安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛理科数学试题

安徽省示范高中培优联盟2020年秋季联赛（高二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，其中（6）、（9）、（12）为选考题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求得整数的取值，由此可求得.【详解】解不等式，得，，所以，整数的可能取值有、、，因此，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.如图，向量等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】由题得，，所以，即得解.【详解】由题得，，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标定义和运算，考查向量的减法运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】，则，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.4.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解详解：的最小正周期是是偶函数，当时，，则故选点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.【详解】解：由函数在上单调递增，所以，由于函数在上单调递减，所以，由于函数在上单调递增，所以，故.故选：A.【点睛】本题考查指对数幂的大小比较，是基础题.6.下列命题正确的是（）A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为C.经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D.不经过原点的直线都可以用方程表示【答案】C【解析】【分析】A.由直线的斜率是否存在判断；B.由截距是否为零判断；C.由直线的两点式方程判断；D.由斜率是否存在判断；【详解】当直线的斜率不存在时，经过定点的直线方程为，不能写成的形式，故A错误.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以B错误；经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故C正确，不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为（）的形式，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查直线方程的形式的使用条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7.执行下面的程序框图，如果输入的，，，则输出的x，y的值满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】输入的，，，则，，不满足，故；则，，不满足，故；则，，满足，则输出的，满足.故选：C【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.已知变量x，y满足，则的最小值是（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，设，并令，作出初始目标函数表示的直线，根据图象判断目标函数的最大值.【详解】由不等式组表示区域，端点分别为，，，当直线过点B时t有最小值，此时有最小值，故选：A【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.9.已知相邻两条射线，所成的角是，线段.若，且满足“，”的点P所构成的图形为G，则图形G是（）A.线段 B.射线 C.直线 D.圆【答案】A【解析】【分析】设，，则可得，从而可得点P，，共线，再根据可得的轨迹.【详解】因，令，，则，整理得到：，所以点P，，共线，又，，故即，所以的轨迹为线段，图中线段为所求.故选：A.【点睛】本题考查共线向量定理的推论的应用、平面上动点的轨迹，注意三点共线的向量刻画，本题属于中档题.10.如图，在正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（）A.平面平面 B.平面C. D.平面【答案】B【解析】【分析】根据正方体中的线面关系、面面关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为在正方体中，易知，，平面，平面，，所以平面，又平面，从而平面平面，A正确；因为平面即为平面，而点P为线段上的动点，所以不能满足恒成立，因此不一定垂直平面，即平面不一定成立；故B错；因为正方体中，平面，所以，所以当点P在线段上运动时，始终有，所以C正确；因为在正方体中，平面平面，而平面，所以平面，D选项正确；故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面垂直或平行关系的判定，属于常考题型.11.某单位为了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了其中4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）181310用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程，其中，预测当气温为时，用电量的度数约为（）A.64 B.68C.68.8 D.69.6【答案】B【解析】【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【详解】解：由表格得，为：，又在回归方程上且，解得：，．当时，．故选：B．【点评】本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．12.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式的解集为，则b等于（）A. B.C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列性质，可得B，由不等式的解集为，求出a，c，再利用余弦定理，可得结论．【详解】因A、B、C依次成等差数列，则，解得，不等式的解集为，所以方程的两根为和2，解得，，，得.故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质，考查解不等式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．13.向量数列满足，且，，令，则当取最大值时的n为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根据新定义可得：，所以，结合基本不等式即可得解.【详解】，，若要取最大，则要最小，根据基本不等式当或时取最小，当时，，当，，故当，取最大值，故选：B.【点睛】本题考查了新定义数列，考查了数列的最值问题，解此类问题的关键是理解新定义并能正确的运算，有一定的计算量，属于中档题.14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，则，所以，整理，得，，点M位于图中、的位置时，的值最小可得答案.【详解】设，令，则，由题知圆是关于点A、C阿波罗尼斯圆，且，设点，则，整理得：，比较两方程可得：，，，即，，点，当点M位于图中、的位置时，的值最小，最小为.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.15.气象意义从春季进入夏季的标志是连续5天的日平均温度都不低于，现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位）的记录数据如下：①甲地五个数据的中位数为26，众数为22；②乙地五个数据的平均数为26，方差为5.2；③丙地五个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（）A.①② B.①②③C.②③ D.①③【答案】B【解析】【分析】①若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；②若有一天低于22，不妨设，则只有21，25，26，26，26，而不满足平均数26，故没有低于22的，所以乙地进入夏季；③若，取，则，不满足平均数26，故没有低于22的，所以丙地进入夏季.【详解】①因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；②设温度由低到高为：，，，，，根据方差的定义，，所以，若有一天低于22，不妨设，则只有21，25，26，26，26，而不满足平均数26，故没有低于22的，所以乙地进入夏季；③设温度由低到高为：，，，，，由题意可得，，由平均数的定义可得：，即，若，取，则，不满足平均数26，故没有低于22的，所以丙地进入夏季；故选：B【点睛】本题主要考查样本的数字特征．利用中位数、众数、平均数、极差、方差来估算该组数据的其他数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二、填空题（本大题共4小题，其中（15）为选考题.每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）16.已知关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】对和讨论，利用二次函数的性质列不等式求实数的取值范围.【详解】解：当时，对恒成立；当时，，解得，综合得：，故答案为.【点睛】本题考查二次不等式恒成立的问题，要特别注意讨论二次项系数为零的情况，是基础题.17.已知向量，，若，则向量，的夹角是______.【答案】【解析】【分析】由条件算出，然后可得答案.【详解】知，由知，得，则，的夹角余弦值为，两个向量的夹角范围为，所以，的夹角为.故答案为：【点睛】本题考查的是平面向量数量积的应用，属于基础题.18.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______.【答案】【解析】【分析】设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，根据等体积法求解即可.【详解】解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，左侧倒圆锥形沙堆的体积，右侧圆锥形沙堆的体积，由得.故答案为：.【点睛】本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题.19.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.【答案】【解析】【分析】设大圆面积为，小圆面积，求得，，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解.【详解】设大圆面积为，小圆面积，则，，可得黑色区域的面积为，所以落在黑色区域的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20.设函数.若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】讨论的取值范围，分情况讨论在时与x轴有一个交点或与x轴无交点，进而确定的零点个数，结合端点值即可求解.【详解】①若函数在时与x轴有一个交点，则，解得，函数与x轴有一个交点，所以，解得；②若函数与x轴无交点，当时与x轴无交点，在与x轴无交点，不合题意；则需函数与x轴有两个交点，令，可得和，则，解得，综上所述a的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了分类讨论以及函数与方程的思想，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21.如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.（Ⅰ）若M为上一点，且，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）证明：连接交于点N，连接，通过底面为直角梯形的特征，得出，，从而证明，从而得出，借助线面平行的判定定理可知平面.（Ⅱ）取中点O，连接，，通过侧面底面可证底面，从而可知为直线与平面所成角的平面角，在中，计算可得结果.【详解】（Ⅰ）证明：连接交于点N，连接，因为底面是直角梯形，且，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点O，连接，，，为等边三角形，平面底面，平面底面，平面，底面.为在平面内的投影，即为直线与平面所成角的平面角.在中，，，.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了直线与平面所成角，属于中档题.22.某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取出40名同学的成绩（百分制，均为正数），分成，，，，，六组后，得到其频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的中位数和平均值；（Ⅱ）为分析线上学习效果的差异，从和这两组中随机抽取3人的成绩，求这两组中至少各抽取1人的概率.【答案】（Ⅰ）72；70.5；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据中位数将所有小矩形的面积之和平分，中位数为y，列出可求中位数；平均数等于小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和即可求解.（Ⅱ）利用组合数以及古典概率计算公式即可求解.【详解】（Ⅰ）由图知，，所以，中位数位于70到80之间，设中位数为y，则，解得均值为：.（Ⅱ）由题意知组抽取的人数有4人，组抽取的人数有2人.从中任抽取3人共有种可能，其中抽取的3人均来自同一组的有种可能，由对立事件和古典概率计算公式知，这两组中至少各有1人的概率.【点睛】本题考查了频率分布直方图求中位数、平均数、古典概型的概率计算公式，属于基础题.23.在中，已知角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理可化为，由三角恒等变换求解即可；（Ⅱ）由余弦定理可求出，代入面积公式求解.【详解】（Ⅰ）因为，，所以.因为，所以，即.所以.又因为，所以，所以（Ⅱ）因，，则在中，由余弦定理，得，解得或（舍）.所以.所以的面积为【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查了三角恒等变换，属于中档题.24.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求函数在时的最值.【答案】（Ⅰ）最小正周期是；（Ⅱ）最大值为2，最小值为1.【解析】【分析】（Ⅰ）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的周期公式计算可得；（Ⅱ）首先求出函数的单调性，再求出函数的最值；【详解】解：（Ⅰ），所以函数的最小正周期（Ⅱ）因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；所以，函数在的最大值为，最小值为，【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，属于中档题.25.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.（1）判定函数是否属于集合M？并说明你的理由；（2）已知，若函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）