金版教程物理2024导学案必修第一册人教版新第二章 匀变速直线运动的研究匀变速直线运动的位移与时间的关系含答案

《金版教程(物理）》2024导学案必修第一册(人教版新）第二章匀变速直线运动的研究3．匀变速直线运动的位移与时间的关系1．知道v­t图像中的“面积”与位移的对应关系。2.理解位移与时间的关系式，并能进行相关计算。3.理解速度与位移的关系式，并能进行相关计算。任务1匀变速直线运动的位移如图甲，是做匀速直线运动物体的v­t图像，可以看出，在时间t内的位移x＝vt对应图甲中着色部分的矩形面积。图乙是某物体做匀变速直线运动的v­t图像，可以证明，做匀变速直线运动的物体，其位移大小也可以用v­t图像中着色部分的梯形面积来表示(见教材本节“拓展学习”栏目)。已知图乙中物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t，试求出在时间t内物体运动的位移x。提示：根据图中着色梯形各线段所代表的物理含义以及梯形的面积公式，可以求得位移x＝eq\f(1,2)(v0＋v)t，将v＝v0＋at代入上式，有x＝v0t＋eq\f(1,2)at2。匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝eq\x(\s\up1(01))v0t＋eq\f(1,2)at2。若v0＝0，x＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(1,2)at2。1．判一判(1)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。()(2)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。()(3)公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2仅适用于匀加速直线运动。()提示：(1)×(2)√(3)×2．想一想匀速直线运动的位移与时间的关系式为x＝vt，由此式可以得出它的位移x与时间t呈线性关系，作出的x­t图像为倾斜直线；匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，那么它的x­t图像应为什么形状？提示：匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知，匀变速直线运动的x­t图像应为抛物线。1．位移与面积的关系匀变速直线运动v­t图像中图线与时间轴所围成的“面积”表示“位移”。2．匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的理解物理意义描述做匀变速直线运动的位移随时间变化的规律适用条件匀变速直线运动公式的矢量性公式中的x、v0、a均为矢量，应用公式解题时首先应选取正方向。一般取v0的方向为正方向，x、a与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。若v0＝0，则一般以a的方向为正方向特殊情况(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)(2)当v0＝0时，x＝eq\f(1,2)at2(由静止开始的匀加速直线运动)(1)公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，所以利用该公式求出的是位移而不是路程。只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程。(2)x＝v0t＋eq\f(1,2)at2是位移公式，不是位置公式。若t＝0时物体的位置坐标为x0，则物体位置x与时间t的关系式为x－x0＝v0t＋eq\f(1,2)at2(其中x－x0即位移)。例1某同学骑共享单车上学时，经过一段下行的缓坡，在该缓坡上做匀加速直线运动，初速度大小为v0＝5m/s，加速度大小为a＝0.5m/s2，求：(1)该同学在前3s内的位移大小；(2)该同学在第3s内的位移大小。[规范解答](1)前3s内该同学的位移：x3＝v0t3＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,3)＝5m/s×3s＋eq\f(1,2)×0.5m/s2×(3s)2＝17.25m。(2)前2s内该同学的位移：x2＝v0t2＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)＝5m/s×2s＋eq\f(1,2)×0.5m/s2×(2s)2＝11m因此，第3s内的位移：x＝x3－x2＝17.25m－11m＝6.25m。[答案](1)17.25m(2)6.25m(1)使用公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2时，要注意v0、a、x是矢量。式中包含v0、a、x、t四个物理量，当其中三个量已知时，可求第四个未知量。(2)应用公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2解题的基本思路①确定研究对象，并分析判断物体是否做匀变速直线运动。②选择研究过程。③分清已知量和待求量，找出与所选研究过程相对应的v0、a、t、x的值，特别要注意v0并不一定是物体运动的初速度，而是与研究过程相对应的初速度。④规定正方向，判定各矢量的正、负，统一已知量的单位，然后代入公式。⑤求解方程并说明，必要时对结果进行讨论。[跟进训练1]一辆沿平直公路匀速行驶的汽车，突然以1m/s2的加速度加速行驶，经12s发生的位移为180m，求：(1)汽车原来匀速行驶的速度为多大？(2)汽车12s末的速度为多大？答案：(1)9m/s(2)21m/s解析：(1)设汽车原来匀速行驶的速度为v0，取汽车原来行驶的方向为正方向，汽车在加速阶段加速度a＝1m/s2，经时间t＝12s发生的位移为x＝180m根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可解得v0＝9m/s。(2)设汽车12s末的速度为v，由匀变速直线运动速度与时间的关系式有v＝v0＋at＝9m/s＋1m/s2×12s＝21m/s。任务2速度与位移的关系这节我们学习了匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，上一节我们还学习了匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v0＋at。请推导出匀变速直线运动不含时间t的关系式。提示：将上述两个公式联立求解，消去时间t，可得到v2－veq\o\al(2,0)＝2ax。匀变速直线运动的速度与位移的关系式：eq\x(\s\up1(01))v2－veq\o\al(2,0)＝2ax。判一判(1)公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax适用于所有的直线运动。()(2)因为v2－veq\o\al(2,0)＝2ax，v2＝veq\o\al(2,0)＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0。()(3)在公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax中，a为矢量，与规定的正方向相反时，a取负值。()提示：(1)×(2)×(3)√匀变速直线运动的速度与位移的关系式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax的理解物理意义反映了匀变速直线运动初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中任意三个物理量已知时，可求第四个物理量适用条件匀变速直线运动公式的矢量性公式中的x、v、v0、a均为矢量，应用公式解题时首先应选取正方向。一般取v0的方向为正方向，v、a、x与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。若v0＝0，则一般以a的方向为正方向特殊情况(1)当v0＝0时，v2＝2ax(表示初速度为零的匀加速直线运动)(2)当v＝0时，－veq\o\al(2,0)＝2ax(表示末速度为零的匀减速直线运动)(1)该公式不涉及时间，研究的问题中若不涉及时间，利用该公式求解更加方便。(2)应用此公式时注意物理量的符号，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性。例2某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的飞机在平直跑道上加速时可产生的最大加速度为5.0m/s2，当飞机的速度达到50m/s时才能离开航空母舰起飞，设航空母舰始终处于静止状态。问：(1)若航空母舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，该舰身至少为多长？(2)若要求该飞机滑行160m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？[规范解答](1)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动，由公式v2＝2ax，可知该舰身长至少为x1＝eq\f(v2,2a)＝eq\f(（50m/s）2,2×5.0m/s2)＝250m。(2)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0时，飞机滑行160m后恰好能起飞，由匀变速直线运动速度与位移的关系式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax可得v0＝eq\r(v2－2ax2)＝eq\r(（50m/s）2－2×5.0m/s2×160m)＝30m/s。[答案](1)250m(2)30m/s[跟进训练2]如图所示为一滑草场的示意图，山坡AB、BC可视为斜面，AB长25m，一滑行者从山坡顶端A由静止开始匀加速下滑，在AB段下滑时加速度大小为a1＝2m/s2，进入BC段做匀减速运动，加速度大小为a2＝1m/s2，恰好能停在C点。求：(1)滑行者滑到B点的速度大小；(2)滑草场BC段的长度。答案：(1)10m/s(2)50m解析：(1)设滑行者滑到B点的速度大小为vB，滑行者在AB段的运动过程中，由匀变速直线运动速度与位移的关系式可得veq\o\al(2,B)＝2a1xAB解得vB＝10m/s。(2)设滑草场BC段的长度为xBC，滑行者在BC段的运动过程中，由匀变速直线运动速度与位移的关系式可得0－veq\o\al(2,B)＝－2a2xBC解得xBC＝50m。[名师点拨]多过程运动的分析技巧物体所做运动如果不是简单的匀变速直线运动，而是匀速直线运动、匀加速直线运动、匀减速直线运动组合的多过程运动，则运动过程比较复杂。对这类问题的分析方法如下：(1)按运动性质将物体的运动划分为多个简单运动过程，画出运动示意图，使运动过程直观清晰。(2)对每个运动过程列运动方程，注意方程式中每一个物理量均对应同一运动过程。(3)联系各个相邻运动过程的桥梁是速度，上一个过程的末速度等于下一过程的初速度。据此列方程组求解。(4)必要时可画v­t图像辅助求解。例3汽车以10m/s的速度行驶5分钟后突然刹车，如果刹车过程汽车做匀变速直线运动，加速度大小为5m/s2，则刹车后3秒内汽车行驶的距离是多少？(1)刹车问题先求什么？如何求解？提示：先求刹车时间。由匀变速直线运动速度与时间的关系式可以求解。(2)能直接将所给刹车后的时间代入位移与时间的关系式计算该段时间的位移吗？提示：不能。物理解题需要符合实际，要先判断所给时间是否就是汽车运动的时间。[规范解答]依题意画出运动草图如图所示。设经时间t汽车速度减为零，根据匀变速直线运动速度与时间的关系式，有v＝v0＋at，代入数据解得t＝2s，由于汽车在刹车2s后就停下了，所以有x3＝eq\f(0－veq\o\al(2,0),2a)＝10m。[答案]10m刹车类问题的分析思路汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。(1)如果t0＜t，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝eq\f(v0,a)，最大距离为x0＝eq\f(veq\o\al(2,0),2a)。(2)如果t0＞t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。微元累积思维本节教材“拓展学习”栏目“匀变速直线运动位移公式的推导”，主要是将运动过程细分，然后对多个细分过程累积求和，这种思维方法一般称为微元累积思维。上面这种分析问题的方法具有一般意义，原则上对于处理任意形状的v­t图像都适用。对于如图所示的运动物体的位移，可用其v­t图像着色部分图形的面积来表示。在处理较复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干个小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法，后续课程还会遇到。这种方法实质是微积分思想在高中物理的体现。例(多选)如图所示为电梯向上运动的v­t图像，根据图像判断，下列结论正确的是()A．电梯在0到4s内上升的高度为8mB．电梯在0到4s内上升的高度为4mC．电梯上升的总高度为20mD．电梯上升的总高度为32m[规范解答]v­t图像中图线与时间轴围成的面积表示物体的位移，则由题图可知，电梯在0到4s内上升的高度为h1＝eq\f(1,2)×4×2m＝4m，A错误，B正确；电梯上升的总高度为h＝eq\f(1,2)×(4＋16)×2m＝20m，C正确，D错误。[答案]BC[跟进训练]我们知道，v­t图像中图线与t轴围成的面积表示物体的位移，如图所示是初速度为2m/s的某物体做直线运动的a­t图像，下列判断正确的是()A．a­t图像中图线与t轴围成的面积表示位移B．a­t图像中图线与t轴围成的面积表示速度C．a­t图像中图线与t轴围成的面积表示速度变化量D．t＝2s时，该物体的速度为10m/s答案：C解析：a­t图像中图线与t轴围成的面积为a·Δt，根据加速度的定义式a＝eq\f(Δv,Δt)，可知a­t图像中图线与t轴围成的面积表示速度变化量Δv，由题图可知，0～2s内该物体的速度变化量Δv＝aΔt＝5m/s2×2s＝10m/s，则t＝2s时该物体的速度为v＝v0＋Δv＝12m/s，故A、B、D错误，C正确。课后课时作业题号1234567难度★★★★★★★★★对应考点/知识点用x＝v0t＋eq\f(1,2)at2求位移x用x＝v0t＋eq\f(1,2)at2求加速度ax与t的关系式的分析计算刹车问题中x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的应用用v2－veq\o\al(2,0)＝2ax求位移用v2－veq\o\al(2,0)＝2ax求初速度v0用v2－veq\o\al(2,0)＝2ax求加速度a题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★对应考点/知识点v2－veq\o\al(2,0)＝2ax在多过程直线运动中的应用v2－veq\o\al(2,0)＝2ax、x＝v0t＋eq\f(1,2)at2在刹车问题中的应用三个运动公式在多过程运动问题中的应用分段运动中公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的联立求解3个匀变速直线运动公式在多过程直线运动中的应用多过程运动的最短时间问题匀变速直线运动v­x图像的分析计算知识点一匀变速直线运动位移与时间的关系1．(2024·江苏省徐州市高一上期中)某人骑自行车以5m/s的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动，加速度大小是0.4m/s2，经过5s(还在上坡)，他在斜坡上通过的距离是()A．30m B．25mC．20m D．15m答案：C解析：根据匀变速直线运动位移与时间的关系式，可得人在斜坡上通过的距离x＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝5m/s×5s＋eq\f(1,2)×(－0.4m/s2)×(5s)2＝20m，故选C。2．一个物体以初速度v0＝2m/s做匀加速直线运动，在前3s内通过的位移是10.5m，则它的加速度为()A．0.5m/s2 B．1.0m/s2C．1.5m/s2 D．2.0m/s2答案：B解析：根据匀变速直线运动位移与时间关系式有x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，代入数据解得a＝1.0m/s2，故选B。3．(2024·青海省西宁市高一下开学考试)(多选)一质点沿x轴做匀变速直线运动，其位置x随时间t变化的规律为x＝18t－3t2(x、t的单位分别为m、s)，下列说法中正确的是()A．该质点的加速度大小为3m/s2B．该质点的初速度大小为9m/sC．0～4s内质点的位移为24mD．t＝2s末该质点的速度为6m/s答案：CD解析：根据x＝18t－3t2，可知t＝0时，x＝0，则x也表示位移，对比x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，可知该质点的加速度为a＝－6m/s2，初速度为v0＝18m/s，故A、B错误；0～4s内质点的位移为x＝v0t1＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝18m/s×4s＋eq\f(1,2)×(－6m/s2)×(4s)2＝24m，故C正确；t＝2s末该质点的速度为v2＝v0＋at2＝18m/s＋(－6m/s2)×2s＝6m/s，故D正确。4．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机做匀减速直线运动，加速度大小为5m/s2，则它关闭发动机后通过37.5m所需时间为()A．3s B．4sC．5s D．6s答案：A解析：汽车减速到0的时间为t0＝eq\f(0－v0,a)＝eq\f(0－20m/s,－5m/s2)＝4s；根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，将v0＝20m/s，a＝－5m/s2，x＝37.5m代入，得t1＝3s，t2＝5s，因t2＝5s＞t0＝4s，所以t2＝5s应舍去。故A正确。知识点二匀变速直线运动速度与位移的关系5．飞机着陆后匀减速滑行，滑行的初速度是60m/s，加速度大小是3m/s2，飞机着陆后滑行距离为()A．1170m B．600mC．180m D．20m答案：B解析：根据匀变速直线运动速度与位移的关系式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax可得，飞机着陆后滑行距离为x＝eq\f(0－veq\o\al(2,0),2a)＝eq\f(0－（60m/s）2,2×（－3m/s2）)＝600m，故选B。6．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30m，该车辆的刹车加速度大小是15m/s2，该路段限速为60km/h，则该车()A．超速B．不超速C．是否超速无法判断D．行驶速度刚好是60km/h答案：A解析：由匀变速直线运动速度与位移关系式可得0－veq\o\al(2,0)＝－2ax，解得肇事车辆的初速度大小为v0＝eq\r(2ax)＝eq\r(2×15m/s2×30m)＝30m/s＝108km/h＞60km/h，该车超速。故选A。7．某客机以4m/s的速度进入起飞跑道，然后做匀加速直线运动，滑行510m时速度达到起飞速度64m/s离开地面起飞。客机在跑道起飞滑行的加速度大小是()A．2m/s2 B．4m/s2C．6m/s2 D．8m/s2答案：B解析：由匀变速直线运动速度与位移的关系式，可得客机在跑道起飞滑行的加速度大小是a＝eq\f(v2－veq\o\al(2,0),2x)＝eq\f(（64m/s）2－（4m/s）2,2×510m)＝4m/s2，故选B。8．一辆汽车以54km/h的速度沿平直公路匀速行驶，当红灯亮起时，汽车车头离停车线50m，司机经过0.5s的反应时间后踩下刹车，此后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为3m/s2，则车停止时车头离停车线的距离为()A．5m B．7mC．9m D．11m答案：A解析：反应时间Δt内，汽车做匀速直线运动，其位移x1＝vΔt，刹车过程汽车做匀减速直线运动，其位移x2＝eq\f(v2,2a)，汽车在整个过程的位移为x＝x1＋x2，联立并代入数据解得x＝45m，则车停止时车头离停车线的距离为50m－45m＝5m。故选A。9．飞机着陆后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止。其着陆速度为60m/s，求：(1)飞机滑行225m时的速度大小；(2)飞机着陆过程中最后4s内滑行的位移大小。答案：(1)30m/s(2)48m解析：(1)设飞机滑行225m时的速度大小为v，取初速度方向为正方向，则初速度v0＝60m/s，加速度a＝－6m/s2，位移x＝225m由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax，得v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋2ax)＝eq\r(（60m/s）2＋2×（－6m/s2）×225m)＝30m/s。(2)飞机做匀减速直线运动速度减到零的过程，可逆向看成初速度为零的匀加速直线运动，其加速度a′＝6m/s2则飞机最后4s内滑行的位移大小为x′＝eq\f(1,2)a′t2＝eq\f(1,2)×6m/s2×(4s)2＝48m。10．(2023·浙江省衢州市高一统考期末)如图1是江滨公园的滑梯，该滑梯可以简化成由倾斜滑道AB、水平滑道BC组成，且AB与BC间平滑连接，如图2所示。某小朋友从A点由静止开始，以加速度a＝2m/s2经2s到达斜面底端，接着在水平面上做匀减速直线运动，运动3m后静止，假设该小朋友经过B点时速度大小不变。求：(1)该小朋友到达B点的速度大小；(2)倾斜滑道AB的长度；(3)该小朋友在水平滑道上运动时加速度的大小。答案：(1)4m/s(2)4m(3)eq\f(8,3)m/s2解析：(1)该小朋友在倾斜滑道AB上由静止开始做匀加速直线运动，由匀变速直线运动的速度与时间的关系式得，该小朋友到达B点的速度大小为v1＝at＝2m/s2×2s＝4m/s。(2)由匀变速直线运动的位移与时间的关系式得，倾斜滑道AB的长度为xAB＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×2m/s2×(2s)2＝4m。(3)在水平滑道BC上，取沿BC向右为正方向，由匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有0－veq\o\al(2,1)＝2a′xBC可得该小朋友在水平滑道上运动时加速度为a′＝－eq\f(8,3)m/s2，负号表示加速度方向向左。11．一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3s，通过B、C两相邻的树用了2s，则下列说法正确的是()A．此汽车运动的加速度大小为2m/s2B．此汽车经过A树时的速度大小为3.0m/sC．此汽车经过B树时的速度大小为6.5m/sD．此汽车经过B树时的速度大小为6.0m/s答案：C解析：设汽车运动的加速度为a，经过A树时的速度为v1，对AB段运动，由匀变速直线运动位移与时间的关系式，有x＝v1t1＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)，对AC段运动，根据匀变速直线运动位移与时间的关系式，有2x＝v1(t1＋t2)＋eq\f(1,2)a(t1＋t2)2，联立并代入数据解得a＝1m/s2，v1＝3.5m/s，故A、B错误；由匀变速直线运动速度与时间的关系式，得此汽车通过B树时的速度大小为v2＝v1＋at1＝6.5m/s，故C正确，D错误。12．(2023·河南省南阳市高一上期末)(多选)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏，如图所示，有一企鹅在倾斜冰面上，先以加速度a1＝0.5m/s2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，t＝8s时，突然卧倒以加速度大小为a2＝8m/s2肚皮贴着冰面匀减速向前滑行，最后以加速度大小为a3＝4m/s2加速退滑到出发点，完成一次游戏(企鹅在滑动过程中姿势保持不变)。以下说法正确的有()A．企鹅“奔跑”的距离是16mB．企鹅距离出发点最远20mC．企鹅回到出发点速度大小为2eq\r(34)m/sD．企鹅完成一次游戏用时18s答案：AC解析：企鹅“奔跑”的距离为x1＝eq\f(1,2)a1t2＝16m，故A正确；t＝8s时，企鹅的速度大小为v1＝a1t＝4m/s，企鹅沿冰面匀减速滑行的距离为x2＝eq\f(veq\o\al(2,1),2a2)＝1m，企鹅距离出发点的最远距离为x＝x1＋x2＝17m，故B错误；企鹅从最远点沿冰面做初速度为0、加速度为a3的匀加速直线运动，根据v2＝2ax可得，企鹅回到出发点的速度大小为v2＝eq\r(2a3x)＝2eq\r(34)m/s，故C正确；企鹅向上匀减速滑行的时间为t1＝eq\f(v1,a2)＝0.5s，企鹅匀加速下滑的时间为t2＝eq\f(v2,a3)＝eq\f(\r(34),2)s，则企鹅完成一次游戏用时为T＝t＋t1＋t2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8.5＋\f(\r(34),2)))s≈11.4s，故D错误。13．如图所示，竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度为104m，升降机运行的最大速度为8m/s，加速度大小不超过1m/s2。假定升降机到井口时的速度为0，则将矿石由静止从井底提升到井口的最短时间是()A．13s B．16sC．21s D．26s答案：C解析：当升降机由静止从井底先以允许的最大加速度加速上升达到允许的最大速度后，接着以允许的最大速度匀速运动，最后以允许的最大加速度减速到速度为0到井口时，升降机提升矿石所用时间最短。升降机加速上升的距离为h1＝eq\f(v2,2a)＝32m，加速时间为t1＝eq\f(v,a)＝8s；减速上升的距离h3＝h1＝32m，减速时间t3＝t1＝8s；故中间匀速上升的距离h2＝h－h1－h3＝40m，匀速运动的时间t2＝eq\f(h2,v)＝5s。所以最短时间t＝t1＋t2＋t3＝8s＋5s＋8s＝21s，C正确。14．(2023·陕西省渭南市高一统考期末)某汽车以10m/s的速度匀速行驶，突然发现前方有障碍物，于是立即开始减速。汽车刹车过程可视为匀减速直线运动，其v­x图像如图所示，则()A．汽车刹车过程加速度大小为1m/s2B．汽车经过3s速度变为0C．0～6s内，汽车的位移为24mD．当汽车运动的位移为9m时，速度为8m/s答案：D解析：汽车刹车过程可视为匀减速直线运动，根据速度与位移的关系式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax，结合v­x图像，代入数据v0＝10m/s、v＝0、x＝25m，可解得a＝－2m/s2，所以汽车做匀减速运动的加速度大小为2m/s2，A错误；根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式，可得汽车经过3s的速度为v3＝v0＋at3＝4m/s，B错误；汽车刹车过程所需时间为t刹＝eq\f(0－v0,a)＝5s，所以0～6s内，汽车的位移即刹车5s内的位移，由图像可得汽车的位移为25m，C错误；当汽车运动的位移为x′＝9m时，由公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax′，可得4．自由落体运动1．知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。2.掌握自由落体加速度，并能够运用自由落体运动的特点和规律解决有关问题。任务1自由落体运动如图甲，一个两端封闭的玻璃管(也称牛顿管)，其中一端有一个开关，玻璃管可以与外界相通。把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中，玻璃管竖直放置，让铁片和羽毛从玻璃管上方同时开始下落，物体下落的情况是怎样的？如图乙，把玻璃管里的空气抽出去，再次观察物体下落的情况。由此能得出什么结论？提示：图甲中铁片比羽毛下落得快。图乙中铁片和羽毛下落得一样快。结论：在真空中，轻的物体和重的物体下落得一样快。1．亚里士多德的观点物体下落的快慢跟它的eq\x(\s\up1(01))轻重有关，重的物体下落得eq\x(\s\up1(02))快。2．伽利略的观点(1)归谬：伽利略从eq\x(\s\up1(03))亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了亚里士多德的论断。(2)猜想：重的物体与轻的物体下落得eq\x(\s\up1(04))同样快。3．自由落体运动物体只在eq\x(\s\up1(05))重力作用下从eq\x(\s\up1(06))静止开始下落的运动。判一判(1)自由释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动。()(2)物体在真空中的运动一定是自由落体运动。()提示：(1)√(2)×1．自由落体运动的两个条件(1)初速度为零。(2)仅受重力作用。2．自由落体运动是一种理想化模型在空气中，物体运动时都会受到阻力，所以空气中不存在真正的自由落体运动。但在空气阻力很小的情况下，物体在空中从静止开始下落的运动可以近似看作自由落体运动。所以自由落体运动是一种理想化模型。例1关于自由落体运动，下列说法正确的是()A．物体从静止开始下落的运动就叫作自由落体运动B．自由落体运动是物体不受任何作用力的运动C．从静止开始下落的小钢球，因受空气阻力作用，不能看成做自由落体运动D．从树上落下的树叶，因受空气阻力作用，不能看成做自由落体运动[规范解答]根据自由落体运动的条件：初速度为0，只受重力作用，可知A、B错误。从静止开始下落的小钢球，所受空气阻力远小于重力，可看成做自由落体运动；从树上落下的树叶，所受空气阻力的作用与树叶所受重力相比不能忽略，不能看成做自由落体运动，C错误，D正确。[答案]D初速度为零、物体只受重力，这两个条件是否都满足是判断物体是否做自由落体运动的唯一标准。[跟进训练1]关于自由落体运动，下列说法正确的是()A．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动B．只在重力作用下，竖直向下的运动就是自由落体运动C．自由落体运动是加速运动D．在自由落体运动过程中，质量越大，下落得越快答案：C解析：物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，叫作自由落体运动，A、B错误；自由落体运动的初速度从零开始增大，故C正确；做自由落体运动的物体下落快慢与物体的质量无关，D错误。任务2自由落体加速度自由落体运动的规律自由落体运动是加速运动，为了判断它的加速度在下落过程中是否变化，我们通过实验来分析。如图甲，固定打点计时器，纸带一端系着重物，另一端穿过计时器。用手捏住纸带上端，启动打点计时器，松手后重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点，纸带及数据处理如图乙。仿照前面对小车运动的研究，分析重物下落的加速度是否变化？若加速度不变，请计算其大小。计时点BCDEF速度(m/s)0.390.580.791.001.15时间(s)0.020.040.060.080.10乙提示：描绘v­t图线如图所示，图线为倾斜直线，斜率不变，则重物下落的加速度不变，大小为a＝eq\f(1.18－0.20,0.10)m/s2＝9.8m/s2。1．自由落体加速度的定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都eq\x(\s\up1(01))相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作eq\x(\s\up1(02))重力加速度，通常用g表示。2．自由落体加速度的方向：eq\x(\s\up1(03))竖直向下。3．自由落体加速度的大小：在地球表面不同的地方，g的大小一般是eq\x(\s\up1(04))不同的。在一般的计算中，g可以取eq\x(\s\up1(05))9.8m/s2或10m/s2。4．自由落体运动的规律：自由落体运动是初速度为eq\x(\s\up1(06))0、加速度为eq\x(\s\up1(07))g的eq\x(\s\up1(08))匀加速直线运动，速度与时间的关系式为v＝eq\x(\s\up1(09))gt，位移与时间的关系式为x＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(1,2)gt2。判一判(1)质量越大的物体自由落体加速度越大。()(2)地球上任何地方的重力加速度都相同。()提示：(1)×(2)×1．自由落体加速度的特点(1)大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关。①在地球表面随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极处最大，但差别很小。②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变。(2)方向：竖直向下，不一定指向地心。由于地球近似是球体，各处重力加速度的方向并不相同。2．自由落体运动的规律自由落体运动是匀变速直线运动在v0＝0、加速度a＝g时的一个特例，它是最简单的一种匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的规律都适用于自由落体运动，只要把x写为h，初速度v0写为0，加速度a写为g就可以了。匀变速直线运动自由落体运动v＝v0＋atv＝gtx＝v0t＋eq\f(1,2)at2h＝eq\f(1,2)gt2v2－veq\o\al(2,0)＝2axv2＝2ghx＝eq\f(v0＋v,2)th＝eq\f(vt,2)例2小明从距离地面10m高处自由释放一小铁球，忽略空气阻力，g＝10m/s2。求：(1)小铁球下落的时间；(2)小铁球落到地面时的速度大小。[规范解答](1)根据题意，小铁球释放后做自由落体运动，设小铁球下落的时间为t，有h＝eq\f(1,2)gt2则t＝eq\r(\f(2h,g))，其中h＝10m，g＝10m/s2解得t＝eq\r(2)s。(2)解法一：根据v＝gt可知小铁球落到地面时的速度大小为v＝10eq\r(2)m/s。解法二：根据v2＝2gh可知小铁球落到地面时的速度大小为v＝10eq\r(2)m/s。[答案](1)eq\r(2)s(2)10eq\r(2)m/s[跟进训练2](2024·安徽省蚌埠市高一上校考期末)高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害。某消防员为了测试高空抛物的危害，将一个物体从某高楼的楼顶自由释放，物体(可视为质点)落地时速度的大小为40m/s，落地后不反弹，不计空气阻力，g取10m/s2，求：(1)该高楼楼顶的高度；(2)物体下落的总时间；(3)最后1s物体下落的高度。答案：(1)80m(2)4s(3)35m解析：(1)设该高楼楼顶的高度为h，由v2＝2gh，可得h＝eq\f(v2,2g)，其中v＝40m/s解得该高楼楼顶的高度h＝80m。(2)设物体下落的总时间为t，由v＝gt，可得t＝eq\f(v,g)解得t＝4s。(3)设最后1s物体下落的高度为Δh，则Δh＝h－eq\f(1,2)g(t－1s)2＝80m－eq\f(1,2)×10×32m＝35m。任务3竖直上抛运动1．竖直上抛运动的定义将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。2．竖直上抛运动的实质初速度v0>0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(以竖直向上为正方向，g为重力加速度的大小)。3．竖直上抛运动的规律基本公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(速度与时间的关系式：v＝v0－gt,位移与时间的关系式：h＝v0t－\f(1,2)gt2,速度与位移的关系式：v2－veq\o\al(2,0)＝－2gh))重要结论eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(上升时间t＝\f(v0,g),上升的最大高度H＝\f(veq\o\al(2,0),2g),落回出发点的总时间t总＝\f(2v0,g)))4．竖直上抛运动的特点(1)对称性①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等。如图，tAB＝tBA，tOC＝tCO。②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反。如图，vB＝－vB′，vA＝－vA′。(2)多解性通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。例3气球下挂一重物，以v0＝10m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g取10m/s2)[规范解答]解法一(分段法)：绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下落。重物上升阶段，运动时间t1＝eq\f(v0,g)＝1s由veq\o\al(2,0)＝2gh1知，上升高度h1＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)＝5m重物下落阶段，下落距离H＝h1＋175m＝180m则H＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)故下落时间t2＝eq\r(\f(2H,g))＝6s从绳子断裂到重物落地总时间t＝t1＋t2＝7s落地前瞬间的速度大小为v＝gt2＝60m/s。解法二(全程法)：取初速度方向为正方向重物全程位移h＝v0t－eq\f(1,2)gt2＝－175m可解得落地时间t＝7s(t＝－5s舍去)由v＝v0－gt得，落地前瞬间的速度v＝－60m/s，负号表示速度方向竖直向下。[答案]7s60m/s竖直上抛运动的处理方法(1)分段法①上升过程：v0≠0、a＝－g的匀减速直线运动。此过程可用逆向思维的方法分析计算。②下降过程：自由落体运动。(2)全程法①整个过程：初速度v0竖直向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2。②正负号的含义(取竖直向上为正方向)a．v>0表示物体上升，v<0表示物体下降。b．h>0表示物体在抛出点上方，h<0表示物体在抛出点下方。[跟进训练3]一位身高1.90m的高中学生，凭借2.18m的好成绩顺利通过清华大学运动员跳高专项测试。根据以上信息，可以估算出该同学这次起跳离地时竖直向上的速度最接近于()A．3m/s B．5m/sC．7m/s D．9m/s答案：B解析：根据题意可知，运动员在跳高过程中，重心上升的最大高度约为h＝2.18m－eq\f(1.90,2)m＝1.23m，由运动学公式有0－veq\o\al(2,0)＝－2gh，解得该同学这次起跳离地时竖直向上的速度v0≈5m/s，故选B。课后课时作业题号123456难度★★★★★★★对应考点/知识点自由落体运动的理解作v­t图像测量自由落体加速度的数据处理、误差分析用h＝eq\f(1,2)gt2计算下落高度自由落体运动中已知h，求v和t计算自由落体运动某段时间下落的高度、末速度竖直上抛运动位移的计算题号7891011难度★★★★★★★★★★★对应考点/知识点已知竖直上抛运动的初末速度求时间和位移非质点的自由落体运动计算已知自由落体运动某段时间的位移，求运动情况非质点的自由落体运动计算竖直上抛运动的综合计算知识点一自由落体运动的理解1．下列关于自由落体运动的说法正确的是()A．自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动B．从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动C．在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动D．只在重力作用下的运动必定是自由落体运动答案：A解析：自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，故A正确；从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体具有向上的初速度，所以该运动不是自由落体运动，故B错误；在空气中下落的雪花受到的空气阻力不能忽略，所以不是自由落体运动，故C错误；自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，但只在重力作用下的运动不一定是自由落体运动，故D错误。知识点二自由落体加速度的测量2．用如图1所示的实验装置测当地重力加速度。(1)实验中打出的一条纸带如图2所示，图中标注的点为纸带打出的连续点，每隔0.02s打一个点，则打点5时重锤的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)；(2)通过计算得到重锤在不同时刻的速度，选择0点为计时起点，在v­t坐标平面上描出相应的点，如图3所示，请在图中补充点5对应重锤的速度，并作出v­t图线；(3)由图像可知重锤下落的加速度为________m/s2(保留三位有效数字)；(4)实验测得的重力加速度总是小于当地重力加速度的真实值，可能的原因是：__________________________________。答案：(1)1.41(2)图见解析(3)9.50(4)空气阻力、打点计时器对纸带的阻力等解析：(1)由图2可得x46＝13.10cm－7.45cm＝5.65cm，根据匀变速直线运动的平均速度可代替中间时刻的速度，有veq\s\do9(\f(t,2))＝eq\o(v,\s\up6(－))，已知打点计时器的打点周期T＝0.02s，可知v5＝eq\f(x46,2T)＝1.41m/s。(2)根据(1)中数据，在图中描点，然后拟合各点，使数据点尽可能在直线上或均匀分布在直线两侧，则作出的v­t图线如图所示。(3)根据v­t图像的斜率表示加速度，可知重锤下落的加速度为a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(1.58m/s－0.44m/s,0.12s－0)＝9.50m/s2。(4)实验测得的重力加速度总是小于当地重力加速度的真实值，可能的原因是阻力影响，例如空气阻力、打点计时器对纸带的阻力等。知识点三自由落体运动的规律3．在某静止的塔吊顶上操作工人不小心掉落一串钥匙，忽略空气对钥匙的作用力，2s末钥匙落地，重力加速度g＝10m/s2，则塔吊顶离地面的高度约为()A．20m B．25mC．40m D．45m答案：A解析：忽略空气对钥匙的作用力，钥匙在空中做自由落体运动，由自由落体运动位移与时间的关系式，解得钥匙在2s内下落的高度，即塔吊顶离地面的高度约为h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)×10m/s2×(2s)2＝20m，A正确，B、C、D错误。4．(多选)某瀑布落差(即水流下落的高度)为207米，忽略上游水的初速度和空气的阻力，那么，瀑布中的水流落到山崖底部河流时的()A．速度大约是64m/sB．速度大约是76m/sC．下落时间大约是8sD．下落时间大约是6s答案：AD解析：忽略上游水的初速度和空气的阻力，瀑布中的水流在空中做自由落体运动，设其下落时间为t，落到山崖底部河流时的速度为v，由匀变速直线运动速度与位移的关系式，有v2＝2gh，其中h＝207m，解得v≈64m/s，故A正确，B错误；根据自由落体运动位移与时间的关系式，有h＝eq\f(1,2)gt2，解得t≈6s，故C错误，D正确。5．物体从零时刻开始从足够高处做自由落体运动，g＝10m/s2，求：(1)物体前4s内下落的高度；(2)物体第10s末的速度大小；(3)物体第10s内下落的高度(忽略高度引起的重力加速度的变化)。答案：(1)80m(2)100m/s(3)95m解析：(1)由自由落体运动的位移与时间的关系式可知，物体前4s内下落的高度为h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)＝80m。(2)由自由落体运动的速度与时间的关系式知，物体第10s末的速度大小为v＝gt2＝100m/s。(3)解法一：设物体第10s内下落的高度为h′，有h′＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,4)－eq\f(1,2)gteq\o\al(2,3)其中t3＝9s，t4＝10s解得h′＝95m。解法二：物体第10s内的运动可逆向看作初速度大小为v＝100m/s、加速度大小为g的匀减速直线运动，运动时间为t′＝1s，设物体第10s内下落的高度为h′，则有h′＝vt′－eq\f(1,2)gt′2代入数据解得h′＝95m。知识点四竖直上抛运动6．物体自空中某处以10m/s的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g取10m/s2，从抛出开始计时，3s内物体的位移()A．大小为75m，方向竖直向下B．大小为75m，方向竖直向上C．大小为15m，方向竖直向下D．大小为15m，方向竖直向上答案：C解析：取竖直向上为正方向，根据匀变速直线运动位移与时间的关系式，可得3s内物体的位移为x＝v0t－eq\f(1,2)gt2＝10m/s×3s－eq\f(1,2)×10m/s2×(3s)2＝－15m，负号表示与正方向反向，即位移大小为15m，方向竖直向下，故C正确，A、B、D错误。7．一物体从空中某位置以竖直向上的速度v抛出，经过时间t物体的速度大小为初速度大小的2倍，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是()A．t＝eq\f(v,g)B．时间t内物体的位移大小为eq\f(3v2,g)C．物体从抛出至速率变到eq\f(v,2)经过的时间一定是eq\f(v,2g)D．物体从抛出至速率变到eq\f(v,2)经过的时间可能是eq\f(v,2g)答案：D解析：忽略空气阻力，物体抛出后在空中做竖直上抛运动，以竖直向下为正方向，则物体的速度大小为初速度大小的2倍时的速度与初速度方向相反，根据速度与时间的关系可得t＝eq\f(2v－（－v）,g)＝eq\f(3v,g)，故A错误；设时间t内物体的位移大小为x，根据速度与位移的关系有(2v)2－(－v)2＝2