人教版初中数学同步讲义八年级下册第06讲 专题1 构造三角形中位线的常用方法（解析版）

第06讲专题1构造三角形中位线的常用方法方法一：连接两点构造三角形的中位线方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线方法三：利用倍长法构造三角形的中位线方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线方法一：连接两点构造三角形的中位线1．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（）A．140° B．142° C．150° D．152°【解答】解：如图，连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴BD＝2EF＝2×4＝8，EF∥BD，∴∠ADB＝∠AFE，∵∠AFE＝52°，∴∠ADB＝52°，在△BDC中，BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝52°+90°＝142°，故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．4．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是DC、AD的中点，EF⊥AB，若BC＝13，AB＝5，则EF的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：如图，连接AC，∵E、F分别是DC、AD的中点，∴EF∥AC，，又∵EF⊥AB，∴AC⊥AB，则∠BAC＝90°，∴在Rt△ABC中，，∴，故选：A．5．【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；【应用】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；【拓展】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC．【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC；【应用】连接BD，如图所示，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，∴∠ADB＝∠AFE＝45°，∵BC＝5，CD＝3，∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．∵M、H分别是AD、DC的中点，∴MH是△ADC的中位线，∴MH∥AC且MH＝AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），同理可得NH∥BD且NH＝BD．∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∵MH∥AC，NH∥BD，∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，∴∠HMN＝∠HNM，∴MH＝NH，∴AC＝BD．方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线6．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵M为BC中点，∴DM是△BCF的中位线，∴DM＝CF＝2．∴CF＝4．∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AC＝9，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，∴AB＝5．故选：B．7．如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD＝5，∴AD＝DB＝5，AE＝EB，∴点E是AB的点，∵F是AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴．∵CD＝9，DB＝5，∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，∴．故选：C．8．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（）A．2 B． C．1 D．【解答】解：如图，∵BD⊥AN，∴∠ADB＝90°．∵E是AB的中点，∴ED是斜边AB上的中线，∵AB＝6，∴ED＝AB＝3．∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线．∴EF＝BC．∵BC＝8，∴EF＝4．∴DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．故选：C．9．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长为（）A．3 B． C．9 D．【解答】解：如图，取CE的中点F，连接DF，∵BD＝DC，EF＝FC，∴DF是△CEB的中位线，∴DF＝BE＝3，DF∥BE，∵AD⊥BE，∴AD⊥DF，∴AF＝＝＝3，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AH＝HD，∵DF∥HE，∴AE＝EF＝，∴AC＝，故选：D．10．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，又∵AD⊥CF，AG⊥BE，∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，又∵BC＝7，∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，∵AC＝PC，CD平分∠ACP，∴点D是AP的中点，同理可得，点G是AQ的中点，∴DG是△APQ的中位线，∴DG＝PQ＝5，故选：B．方法三：利用倍长法构造三角形的中位线11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝3．【解答】解：连接CF并延长交AB于G，∵AB∥CD，∴∠FDC＝∠FBG，在△FDC和△FBG中，，∴△FDC≌△FBG（ASA）∴BG＝DC＝6，CF＝FG，∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，∵CE＝EA，CF＝FG，∴EF＝AG＝3，故答案为：3．12．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是8或12．【解答】解：如图，延长AD交BC延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，∵AD⊥BD于点D，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，∴∠BAD＝∠BFD，∴BF＝BA＝10，∵BD⊥AF，∴D是AF中点，∵E是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴CF＝2DE＝2×1＝2，∴BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8．如图，同样求得CF＝2，DF＝AB＝10，∴BC＝BF+FC＝12．故答案为：8或12．13．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝6，则AF＝（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴，∵AC＝6，∴，故选：B．14．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；（2）证明：三角形中位线定理．已知：如图，DE是△ABC的中位线．求证：DE＝BC，DE∥BC．证明：【解答】解：（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．（2）已知：△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE＝BC，DE∥BC，证明：如图，延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CEF中，，∴△ADE≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴AB∥CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，∴BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．故答案为：平行；等于第三边的一半；DE＝BC，DE∥BC．方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线15．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是．【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×12＝6，FG∥AC且FG＝AC＝×10＝5，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝．故答案为：．16．如图所示，在△ABC中，AB＝7，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于点F，已知CF＝11，则AC的长为（）A．15 B．14 C．13 D．12【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠DAC，取AC的中点N，连接MN，∵点M是BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴，，∴∠MNC＝∠BAC＝2∠DAC，∵MF∥AD，∴∠MFN＝∠DAC，∵∠MNC＝∠MFN+∠FMN，∴∠MFN＝∠FMN，∴，∵CF＝11，∴，∴AC＝2NC＝15，故选：A．17．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF＝3，则AB2+DC2的值是（）A．36 B．27 C．18 D．9【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM∥AB，FM∥CD，EM＝AB，FM＝CD，∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°，由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝9，∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝36．故选：A．19．如图，在△ABC