2024年北师大版数学八年级上册知识点总结

北師大版《数學》（八年级上册）知识點總結勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理假如三角形的三边長a，b，c有关系，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股数：满足的三個正整数，称為勾股数。实数壹、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数零有限小数和無限循环小数实数负有理数正無理数無理数無限不循环小数负無理数2、無理数：無限不循环小数叫做無理数。在理解無理数時，要抓住“無限不循环”這壹時之，归纳起来有四类：（1）開方開不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简後具有π的数，如+8等；（3）有特定构造的数，如0.…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝對值1、相反数实数与它的相反数時壹對数（只有符号不壹样的两個数叫做互為相反数，零的相反数是零），從数轴上看，互為相反数的两個数所對应的點有关原點對称，假如a与b互為相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、绝對值在数轴上，壹种数所對应的點与原點的距离，叫做该数的绝對值。（|a|≥0）。零的绝對值是它自身，也可當作它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。3、倒数假如a与b互為倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于自身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原點、正方向和單位長度的直线叫做数轴（画数轴時，要注意上述规定的三要素缺壹不可）。解題時要真正掌握数形結合的思想，理解实数与数轴的點是壹壹對应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：壹般地，假如壹种正数x的平方等于a，即x2=a，那么這個正数x就叫做a的算术平方根。尤其地，0的算术平方根是0。表达措施：记作“”，讀作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有壹种，零的算术平方根是零。2、平方根：壹般地，假如壹种数x的平方等于a，即x2=a，那么這個数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表达措施：正数a的平方根记做“”，讀作“正、负根号a”。性质：壹种正数有两個平方根，它們互為相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。開平方：求壹种数a的平方根的运算，叫做開平方。注意的双重非负性：03、立方根壹般地，假如壹种数x的立方等于a，即x3=a那么這個数x就叫做a的立方根（或三次方根）。表达措施：记作性质：壹种正数有壹种正的立方根；壹种负数有壹种负的立方根；零的立方根是零。注意：，這阐明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数不小于零，负数不不小于零，正数不小于壹切负数；数轴上的两個點所示的数，右边的總比左边的大；两個负数，绝對值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用措施（1）数轴比较：在数轴上表达的两個数，右边的数總比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝對值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平措施：设a、b是两负实数，则。五、算术平方根有关计算（二次根式）1、具有二次根号“”；被開方数a必须是非负数。2、性质：（1）（2）（3）（）（4）（）3、运算成果若具有“”形式，必须满足：（1）被開方数的因数是整数，因式是整式；（2）被開方数中不含能開得尽方的因数或因式六、实数的运算（1）六种运算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）实数的运算次序先算乘方和開方，再算乘除，最终算加減，假如有括号，就先算括号裏面的。（3）运算律加法互换律加法結合律乘法互换律乘法結合律乘法對加法的分派律图形的平移与旋转壹、平移1、定义在平面内，将壹种图形整体沿某方向移動壹定的距离，這样的图形运動称為平移。2、性质平移前後两個图形是全等图形，對应點连线平行且相等，對应线段平行且相等，對应角相等。二、旋转1、定义在平面内，将壹种图形绕某壹定點沿某個方向转動壹种角度，這样的图形运動称為旋转，這個定點称為旋转中心，转動的角叫做旋转角。2、性质旋转前後两個图形是全等图形，對应點到旋转中心的距离相等，對应點与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。四边形性质探索壹、四边形的有关概念1、四边形在同壹平面内，由不在同壹直线上的四条线段首尾顺次相接构成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。6、设多边形的边数為n，则多边形的對角线共有条。從n边形的壹种顶點出发能引（n-3）条對角线，将n边形提成（n-2）個三角形。二、平行四边形1、平行四边形的定义两组對边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的對边平行且相等。（2）平行四边形相邻的角互补，對角相等（3）平行四边形的對角线互相平分。（4）平行四边形是中心對称图形，對称中心是對角线的交點。常用點：（1）若壹直线過平行四边形两對角线的交點，则這条直线被壹组對边截下的线段的中點是對角线的交點，并且這条直线二等分此平行四边形的面积。（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的鉴定（1）定义：两组對边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组對角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组對边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：對角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：壹组對边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，壹条直线上的任意壹點到另壹条直线的距离，叫做這两条平行线的距离。平行线间的距离到处相等。5、平行四边形的面积S平行四边形=底边長×高=ah三、矩形1、矩形的定义有壹种角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）矩形的對边平行且相等（2）矩形的四個角都是直角（3）矩形的對角线相等且互相平分（4）矩形既是中心對称图形又是轴對称图形；對称中心是對角线的交點（對称中心到矩形四個顶點的距离相等）；對称轴有两条，是對边中點连线所在的直线。3、矩形的鉴定（1）定义：有壹种角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四边形是矩形（3）定理2：對角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=長×宽=ab四、菱形1、菱形的定义有壹组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，對边平行（2）菱形的相邻的角互补，對角相等（3）菱形的對角线互相垂直平分，并且每壹条對角线平分壹组對角（4）菱形既是中心對称图形又是轴對称图形；對称中心是對角线的交點（對称中心到菱形四条边的距离相等）；對称轴有两条，是對角线所在的直线。3、菱形的鉴定（1）定义：有壹组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：對角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边長×高=两条對角线乘积的二分之壹五、正方形（3~10分）1、正方形的定义有壹组邻边相等并且有壹种角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，對边平行（2）正方形的四個角都是直角（3）正方形的两条對角线相等，并且互相垂直平分，每壹条對角线平分壹组對角（4）正方形既是中心對称图形又是轴對称图形；對称中心是對角线的交點；對称轴有四条，是對角线所在的直线和對边中點连线所在的直线。3、正方形的鉴定鉴定壹种四边形是正方形的重要根据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边長為a，對角线長為bS正方形=六、梯形（壹）1、梯形的有关概念壹组對边平行而另壹组對边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，壹般把较短的底叫做上底，较長的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。2、梯形的鉴定（1）定义：壹组對边平行而另壹组對边不平行的四边形是梯形。（2）壹组對边平行且不相等的四边形是梯形。（二）直角梯形的定义：壹腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。壹般地，梯形的分类如下：壹般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（2）等腰梯形同壹底上的两個角相等，同壹腰上的两個角互补。（3）等腰梯形的對角线相等。（4）等腰梯形是轴對称图形，它只有壹条對称轴，即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的鉴定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同壹底上的两個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角线相等的梯形是等腰梯形。（选择題和填空題可直接用）（四）梯形的面积（1）如图，（2）梯形中有关图形的面积：①；②；③七、有关中點四边形問題的知识點：（1）顺次连接任意四边形的四边中點所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中點所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中點所得的四边形是矩形；（4）顺次连接等腰梯形的四边中點所得的四边形是菱形；（5）顺次连接對角线相等的四边形四边中點所得的四边形是菱形；（6）顺次连接對角线互相垂直的四边形四边中點所得的四边形是矩形；（7）顺次连接對角线互相垂直且相等的四边形四边中點所得的四边形是正方形；八、中心對称图形1、定义在平面内，壹种图形绕某個點旋转180°，假如旋转前後的图形互相重叠，那么這個图形叫做中心對称图形，這個點叫做它的對称中心。2、性质（1）有关中心對称的两個图形是全等形。（2）有关中心對称的两個图形，對称點连线都通過對称中心，并且被對称中心平分。（3）有关中心對称的两個图形，對应线段平行（或在同壹直线上）且相等。3、鉴定假如两個图形的對应點连线都通過某壹點，并且被這壹點平分，那么這两個图形有关這壹點對称。九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：位置确实定壹、在平面内，确定物体的位置壹般需要两個数据。二、平面直角坐標系及有关概念1、平面直角坐標系在平面内，两条互相垂直且有公共原點的数轴，构成平面直角坐標系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右為正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上為正方向；x轴和y轴统称坐標轴。它們的公共原點O称為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描述坐標平面内點的位置，把坐標平面被x轴和y轴分割而成的四個部分，分别叫做第壹象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的點（坐標轴上的點），不属于任何壹种象限。3、點的坐標的概念對于平面内任意壹點P,過點P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴對应的数a，b分别叫做點P的横坐標、纵坐標，有序数對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表达，另壹方面序是横坐標在前，纵坐標在後，中间有“，”分開，横、纵坐標的位置不能颠倒。平面内點的坐標是有序实数對，當時，（a，b）和（b，a）是两個不壹样點的坐標。平面内點的与有序实数對是壹壹對应的。4、不壹样位置的點的坐標的特性（1）、各象限内點的坐標的特性點P(x,y)在第壹象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限（2）、坐標轴上的點的特性點P(x,y)在x轴上，x為任意实数點P(x,y)在y轴上，y為任意实数點P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同步為零，即點P坐標為（0，0）即原點（3）、两条坐標轴夹角平分线上點的坐標的特性點P(x,y)在第壹、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等點P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互為相反数（4）、和坐標轴平行的直线上點的坐標的特性位于平行于x轴的直线上的各點的纵坐標相似。位于平行于y轴的直线上的各點的横坐標相似。（5）、有关x轴、y轴或原點對称的點的坐標的特性點P与點p’有关x轴對称横坐標相等，纵坐標互為相反数，即點P（x，y）有关x轴的對称點為P’（x，-y）點P与點p’有关y轴對称纵坐標相等，横坐標互為相反数，即點P（x，y）有关y轴的對称點為P’（-x，y）點P与點p’有关原點對称横、纵坐標均互為相反数，即點P（x，y）有关原點的對称點為P’（-x，-y）(6)、點到坐標轴及原點的距离點P(x,y)到坐標轴及原點的距离：（1）點P(x,y)到x轴的距离等于（2）點P(x,y)到y轴的距离等于（3）點P(x,y)到原點的距离等于三、坐標变化与图形变化的规律：坐標（x，y）的变化图形的变化x×a或y×a被横向或纵向拉長（压缩）為本来的a倍x×a，y×a放大（缩小）為本来的a倍x×（-1）或y×（-1）有关y轴或x轴對称x×（-1），y×（-1）有关原點成中心對称x+a或y+a沿x轴或y轴平移a個單位x+a，y+a沿x轴平移a個單位，再沿y轴平移a個單壹次函数壹、函数：壹般地，在某壹变化過程中有两個变量x与y，假如給定壹种x值，對应地就确定了壹种y值，那么我們称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数故意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。壹般從整式（取全体实数），分式（分母不為0）、二次根式（被開方数為非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表达法及其优缺陷（1）关系式（解析）法两個变量间的函数关系，有時可以用壹种具有這两個变量及数字运算符号的等式表达，這种表达法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的壹系列值和函数y的對应值列成壹种表来表达函数关系，這种表达法叫做列表法。（3）图象法用图象表达函数关系的措施叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的壹般环节（1）列表：列表給出自变量与函数的某些對应值（2）描點：以表中每對對应值為坐標，在坐標平面内描出對应的點（3）连线：按照自变量由小到大的次序，把所描各點用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和壹次函数1、正比例函数和壹次函数的概念壹般地，若两個变量x，y间的关系可以表到达（k，b為常数，k0）的形式，则称y是x的壹次函数（x為自变量，y為因变量）。尤其地，當壹次函数中的b=0時（即）（k為常数，k0），称y是x的正比例函数。2、壹次函数的图像:所有壹次函数的图像都是壹条直线3、壹次函数、正比例函数图像的重要特性：壹次函数的图像是通過點（0，b）的直线；正比例函数的图像是通過原點（0，0）的直线。k的符号b的符号函数图像图像特性k>0b>0y0x图像通過壹、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0y0x图像通過壹、三、四象限，y随x的增大而增大。K<0b>0y0x图像通過壹、二、四象限，y随x的增大而減小b<0y0x图像通過二、三、四象限，y随x的增大而減小。注：當b=0時，壹次函数变為正比例函数，正比例函数是壹次函数的特例。4、正比例函数的性质壹般地，正比例函数有下列性质：（1）當k>0時，图像通過第壹、三象限，y随x的增大而增大；（2）當k<0時，图像通過第二、四象限，y随x的增大而減小。5、壹次函数的性质壹般地，壹次函数有下列性质：（1）當k>0時，y随x的增大而增大（2）當k<0時，y随x的增大而減小6、正比例函数和壹次函数解析式确实定确定壹种正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定壹种壹次函数，需要确定壹次函数定义式（k0）中的常数k和b。解此类問題的壹般措施是待定系数法。7、壹次函数与壹元壹次方程的关系：任何壹种壹元壹次方程都可转化為：kx+b=0（k、b為常数，k≠0）的形式．而壹次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b為常数，k≠0）．當函数值為0時，即kx+b=0就