，所以此正方形的中心为，不妨设正方形的4个顶点分别为，其中一条对角线的方程为，则，解得，所以，同理可得，由，得，化简得，根据题意可知方程只有一个正解，因为上式不成立，所以，因为，所以，得，设，则，令，由题意可知，只需要直线与函数的图象只有唯一的公共点即可，结合对勾函数图象可知，，得，所以D正确，故选：BCD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据:568912（人）1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为_____________.〖答案〗〖解析〗，，将代入中得，，解得，故，当时，，故残差.故〖答案〗为：13.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第_____________行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.〖答案〗34〖解析〗由题意可知第行第个数为，根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，有且．化简得，，联立解得，．故第34行会出现满足条件的三个相邻的数．故〖答案〗为：34.14.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为_____________.〖答案〗2〖解析〗由，则，，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知点在直线上，所以，，，则，，，因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，由题意可知，，故整数的最小值为2.故〖答案〗为:2四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示:第天12345高度1.31.72.22.835（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；（2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度.参考数据:.参考公式:相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.解：（1）由，，，所以，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．（2）由题意可得：，所以关于的回归直线方程为．当时，，由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5.16.定义:若函数与的图象在区间上有且仅有一个公共点，则称函数与在区间上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数.（1）当，判断函数在点处的切线与函数是否在R上单交，若是，并求出“单交点”的坐标;若不是，说明理由?（2）若函数与在上存在“单交点”，求的值.解：（1），，，故在点处的切线方程为，时，，联立与得，，解得，故函数在点处的切线与函数在R上单交，当时，，故单交点坐标为；（2）令，定义域为，令，即，故，，令，则，，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，且，故在处取得极小值，也是最小值，且，若函数与上存在“单交点”，故.17.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：年龄因素对该程序的态度合计不喜欢该程序喜欢该程序青少年7中老年1630合计21注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;（2）在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.附:0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根据题意可得列联表如下；性别不喜欢该程序喜欢该程序合计青少年72330中老年141630合计213960零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序无关；根据列联表数据计算可得χ2=根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．（2）由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率，可知，所以，．（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：，，，故所求分布列为Y0123P可得18.已知，（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性;（3）设，当时，证明:.解：（1）由题意可知：的定义域为，若，则，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）因为，可知的定义域为，且，若，则，可知在内单调递增；若，则，可知有2个实根，，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；综上所述：若，在内单调递增；若，在内单调递减，在内单调递增.（3）当时，则，可得对任意的，则，则12m-nm令，则，设Ft=t-1可知在内单调递增，则Ft>F1=0，即可得12即32m-nh19.近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒（这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉），每款数量足够多，购买规则及概率规定如下:每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.（1）现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为，证明:;（2）设首次出现连续次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为，（i）求;（ii）求.〖提示〗:求的方式:先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的