金版教程物理2025高考科学复习解决方案第八章 静电场第1讲 启智微专题3 思想方法3含答案

《金版教程(物理）》2025高考科学复习解决方案第八章静电场 高考科学复习解决方案物理思想方法3巧解电场强度的五种思维方法1．方法概述求电场强度有三个公式：E＝eq\f(F,q)、E＝keq\f(Q,r2)、E＝eq\f(U,d)，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。2．常见类型与解题思路方法一：补偿法将有缺口的带电圆环(或半球面、有空腔的球等)补全为圆环(或球面、球体等)分析，再减去补偿的部分产生的影响。已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝eq\f(4,3)πr3，则A点处场强的大小为()A.eq\f(7kQ,36R2) B.eq\f(5kQ,36R2)C.eq\f(7kQ,32R2) D.eq\f(3kQ,16R2)[答案]A[解析]由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的场强为：E整＝eq\f(kQ,（2R）2)＝eq\f(kQ,4R2)，同理，挖去前空腔处的小球体在A点产生的场强为：E割＝eq\f(kQ′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)R＋R))\s\up12(2))＝eq\f(k·\f(Q,8),\f(9,4)R2)＝eq\f(kQ,18R2)，所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强为：Ex＝E整－E割＝eq\f(kQ,4R2)－eq\f(kQ,18R2)＝eq\f(7kQ,36R2)，故A正确，B、C、D错误。【名师点睛】当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。方法二：对称法利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为()A.eq\f(kq,d2)，水平向右 B.eq\f(kq,d2)，水平向左C.eq\f(kq,d2)＋eq\f(kq,9d2)，水平向右 D.eq\f(kq,9d2)，水平向右[答案]A[解析]由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a点处产生的场强与点电荷－q在a点处产生的场强等大反向，即大小为E＝eq\f(kq,d2)，方向水平向左，则矩形薄板带负电；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的场强大小也为E＝eq\f(kq,d2)，方向水平向右，故A正确。【名师点睛】形状规则、电荷分布均匀的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点的电场强度大小相等、方向相反。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。方法三：微元法将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。(多选)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，以下说法正确的是()A．P点场强方向竖直向上B．P点场强大小为eq\f(mg,q)C．P点场强大小为keq\f(Qcosθ,L2)D．P点场强大小为keq\f(Qcos3θ,L2)[答案]ABD[解析]将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为：q0＝eq\f(Q,n)，每份在P点产生的电场的电场强度大小为：E0＝eq\f(kq0,r2)＝eq\f(k\f(Q,n),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,cosθ)))\s\up12(2))＝eq\f(kQcos2θ,nL2)，根据对称性可知，P点处水平方向的合场强为零，则P点的电场强度方向竖直向上，其大小为：E＝nE0cosθ＝eq\f(kQcos3θ,L2)，故A、D正确，C错误；因小球在P点静止，由二力平衡可得：mg＝qE，解得P点场强大小为：E＝eq\f(mg,q)，故B正确。【名师点睛】微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点电荷构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型、过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。方法四：等效法在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d处的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB＝d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是()A．O点场强大小为keq\f(Q,2d2)B．A点场强大小为keq\f(Q,d2)C．B点场强大小为keq\f(24Q,25d2)D．A、B两点场强大小相等，方向相反[答案]AC[解析]系统达到静电平衡后，因为金属板接地，电势为零，所以电场线分布如图所示，所以金属板右侧的电场的电场线分布与等量异种点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，所以O点场强大小为EO＝keq\f(Q,（2d）2)＋keq\f(Q,（2d）2)＝keq\f(Q,2d2)，A正确；A点场强大小为EA＝keq\f(Q,d2)＋keq\f(Q,（3d）2)＝keq\f(10Q,9d2)，B错误；B点场强大小为EB＝keq\f(Q,d2)－keq\f(Q,（5d）2)＝keq\f(24Q,25d2)，C正确；由上述分析可知D错误。【名师点睛】等效法的实质是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。方法五：极限法对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r<a)。试分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式(式中k为静电力常量)正确的是()A．E＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(kqR1,Req\o\al(2,1)＋（a＋r）2)－\f(kqR2,Req\o\al(2,2)＋（a－r）2)))B．E＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(kqR1,[Req\o\al(2,1)＋（a＋r）2]\s\up6(\f(3,2)))－\f(kqR2,[Req\o\al(2,2)＋（a－r）2]\s\up6(\f(3,2)))))C．E＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(kq（a＋r）,Req\o\al(2,1)＋（a＋r）2)－\f(kq（a－r）,Req\o\al(2,2)＋（a－r）2)))D．E＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(kq（a＋r）,[Req\o\al(2,1)＋（a＋r）2]\s\up6(\f(3,2)))－\f(kq（a－r）,[Req\o\al(2,2)＋（a－r）2]\s\up6(\f(3,2)))))[答案]D[解析]与点电荷的场强公式E＝keq\f(Q,r2)比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除；由电场强度的分布规律可知，当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误；综上所述，可知D正确。【名师点睛】本题由于带电体为多个带电圆环，超出了我们高中学生的教材学习范围，但通过一定的分析就可判断。首先根据场强的单位(量纲)进行判断，再分析特殊点即可得出结论。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。1.如图所示，两个电荷量为q的点电荷分别位于带电的半径相同的eq\f(1,4)球壳和eq\f(3,4)球壳的球心，这两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同，若甲图中带电eq\f(1,4)球壳对点电荷q的库仑力的大小为F，则乙图中带电的eq\f(3,4)球壳对点电荷q的库仑力的大小为()A.eq\f(3,2)F B.eq\f(\r(2),2)FC.eq\f(1,2)F D．F答案D解析将图乙中的均匀带电eq\f(3,4)球壳分成三个eq\f(1,4)带电球壳，关于球心对称的两个eq\f(1,4)带电球壳对球心处点电荷的库仑力的合力为零，并且甲、乙两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同，因此乙图中带电的eq\f(3,4)球壳对点电荷的库仑力的大小和甲图中均匀带电的eq\f(1,4)球壳对点电荷的库仑力的大小相等，D正确。2.(2024·吉林省长春市高三上质量监测(一))(多选)已知一个均匀带电球壳在球壳内部产生的电场强度处处为零，在球壳外部产生的电场与一个位于球壳球心、带相同电荷量的点电荷产生的电场相同。有一个电荷量为＋Q、半径为R、电荷均匀分布的实心球体，其球心为O点。现从该球体内部挖去一个半径为eq\f(R,2)的实心小球，如图所示，挖去小球后，不改变剩余部分的电荷分布，O2点与O1点关于O点对称。由以上条件可以计算出挖去实心小球后，O1点的电场强度E1的大小、O2点的电场强度E2的大小分别为()A．E1＝keq\f(Q,8R2) B．E1＝keq\f(Q,2R2)C．E2＝keq\f(3Q,8R2) D．E2＝keq\f(5Q,8R2)答案BC解析从大球体内部挖去半径为eq\f(R,2)的实心小球之前，O1、O2点的电场强度是以O为圆心、以OO2为半径的球体所带的电荷产生的，设该球体所带电荷量为Q3，在O1、O2处产生的电场强度大小为E3，有E3＝keq\f(Q3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))，O1点场强方向水平向右，O2点场强方向水平向左，且Q3＝eq\f(Q,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(Q,8)，联立解得E3＝keq\f(Q,2R2)；对于O1点，由于O1位于挖去部分的球心，则被挖去部分在O1点产生的电场强度大小为E1′＝0，根据电场叠加原理可知E3＝E1＋E1′，解得E1＝E3＝keq\f(Q,2R2)，故A错误，B正确；对于O2点，被挖去部分所带电荷量Q4＝eq\f(Q,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(Q,8)，则在O2点产生的电场强度大小为E2′＝keq\f(Q4,R2)＝keq\f(Q,8R2)，方向水平向左，由电场叠加原理可知E3＝E2＋E2′，解得E2＝keq\f(3Q,8R2)，故C正确，D错误。课时作业[A组基础巩固练]1．(2022·江苏省泰州市高三下第四次调研)在带电量为＋Q的金属球的电场中，为测量球附近某点的电场强度E，现在该点放置一带电量为＋eq\f(Q,2)的点电荷，点电荷受力为F，则该点的电场强度()A．E＝eq\f(2F,Q) B．E>eq\f(2F,Q)C．E<eq\f(2F,Q) D．E＝eq\f(4F,Q)答案B解析已知金属球和试探点电荷均带正电，根据同种电荷相互排斥，可知在金属球附近某点放置试探点电荷后，金属球上的电荷将向远离试探点电荷的方向移动，达到平衡时，金属球上电荷分布的中心与试探电荷所在点的距离将比未放试探电荷时大，则放上试探电荷后，该点的场强E′＜E；根据电场强度的定义知，E′＝eq\f(F,\f(Q,2))＝eq\f(2F,Q)，则E＞eq\f(2F,Q)，故A、C错误，B正确；由已知条件无法得出E＝eq\f(4F,Q)，故D错误。2．两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是()A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电D．两点电荷所带电荷量相等答案C解析电场线的疏密代表电场强度的强弱，电场线越密，电场强度越强，电场强度方向为电场线的切线方向，故从图可以看出A、B两点电场强度的大小和方向均不同，A、B错误；电场线方向从正电荷指向负电荷，C正确；右边点电荷周围的电场线比较密集，故此点电荷的电荷量较大，D错误。3.如图所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的静电力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是()A．Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上B．Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右C．Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0D．Fd、Fc、Fe的大小都相等答案B解析等量异种点电荷的电场分布如图，从图中可知，c、d、e三点的场强的方向都水平向右，所以该正点电荷在这三点受到的静电力的方向都水平向右，故A、C错误，B正确；从图中可知d点处的电场线最密，e点处的电场线最疏，所以该正点电荷在d点所受的静电力Fd最大，故D错误。4.(2022·辽宁省重点高中高三上9月月考)在某一点电荷产生的电场中，A、B两点的电场强度方向如图所示。若A点的电场强度大小为E，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则在A、B两点的连线上，电场强度的最大值为()A.eq\f(5,4)E B.eq\f(5,3)EC.eq\f(25,16)E D.eq\f(25,9)E答案D解析沿两场强方向指示线反向延长，交点O为带正电的场源电荷位置，如图所示，设O、A距离为r，由点电荷场强公式可得，A点场强为E＝keq\f(Q,r2)，过O点作AB垂线，垂足为C，A、B连线上的C点离场源电荷最近，场强最大，最大值为E′＝keq\f(Q,（rsin37°）2)，联立解得E′＝eq\f(25,9)E，故选D。5.一负电荷从电场中A点由静止释放，只受静电力作用，沿电场线运动到B点，它运动的v­t图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的()答案C解析由v­t图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且从A到B场强变大，电场线变密，C正确。6.(2022·辽宁省辽阳市高三下二模)如图所示，△ABC是边长为a的等边三角形，O点是三角形的中心，在三角形的三个顶点分别固定三个电荷量均为q的点电荷(电性已在图中标出)，若要使放置在O点处的电荷不受电场力的作用，则可在三角形所在平面内加一匀强电场。静电力常量为k，对于所加匀强电场的电场强度的大小和方向，下列说法正确的是()A．大小为eq\f(6kq,a2)，方向由B指向OB．大小为eq\f(6kq,a2)，方向由O指向BC．大小为eq\f(3\r(3)kq,2a2)，方向由B指向OD．大小为eq\f(3\r(3)kq,2a2)，方向由O指向B答案B解析由几何关系可得OC＝eq\f(\f(a,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)a，三个点电荷在O点的场强大小均为E＝eq\f(kq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2))＝eq\f(3kq,a2)，方向如图所示，则三者的合场强大小为E合＝2Ecos60°＋E＝eq\f(6kq,a2)，方向由B指向O，在三角形所在平面内加一匀强电场，使放置在O点处的电荷不受电场力的作用，则匀强电场与E合的合场强为0，所以所加匀强电场的场强大小E′＝E合＝eq\f(6kq,a2)，方向由O指向B，故B正确，A、C、D错误。[B组综合提升练]7.(2022·广东省惠州市高三下二模)如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°。电荷量相等、符号相反的两个电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的场强大小变为E2。E1与E2之比为()A．1∶2 B．2∶1C．2∶eq\r(3) D．4∶eq\r(3)答案B解析根据点电荷的场强公式知，放置在M、N两点的电荷量相等、符号相反的两个点电荷在O点产生的电场强度大小相等，且方向相同，设大小均为E0，根据电场叠加原理知，2E0＝E1。将N点处点电荷移至P点，两点电荷在O点产生的电场强度大小仍均为E0，若原来N点处点电荷为负电荷，则O点电场强度分析如图甲所示，由几何关系可得E2＝E0，所以E1∶E2＝2∶1；若原来N点处点电荷为正电荷，则O点电场强度分析如图乙所示，同理可得E1∶E2＝2∶1，故B正确。8.直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则()A．两点电荷都带正电B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电C．A点处电荷的电荷量与C点处电荷的电荷量的绝对值之比为eq\f(\r(3),2)D．A点处电荷的电荷量与C点处电荷的电荷量的绝对值之比为eq\f(1,2)答案C解析若两点电荷都带正电，则两点电荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故A错误；若A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电，则A点的点电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故B错误；同理分析可知，A点的点电荷带正电，C点的点电荷带负电，它们在B点的场强如图所示，则cos30°＝eq\f(EC,EA)，设AC＝L，则AB＝eq\r(3)L，BC＝2L，EA＝keq\f(qA,（\r(3)L）2)，EC＝keq\f(qC,4L2)，解得eq\f(qA,qC)＝eq\f(\r(3),2)，故C正确，D错误。9.为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为()A．E＝eq\f(\r(3),q)mg B．E＝eq\f(\r(3),2q)mgC．E＝eq\f(\r(3),3q)mg D．E＝eq\f(mg,q)答案D解析设该匀强电场方向与竖直方向的夹角为β，则开始时，根据平衡条件，水平方向有：T1sin60°＝qEsinβ，竖直方向有：T1cos60°＋qEcosβ＝mg；当用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后电荷量减半，此时水平方向有：T2sin30°＝eq\f(1,2)qEsinβ，竖直方向有：T2cos30°＋eq\f(1,2)qEcosβ＝mg，联立解得qE＝mg，β＝60°，即E＝eq\f(mg,q)，故D正确。10．(2022·浙江省台州市高三下4月教学质量评估(二模))如图所示，光滑绝缘的水平桌面上有一质量为m、带电量为－q的点电荷，距水平桌面高h处的空间内固定一场源点电荷＋Q，两电荷连线与水平面间的夹角θ＝30°，现给点电荷－q一水平初速度，使其在水平桌面上做匀速圆周运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，则()A．点电荷－q做匀速圆周运动所需的向心力为eq\f(\r(3)kQq,8h2)B．点电荷－q做匀速圆周运动的角速度为eq\f(1,2h)eq\r(\f(kQq,mh))C．若水平初速度v＝eq\f(\r(3gh),3)，则点电荷－q对桌面压力为零D．点电荷－q做匀速圆周运动所需的向心力一定由重力和库仑力的合力提供答案A解析点电荷－q在水平桌面上做匀速圆周运动所需的向心力由库仑力在水平方向的分力提供，可得F向＝keq\f(Qq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,sinθ)))\s\up12(2))·cosθ＝eq\f(\r(3)kQq,8h2)，故A正确；根据牛顿第二定律得F向＝mω2eq\f(h,tanθ)，解得点电荷－q做匀速圆周运动的角速度ω＝eq\f(1,2h)eq\r(\f(kQq,2mh))，故B错误；若点电荷－q对桌面恰好没有压力，水平方向根据圆周运动的规律有eq\f(\r(3)kQq,8h2)＝meq\f(v2,\f(h,tan30°))，竖直方向受力平衡，有eq\f(kQq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,sin30°)))\s\up12(2))·sin30°＝mg，解得v＝eq\r(3gh)，即当v＝eq\r(3gh)时，点电荷－q做匀速圆周运动所需的向心力才由重力和库仑力的合力提供，其他情况点电荷－q做匀速圆周运动所需的向心力由重力、库仑力和水平桌面的支持力的合力提供，故C、D错误。11.(多选)如图所示，A、B两点有等量同种正点电荷，A、B连线的中垂线上的C、D两点关于AB对称，t＝0时刻，一带正电的点电荷从C点以初速度v0沿CD方向射入，点电荷只受静电力。则点电荷由C到D运动的v­t图像，以下可能正确的是()答案BD解析由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。12.(2021·湖北高考)(多选)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q＞0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是()A．M带正电荷 B．N带正电荷C．q＝Leq\r(\f(mg,k)) D．q＝3Leq\r(\f(mg,k))答案BC解析对小球M受力分析如图a所示，对小球N受力分析如图b所示，由受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，A错误，B正确。由几何关系可知，两小球之间的距离为r＝eq\r(2)L，当两小球的电荷量大小均为q时，由平衡条件得mgtan45°＝Eq－keq\f(q2,r2)；两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由平衡条件得mgtan45°＝E·2q－keq\f(（2q）2,r2)，联立解得q＝Leq\r(\f(mg,k))，C正确，D错误。第讲电场力的性质[教材阅读指导](对应人教版必修第三册相关内容及问题)第九章第1节[实验]图9.1­3，把导体A和B分开，然后移开C，A、B分别带什么电？如何使A、B带同种电荷？提示：A带负电，B带正电。C移近A时用手摸一下A，将C移开后再将A、B分开，A、B均带负电。第九章第1节阅读“元电荷”这一部分内容，元电荷是电子吗？提示：不是，元电荷是最小的电荷量，质子、电子所带的电荷量大小等于元电荷。第九章第3节阅读“电场强度”这一部分内容，什么是试探电荷？什么是场源电荷？E＝eq\f(F,q)和E＝eq\f(kQ,r2)中的“q”、“Q”，哪个是试探电荷，哪个是场源电荷？提示：放入电场中研究电场各点的性质，电荷量和体积都很小的点电荷叫试探电荷；激发电场的带电体所带的电荷叫场源电荷。E＝eq\f(F,q)中的“q”是试探电荷，E＝eq\f(kQ,r2)中的“Q”是场源电荷。第九章第3节图9.3­5，如何确定一个半径为R的均匀带电球体(或球壳)在球的外部产生的电场？提示：将电荷量等效集中在球心，E＝eq\f(kQ,r2)，其中r是球心到该点的距离(r＞R)，Q为整个球体(或球壳)所带的电荷量。第九章第3节[练习与应用]T7。提示：因为电荷量的大小|Q1|＞|Q2|，所以在Q1左侧的x轴上，Q1产生的电场的电场强度总是大于Q2产生的电场的电场强度，且方向总是沿x轴负方向，在x＝0和x＝6cm之间，电场强度总是沿x轴的正方向。只有在Q2右侧的x轴上，才有可能出现电场强度为0的点。(1)设该点距离原点的距离为x，则keq\f(Q1,x2)＋keq\f(Q2,（x－6cm）2)＝0，即4(x－6cm)2－x2＝0，解得x1＝4cm(不合题意，舍去)和x2＝12cm。所以，在x＝12cm处电场强度等于0。(2)在x轴上0＜x＜6cm和x＞12cm的位置，电场强度的方向沿x轴的正方向。第九章[复习与提高]A组T4。提示：要使三个小球都处于平衡状态，每个小球所受另外两个小球的静电力应彼此平衡，而原来两球是互相排斥的，由此可以判断第三个小球应带负电荷，并要放在Q和9Q的连线上，位于Q和9Q中间的某一位置。设第三个小球的电荷量为Qx(取绝对值)，与Q的距离为x，Q与9Q间的距离为l(l＝0.4m)，受力情况如图所示。设Q与Qx间的相互作用力为F1和F1′，有F1＝F1′＝keq\f(QQx,x2)。设9Q与Qx间的相互作用力为F2和F2′，有F2＝F2′＝keq\f(9QQx,（l－x）2)。设Q与9Q间的相互作用力为F3和F3′，有F3＝F3′＝keq\f(9Q2,l2)。由F1＝F3可得eq\f(kQQx,x2)＝eq\f(9kQ2,l2)。由F2′＝F3′可得eq\f(9kQQx,（l－x）2)＝eq\f(9kQ2,l2)。解得x＝eq\f(l,4)＝eq\f(0.4,4)m＝0.1m，Qx＝9Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,l)))eq\s\up12(2)＝9Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.1m,0.4m)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16)Q。第九章[复习与提高]B组T4；T5。提示：T4：根据A点的电场强度为0，以及电场强度的叠加原理可知，薄板在A点产生的电场强度大小为eq\f(kq,（3d）2)，方向向右；再根据对称性可知，薄板在B点产生的电场强度大小也为eq\f(kq,（3d）2)，方向向左。T5：设AC与CO的夹角，以及BC与CO的夹角均为θ。(1)由库仑定律和平行四边形定则可得F1＝keq\f(2qQcosθ,x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq\f(2kqQx,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2)))\s\up6(\f(3,2)))。(2)由库仑定律和平行四边形定则可得F2＝keq\f(2qQsinθ,x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq\f(kqQl,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2)))\s\up6(\f(3,2)))。(3)由前两问的结论可得l＞2x。必备知识梳理与回顾一、电荷守恒定律点电荷库仑定律1．元电荷、点电荷(1)元电荷：e＝eq\x(\s\up1(01))1.6×10－19__C，最小的电荷量，所有带电体的电荷量都是元电荷的eq\x(\s\up1(02))整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。电子的电荷量q＝－1.6×10－19C。(2)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的eq\x(\s\up1(03))形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是一种理想化模型。(3)比荷：带电粒子的eq\x(\s\up1(04))电荷量与其质量之比。2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的eq\x(\s\up1(05))总量保持不变。(2)更普遍的表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。(3)起电方法：eq\x(\s\up1(06))摩擦起电、eq\x(\s\up1(07))感应起电、eq\x(\s\up1(08))接触起电。(4)带电实质：物体带电的实质是eq\x(\s\up1(09))得失电子。(5)电荷的分配原则：两个形状、大小等完全相同的导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷；若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。3．库仑定律(1)内容：eq\x(\s\up1(10))真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的eq\x(\s\up1(11))电荷量的乘积成正比，与它们的eq\x(\s\up1(12))距离的二次方成反比，作用力的方向在eq\x(\s\up1(13))它们的连线上。(2)表达式：eq\x(\s\up1(14))F＝keq\f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109N·m2/C2，叫作静电力常量。(3)库仑力的方向由相互作用的两个带电体决定，且eq\x(\s\up1(15))同种电荷相互排斥，eq\x(\s\up1(16))异种电荷相互吸引。(4)适用条件：真空中静止的eq\x(\s\up1(17))点电荷。①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。③两个带电体间的距离r→0时，不能再视为点电荷，也不遵循库仑定律，它们之间的库仑力不能认为趋于无穷大。二、静电场电场强度点电荷的电场1．电场(1)定义：存在于eq\x(\s\up1(01))电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。(2)基本性质：对放入其中的电荷eq\x(\s\up1(02))有力的作用。2．电场强度(1)定义：在电场的不同位置，试探电荷所受的eq\x(\s\up1(03))静电力与它的eq\x(\s\up1(04))电荷量之比一般不同，它反映了电场在各点的性质，叫作电场强度。(2)定义式：eq\x(\s\up1(05))E＝eq\f(F,q)，该式适用于一切电场。(3)单位：N/C或V/m。(4)矢量性：物理学中规定，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同。3．点电荷的电场(1)公式：在场源点电荷Q形成的电场中，与Q相距r处的电场强度E＝eq\x(\s\up1(06))keq\f(Q,r2)。(2)适用条件：真空中静止的点电荷形成的电场。4．电场强度的叠加如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的eq\x(\s\up1(07))矢量和，遵从平行四边形定则。一个半径为R的均匀带电球体(或球壳)在球的外部产生的电场，与一个位于eq\x(\s\up1(08))球心、电荷量eq\x(\s\up1(09))相等的点电荷在同一点产生的电场相同。5．匀强电场：如果电场中各点的电场强度的eq\x(\s\up1(10))大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。三、电场线1．定义：为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的大小和方向，而画在电场中的一条条有方向的曲线。电场线是假想的曲线，实际不存在。2．电场线的特点(1)电场线上每点的切线方向表示该点的eq\x(\s\up1(01))电场强度方向。(2)电场线从eq\x(\s\up1(02))正电荷或无限远出发，终止于eq\x(\s\up1(03))无限远或负电荷。(3)电场线在电场中eq\x(\s\up1(04))不相交、不闭合、不中断。(4)在同一幅图中，eq\x(\s\up1(05))电场强度较大的地方电场线较密，eq\x(\s\up1(06))电场强度较小的地方电场线较疏。(5)沿电场线的方向电势eq\x(\s\up1(07))逐渐降低。(6)电场线和等势面在相交处垂直。3．几种典型电场的电场线如图所示是几种典型电场的电场线分布图。一、堵点疏通1．质子的电荷量为一个元电荷，但电子、质子是实实在在的粒子，不是元电荷。()2．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等。()3．根据F＝keq\f(q1q2,r2)，当r→0时，F→∞。()4．E＝eq\f(F,q)是电场强度的定义式，可知电场强度与静电力成正比。()5．电场中某点的电场强度方向即为试探电荷在该点所受的静电力的方向。()6．在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。()7．电场线的方向即为带电粒子的运动方向。()答案1.√2.√3.×4.×5.×6.×7．×二、对点激活1.(人教版必修第三册·第九章第1节[实验]改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是()A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合答案AB解析虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确；带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷就因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B正确；但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误；先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。2．(鲁科版必修第三册·第1、2章[单元自我检测]T2改编)两个带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为eq\f(1,2)r的两点处，则两球间库仑力的大小为()A．9F B.eq\f(9,4)FC.eq\f(4,3)F D．12F答案B解析两球相距为r时，根据库仑定律得F＝keq\f(4Q·Q,r2)；接触后各自带电荷量变为Q′＝eq\f(（－Q）＋（＋4Q）,2)＝＋eq\f(3Q,2)，则此时有F′＝keq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)Q))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq\f(9,4)F，故B正确。3.(人教版必修第三册·第九章第3节[练习与应用]T5改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是()A．这个电场可能是正点电荷形成的B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向答案C解析正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A处所受的静电力小于在B处所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。关键能力发展与提升考点一库仑定律的理解与应用1．对库仑定律的理解(1)F＝keq\f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。2．库仑力具有力的共性(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。(2)库仑力可使带电体产生加速度。(3)库仑力可以和其他力平衡。(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。考向1库仑定律的理解例1两个半径均为r的相同金属球，球心相距3r，分别带有电荷量－2Q和＋4Q，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，两小球间距离保持不变，则两小球间库仑力的大小()A．等于eq\f(1,8)F B．小于eq\f(1,8)FC．大于eq\f(1,8)F D．无法确定[答案]B[解析]两金属球相距较近且开始时带异种电荷，电荷因吸引靠近，则原来两球间库仑力大小F>keq\f(8Q2,（3r）2)；两球接触后，两球均带正电，电荷量均为Q，电荷因排斥远离，所以接触后两球间的库仑力大小F′<keq\f(Q2,（3r）2)<eq\f(1,8)F，故B正确，A、C、D错误。库仑定律的四点提醒(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。(3)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。①同种电荷：F<keq\f(q1q2,r2)；②异种电荷：F>keq\f(q1q2,r2)。(4)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。考向2库仑力的叠加例2如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5cm，bc＝3cm，ca＝4cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则()A．a、b的电荷同号，k＝eq\f(16,9)B．a、b的电荷异号，k＝eq\f(16,9)C．a、b的电荷同号，k＝eq\f(64,27)D．a、b的电荷异号，k＝eq\f(64,27)[答案]D[解析]对固定的小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：keq\f(QaQc,req\o\al(2,ac))·sinα＝keq\f(QbQc,req\o\al(2,bc))·sinβ，故eq\f(Qa,Qb)＝eq\f(req\o\al(2,ac)sinβ,req\o\al(2,bc)sinα)＝eq\f(42×\f(4,5),32×\f(3,5))＝eq\f(64,27)，D正确。考点二库仑力作用下的平衡问题深化理解1.四步解决库仑力作用下的平衡问题2．三个自由点电荷的平衡条件及规律(1)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的电场中合场强为零的位置。(2)平衡规律考向1三点电荷共线平衡问题例3如图所示，在一条直线上有两个相距0.4m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为()A．正，B的右边0.4m处B．正，B的左边0.2m处C．负，A的左边0.2m处D．负，A的右边0.2m处[答案]C[解析]根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以keq\f(Qq,x2)＝eq\f(9kQ·q,（0.4＋x）2)，解得x＝0.2m，C正确。考向2库仑力作用下的平衡问题例4(2023·海南高考)如图所示，一光滑绝缘圆轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2cm，OB＝4cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，试求Q1∶Q2是多少()A．2n2∶1 B．4n2∶1C．2n3∶1 D．4n3∶1[答案]C[解析]在水平面内对小球受力分析如图所示，作OK∥BP交AP于K点，由几何知识可知△OKP∽△PCH，则eq\f(KP,OK)＝eq\f(FA,FB)，设BP＝3d，则AP＝3nd，又AO∶OB＝1∶2，则可得OK＝d，KP＝2nd，设小球带电量为q，根据库仑定律有FA＝keq\f(Q1q,（3nd）2)，FB＝keq\f(Q2q,（3d）2)，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，故C正确。例5(2021·海南高考)如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),3)[答案]D[解析]滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷，两者之间库仑斥力设为F，两滑块的受力分析如图所示。对滑块Q在沿着斜面方向有mgcos30°＝Fcos30°，可得F＝mg，而对滑块P动摩擦因数最小时有N2＝F＋mgsin30°，f＝μN2，f＝mgcos30°，联立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，故选D。求解带电体平衡问题的方法分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。考点三电场强度的理解及计算解题技巧1.电场强度的性质矢量性规定电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同唯一性电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置叠加性如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和2.电场强度三个表达式的比较表达式比较E＝eq\f(F,q)E＝keq\f(Q,r2)E＝eq\f(U,d)公式意义电场强度定义式真空中静止点电荷电场强度的决定式匀强电场中E与U的关系式eq\f(U,d)适用条件一切电场①真空②静止点电荷匀强电场决定因素由电场本身决定，与q无关由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定由电场本身决定，d为沿电场方向的距离3.等量同种和异种点电荷的电场强度的比较比较项目等量异种点电荷等量同种点电荷电场线的分布图连线中点O处的场强连线上O点场强最小，指向负电荷一方为零连线上的场强大小(从左到右)沿连线先变小，再变大沿连线先变小，再变大沿连线中垂线由O点向外场强大小O点最大，向外逐渐变小O点最小，向外先变大后变小关于O点对称的A与A′，B与B′的场强等大同向等大反向4.分析电场叠加问题的一般步骤电场强度是矢量，叠加时遵从平行四边形定则。分析电场的叠加问题的一般步骤是：(1)确定要分析计算哪一点的场强；(2)分析有哪几个电场在该点叠加，确定各个电场在该点的电场强度的大小和方向；(3)利用平行四边形定则求出各个电场在该点的电场强度的矢量和。考向1电场强度的理解例6(2022·北京市延庆区高三下一模)在真空中一个点电荷Q的电场中，让x轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.3m和0.6m(如图甲)。在A、B两点分别放置带正电的试探电荷，试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同，其受到的静电力大小跟试探电荷的电荷量的关系如图乙中直线a、b所示。下列说法正确的是()A．A点的电场强度大小为2.5N/CB．B点的电场强度大小为40N/CC．点电荷Q是负电荷D．点电荷Q的位置坐标为0.2m[答案]D[解析]根据E＝eq\f(F,q)知，图乙图线斜率的绝对值表示试探电荷所在处电场强度的大小，则A点的电场强度大小为EA＝ka＝eq\f(4,0.1)N/C＝40N/C，B点的电场强度大小为EB＝kb＝eq\f(1,0.4)N/C＝2.5N/C，A、B错误；由于带正电的试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同，则A、B两点处的电场强度方向都沿x轴正方向，又因为EA>EB，故点电荷Q的位置在A点的左侧，且Q带正电，设点电荷Q的位置坐标为x，则有EA＝keq\f(Q,（0.3m－x）2)，EB＝keq\f(Q,（0.6m－x）2)，代入数据解得x＝0.2m，C错误，D正确。考向2点电荷的电场例7如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为eq\f(1,2)E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为()A.eq\f(\r(2)EL2,k) B.eq\f(EL2,k)C.eq\f(2EL2,k) D.eq\f(EL2,2k)[答案]B[解析]因直线MN上a点的场强最大，可知场源电荷位于过a点且垂直于直线MN的直线上，设场源电荷在距离a点x的位置，则E＝keq\f(Q,x2)，场源电荷距b点的距离为eq\r(L2＋x2)，则b点的场强大小为eq\f(1,2)E＝keq\f(Q,x2＋L2)，联立可解得：x＝L，Q＝eq\f(EL2,k)，故B正确。考向3电场强度的叠加考查角度1：点电荷电场强度的叠加例8(2023·湖南高考)如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为()A．Q1＝q，Q2＝eq\r(2)q，Q3＝qB．Q1＝－q，Q2＝－eq\f(4\r(3),3)q，Q3＝－4qC．Q1＝－q，Q2＝eq\r(2)q，Q3＝－qD．Q1＝q，Q2＝－eq\f(4\r(3),3)q，Q3＝4q[答案]D[解析]由电场强度的叠加原理可知，要使P处场强为零，需满足Q1、Q3电性相同，与Q2电性相反，且Q1、Q3在P处产生的合场强与Q2在P处产生的场强等大反向，A、B错误；设Q1、Q2、Q3分别固定在A、B、C三点，PA距离为a，如图所示，由几何关系得∠APB＝∠BPC＝30°，PB＝eq\f(PA,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)a，PC＝eq\f(PA,sin30°)＝2a，则有eq\f(k|Q1|,a2)·cos30°＋eq\f(k|Q3|,（2a）2)·cos30°＝eq\f(k|Q2|,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))\s\up12(2))，eq\f(k|Q1|,a2)sin30°＝eq\f(k|Q3|,（2a）2)sin30°，整理得4|Q1|＋|Q3|＝2eq\r(3)|Q2|，4|Q1|＝|Q3|，选项C、D中，只有选项D中数据满足上述关系式，故C错误，D正确。例9(2023·全国乙卷)如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；(2)C点处点电荷的电荷量。[答案](1)q均为正电荷(2)eq\f(3－\r(3),3)q[解析](1)M点处的电场强度方向竖直向下，根据点电荷场强的特点及场强的叠加原理可知，B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，电性与A点处点电荷相同，C处为正电荷N点处的电场强度方向竖直向上，由点电荷的场强特点及场强的叠加原理同理可知，A、B处点电荷不可能是负电荷，则只能是正电荷，即3个点电荷均为正电荷。(2)将N点处的电场强度沿BC边和垂直于BC边分解，如图所示由几何关系可知EA＝ENsin30°EB－EC＝ENcos30°设△ABC边长为l，由点电荷的电场强度公式可知EA＝keq\f(q,req\o\al(2,AN))EB＝keq\f(q,req\o\al(2,BN))EC＝keq\f(qC,req\o\al(2,CN))由几何关系可知rAN＝eq\f(\r(3),2)l，rBN＝rCN＝eq\f(l,2)联立解得C点处点电荷的电荷量qC＝eq\f(3－\r(3),3)q。【跟进训练】1.如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是()A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向B．Q1<Q2C．在A、B连线上还有一点与P点电场强度相同D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零答案A解析根据题述可知P点处的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知x轴上P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误。考查角度2：非点电荷电场强度的叠加例10(2022·山东高考)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为()A．正电荷，q＝eq\f(QΔL,πR)B．正电荷，q＝eq\f(\r(3)QΔL,πR)C．负电荷，q＝eq\f(2QΔL,πR)D．负电荷，q＝eq\f(2\r(3)QΔL,πR)[答案]C[解析]分析可知，开始时整个圆环上的电荷在O点产生的合电场强度为0，则A、B处两段小圆弧上的电荷在O点产生的合场强与圆环上剩余电荷在O点产生的合场强大小相等，方向相反，且由题意可知，两段小圆弧上的电荷可视为点电荷，A处小圆弧上的电荷在O点产生的场强大小EA＝keq\f(\f(QΔL,2πR),R2)＝keq\f(QΔL,2πR3)，方向为A→O，B处小圆弧上的电荷在O点产生的场强大小EB＝EA，方向为B→O，则圆环剩余电荷在O点产生的场强方向如图所示，大小为E1＝EA，则D处点电荷在O点产生的场强大小为E2＝keq\f(q,（2R）2)＝E1，方向为O→C，则q为负电荷，q＝eq\f(2QΔL,πR)，故C正确。考向4带电球壳、球体的电场例11(2022·江苏省南通市、泰州市高三下第二次调研)当空气中的电场强度超过E0时，空气会被击穿。给半径为R的孤立导体球壳充电，球壳所带电荷量的最大值为Q，已知静电力常量为k，则Q为()A.eq\f(E0R2,2k) B.eq\f(E0R2,k)C.eq\f(E0R,2k) D.eq\f(E0R,k)[答案]B[解析]根据静电平衡的原理知，导体球壳内部电场强度为0，又因为均匀带电球壳在壳外某点产生的电场强度，可以看作集中在球心处电荷量相等的点电荷在该点产生的电场强度，则球壳外部表面处的电场强度最大，根据题意知最大为E0，由E0＝eq\f(kQ,R2)，可解得球壳所带电荷量的最大值为Q＝eq\f(E0R2,k)，故A、C、D错误，B正确。考点四电场线的应用深化理解1.判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。例12(2023·全国甲卷)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是()[答案]A[解析]电子在电场中仅受电场力作用，且电子在某点所受电场力方向沿电场线在该点的切线方向，并且与电场线在该点的方向相反。由曲线运动的条件和规律知，曲线运动轨迹上任一点对应的速度方向和受力方向应分居之后一段轨迹的两侧，则在电子轨迹与电场线的任意交点处，虚线轨迹在该点向右的切线方向和实线在该点向右的切线方向应分居该点右侧一段轨迹的两侧，分析可知，A项中的所有交点全部满足，B、C、D项中则有不满足的交点，如图甲、乙、丙所示，故A正确，B、C、D错误。例13某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是()A．c点的电场强度大于b点的电场强度B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点C．b点的电场强度大于d点的电场强度D．a点和b点的电场强度方向相同[答案]C[解析]电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线方向，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。电场线的应用熟悉几种典型的电场线分布有利于我们对电场强度和电势做出迅速判断，且可以进一步了解电荷在电场中的受力和运动情况、静电力做功及伴随的能量转化情况。【跟进训练】2.(多选)甲、乙两固定的点电荷产生的电场的电场线如图所示。下列说法正确的是()A．甲、乙带同种电荷B．甲、乙带异种电荷C．若将甲、乙接触后放回原处，则甲、乙间的静电力变大D．若将甲、乙接触后放回原处，则甲、乙间的静电力变小答案AC解析类比两等量异种点电荷、两等量同种点电荷的电场线分布可知，甲、乙应带同种电荷，且乙的电荷量较大，A正确，B错误；设甲、乙带电量分别为q1、q2，原来两电荷间的静电力为F＝keq\f(q1q2,r2)，接触后放回原处，总电荷量平分，两电荷间的静电力变为F′＝keq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q1＋q2,2)))\s\up12(2),r2)，由数学知识可知eq\f(q1＋q2,2)＞eq\r(q1q2)，则F′＞F，即甲、乙间的静电力变大，C正确，D错误。第讲电场能的性质[教材阅读指导](对应人教版必修第三册相关内容及问题)第十章第1节阅读“电势”这一部分内容，应用φ＝eq\f(Ep,q)进行运算时，式中的各量在代入数据时，需要带正负号吗？提示：需要。第十章[复习与提高]B组T3。提示：(1)A、B两点间的电势差为UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－2.4×10－5,－6×10－6)V＝4V。B、C两点间的电势差为UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(1.2×10－5,－6×10－6)V＝－2V。(2)因为UAB＝φA－φB＝4V，UBC＝φB－φC＝－2V，而φB＝0，所以φA＝4V，φC＝2V。(3)由于匀强电场中沿任一直线方向电势均匀变化，所以A、B连线中点的电势为2V，连接该中点与C点即为等势线。电场线与等势线垂直且指向电势低的等势线，因此过B点的电场线方向如图所示。必备知识梳理与回顾一、电势能1．静电力做功(1)特点：静电力所做的功与电荷的起始位置和eq\x(\s\up1(01))终止位置有关，与电荷经过的eq\x(\s\up1(02))路径无关。(2)计算方法①W＝qEd，只适用于eq\x(\s\up1(03))匀强电场，其中d为沿eq\x(\s\up1(04))电场方向的距离，计算时q不带正负号。②WAB＝qUAB，适用于eq\x(\s\up1(05))任何电场，计算时q要带正负号。2．电势能(1)定义：电荷在电场中由于受到静电力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫作电势能，用Ep表示。(2)静电力做功与电势能变化的关系静电力做的功等于eq\x(\s\up1(06))电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB。(3)大小：电荷在某点的电势能，等于eq\x(\s\up1(07))把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功。[特别提醒](1)电势能是相互作用的电荷所共有的，或者说是电荷及对它作用的电场所共有的。我们说某个电荷的电势能，只是一种简略的说法。(2)电荷在某点的电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电荷从某点运动到另一点时电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地表面或离场源电荷无限远处为零势能位置。二、电势1．电势(1)定义：电荷在电场中某一点的eq\x(\s\up1(01))电势能与它的eq\x(\s\up1(02))电荷量之比，叫作电场在这一点的电势。(2)定义式：φ＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(Ep,q)。(3)标矢性：电势是eq\x(\s\up1(04))标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比eq\x(\s\up1(05))零电势高(低)。(4)相对性：电势具有eq\x(\s\up1(06))相对性，同一点的电势与选取的eq\x(\s\up1(07))零电势点的位置有关。一般选取离场源电荷无限远处为零电势点，在实际应用中常取大地的电势为0。2．等势面(1)定义：在电场中eq\x(\s\up1(08))电势相同的各点构成的面。(2)四个特点①在同一个eq\x(\s\up1(09))等势面上移动电荷时，静电力不做功。②等势面一定与eq\x(\s\up1(10))电场线垂直。③电场线总是由eq\x(\s\up1(11))电势高的等势面指向eq\x(\s\up1(12))电势低的等势面。④等差等势面越密的地方电场强度eq\x(\s\up1(13))越大，反之eq\x(\s\up1(14))越小。[特别提醒]电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。三、电势差匀强电场中电势差与电场强度的关系1．电势差(1)定义：在电场中，两点之间电势的差值。(2)定义式：UAB＝eq\x(\s\up1(01))φA－φB。显然，UAB＝－UBA。(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取eq\x(\s\up1(02))无关。(4)静电力做功与电势差的关系：电荷q在电场中从A点移到B点时，eq\x(\s\up1(03))静电力做的功WAB与移动电荷的eq\x(\s\up1(04))电荷量q的比等于A、B两点间的电势差，即UAB＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(WAB,q)，计算时q要带正负号。2．匀强电场中电势差与电场强度的关系(1)匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点eq\x(\s\up1(06))沿电场方向的距离。即：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。(2)电场强度的另一表达式①表达式：E＝eq\f(UAB,d)。(只适用于匀强电场)②意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿eq\x(\s\up1(07))电场强度方向的距离之比。也就是说，场强在数值上等于沿eq\x(\s\up1(08))电场方向单位距离上降低的电势。四、静电的防止与利用1．静电感应当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，这种现象叫静电感应。2．静电平衡导体放入电场中时，两侧感应电荷的电场与原电场在导体内部叠加，使导体内部的电场减弱，随着自由电子不断运动，直到导体内部各点的电场强度E＝0为止，导体内的自由电子不再发生eq\x(\s\up1(01))定向移动，这时我们说，导体达到静电平衡状态。3．尖端放电(1)导体尖端周围的强电场使空气eq\x(\s\up1(02))分子中的正负电荷分离，即使空气电离，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和，相当于导体从尖端失去电荷。这种现象叫作尖端放电。(2)尖端放电的应用：避雷针。4．静电屏蔽(1)处于电场中的封闭金属壳，由于壳内电场强度保持为eq\x(\s\up1(03))0，外电场对壳内的仪器不会产生影响。金属壳的这种作用叫作静电屏蔽。(2)静电屏蔽的应用①把电学仪器放在封闭的金属壳里。②野外三条高压输电线上方架设两条导线，与大地相连，把高压线屏蔽起来，使其免遭雷击。一、堵点疏通1．电场强度处处相同的区域内，电势一定也处处相同。()2．A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。()3．电场中，场强方向是电势降落最快的方向。()4．电势有正负之分，因此电势是矢量。()5．电势的大小由电场的性质决定，与零电势点的选取无关。()6．电势差UAB由电场本身的性质决定，与零电势点的选取无关。()答案1.×2.×3.√4.×5.×6.√二、对点激活1．(人教版必修第三册·第十章第1节[练习与应用]T3改编)关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是()A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值D．电势降低的方向即为电场线方向答案A解析由Ep＝qφ知，正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；根据Ep＝qφ可知，若－q在E点的电势能Ep为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。2.(人教版必修第三册·第十章第2节[练习与应用]T3改编)如图所示，下列说法正确的是()A．