2024年中考数学考前冲刺复习《圆》含答案

中考复习之培优综合压轴大题练习卷：《圆》

1.如图，BE是。。的直径，半径。人_|_弦8(2,点D为垂足，连AE、EC.

(1)若NAEC=28。，求NAOB的度数；

(2)若/BEA=/B,EC=3,求。。的半径.

2.如图，AB是。。的直径，C为AB延长线上一点，过点C作。O的切线CD,D为切点,

点F是茄的中点，连接OF并延长交CD于点E,连接BD,BF.

(1)求证：BD1/OE;

(2)若。E=30而，tanC=卷，求。。的半径.

3.如图，AB是。。的直径，过点B作。O的切线BM,点A,C,D分别为。。的三等分

点，连接AC,AD,DC,延长AD交BM于点E,CD交AB于点F.

(1)求证：CD//BM;

(2)连接OE,若DE=m,求△OBE的周长.

C

4.如图，△ABC内接于G)O,过点C作BC的垂线交。O于D,点E在BC的延长线上,

且/DEC=/_BAC.

(1)求证：DE是的切线；

(2)若AC//DE,当AB=8,CE=2时，求。C)直径的长.

5.如图，OO是aABC的外接圆，PA是OO切线，PC交。。于点D.

(1)求证：ZPAC=ZABC;

(2)若/BAC=2/ACB,/BCD=90°,AB=2，^,CD=2,求O。的半径.

6.已知OA,OB是。。的半径，JLOA1OB,垂足为O,P是射线OA上的一点(点A除

外)，直线BP交。。于点Q,过Q作。O的切线交射线OA于点E.

图①图②

(I)如图①，点P在线段OA上，若/OBQ=15°,求/AQE的大小；

(n)如图②，点P在OA的延长线上，若/OBQ=65°,求/AQE的大小.

7.如图，点。是AABC的边AB上一点，以OB为半径的。。交BC于点D,过点D的切

线交AC于点E,JLDE1AC.

(1)证明：AB=AC;

(2)设AB=y5cm,BC=2cm,当点。在AB上移动到使。。与边AC所在直线相切时,

求。。的半径.

8.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点M,点M在以AB为直径的。O上，AD与。0

相交于点E,连接ME.

(1)求证：ME=MD;

(2)当NDAB=30°时，判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由.

9.如图，四边形ABCD内接于。0,/BAD=90°,AD、BC的延长线交于点F,点E在

CF上，且/DEC=/BAC,

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)当AB=AC时，若CE=2,EF=3,求。。的半径.

10.如图，Rt^OAB中，ZOAB=RtZ,以OA为半径的。。交BO于点C,交BO延长线

于点D.在。。上取一点E,且皿=AC，延长DE与BA交于点F.

(1)求证：ARDF是直角三角形；

(2)连接AC,AC=2\JIQ,OC=2BC,求AF的长.

11.在△ABC中，/ABC=45°,ZC=60°,。。经过点A,B,与BC交于点D,连接

AD.

(I)如图①.若AB是OO的直径，交AC于点E,连接DE,求/ADE的大小■.

(H)如图②，若。。与AC相切，求/ADC的大小.

图①

12.如图，PA切G)O于点A,射线PC交OO于C、B两点，半径OD_LBC于E,连接BD、

DC和OA,DA交BP于点F;

(1)求证：NADC+/CBD=L/AOD；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段.

13.如图，AD是AABC外角NEAC的平分线，AD与^ABC的外接圆OO交于点D.

(1)求证：DB=DC;

(2)若/CAB=30°,BC=4,求劣“弧而的长度.

14.如图，AB是。。的直径，BD是。。的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连结AC交

。。于点F.

(1)AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；

(2)若AB=8,NBAC=45°,求：图中阴影部分的面积.

15.如图，在RtZkABC中，ZB=90°，点。在边AB上，以点。为圆心，OA为半径的圆

经过点C,过点C作直线MN,使/BCM=2/A.

Cl)判断直线MN与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若OA=6,ZBCM=60°,求图中阴影部分的面积.

16.如图，AB是。。的直径，点C是处的中点，连接AC并延长至点D,使CD=AC,点

E是OB上一点，且叟1=2,CE的延长线交,DB的延长线于点F,AF交。。于点H,

EB3

连接BH.

(1)求证：BD是。。的切线；

(2)当OB=2时，求BH的长.

17.如图，以AABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E,

D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F,若AC=FC.

(1)求证：AC是。。的切线：

(2)若BF=8,DF=J函，求。。的半径；

(3)若/ADB=60°,BD=1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)

D

18.如图，已知AB是OO的直径，点C是。。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为

点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交AB于点F,连接BE.

(1)求证：AC平分/DAB；

(2)求证：4PCF是等腰三角形；

(3)若AF=6,EF=2^,-求。O的半径长.

19.已知△ABC中，/BCA=90°,BC=AC,D是BA边上一点(点D不与A,B重合)，

M是CA中点，当以CD为直径的。。与BA边交于点N,。。与射线NM交于点E,连

接CE,DE.

(1)求证：BN=AN;

(2)猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由.

5DNA

参考答案

1.解：（1）连接oc.

••・半径OA_L弦BC,

"标=菽,

/AOC=ZAOB,

/AOC=2/AEC=56°,

「./AOB=56°.

(2);BE是。。的直径，

/.ZECB=90°,

.\EC±BC,\OA1BC,

.-.EC//OA,

/A=/AEC,

•.OA=OE,

/A=/OEA,

「/BEA=/B,

/B=/AEB=/AEC=30°,

'/EC=3,

/.EB=2EC=6,

：.QO的半径为3.

2.(1)证明：:OBnOF,

.-.Z1=Z3,

•••点F是茄的中点，

Z1=Z2.

「•/2=Z3,

BDIIOE;

(2)解：连接OD,如图，

...直线CD是的切线，

/.ODXCD,

在Rt/XOCD中，•：tanC=Q^=二，

CD4

.,.设OD=3k,CD=4k.

..OC=5k,BO=3k,

/.BC=2k.

/BDIIOE,

.BCCD即2k4k

BODE3kDE

..DE=6k,

在RtAODE中，/OE2=OD2+DE2,

..(%10)2=(3k)2+(6k)2,解得k=d^

.,.OB=3^2，

即QO的半径的长

•AD二DC二AC，

,-.AD=DC=AC.

.1△ACD为等边三角形，

而点O为Z\ACD的外心,

/.ABXCD.

/BM为。O的切线,

.\BE_LAB.

.-.CD//BM;

(2)解：连接DB,如图，

■「△ACD为等边三角形，

ZC=60°,

ZABD=ZC=60°,

.\ZDBE=30°,

在RtZ\DBE中，BE=2DE=2m,DB=.

在RtAADB中，AB=2BD=,则OB=^y^m,

在RtTXOBE中，°E=J。B2+BE2=“/^，

「.△OBE周长为2m+^^111+旷斤111=(2+^^+^yy)m.

4.证明：(1)连接BD,交AC于F,

「DC_LBE,

.•./BCD=/DCE=90°,

：BD是OO的直径，

/DEC+/CDE=90°,

■//DEC=/BAC,

/BAC+/CDE=90°,

-BC=BC>

ZBAC=/BDC,

/BDC+/CDE=90°,

/.BDXDE,

•.DE是。O切线；

解：（2）/AC//DE,BDXDE,

/.BD1AC.

•.BD是。O直径，

:AF=CF,

AB=BC=8,

\BD_LDE,DCXBE,

/.ZBCD=ZBDE=90°,/DBC=/EBD,

/.ABDCcoABED,

.BD.BC

"BE"BD，

「.BD2=BC・BE=8X10=80,

••BD=4S/5-

即。。直径的长是4、后.

5.(1)证明：连接AO并延长交。。于点E,连接EC.

'.-AE是直径，

.-.ZACE=90",

ZEAC+ZE=90°,

/ZB=ZE,

/.ZB+/EAC=90°,

/PA是切线，

.-，ZPAO=90°,

ZPAC+ZEAC=90°,

/PAC=/ABC.

(2)解：连接BD,作OM_LBC于M交OO于F,连接OC,CF.设O。的半径为x.

.../BCD=90°,

/.BD是OO的直径，

\OM±BC,

:BM=MC,际=存/OB=OD,

/.OM=A.CD=I

2

//BAC=ZBDC=2/ACB,前=百,

/.ZBDF=ZCDF,

/ACB=/CDF,

,・AB=CF，

.•.AB=CF=2/3，

\CM2=OC2-OM2=CF2-FM2,

.'.X2-12=（4/5）2-（X-1）2,

；.x=3或-2（舍弃）,

.-.OO的半径为3.

6.解：（I）如图①中，连接OQ.

图①

■,EQ是切线，

.•,OQ1EQ,

ZOQE=90°,

'.'OA1OB,

/.ZAOB=90",

.-.ZAQB=XZAOB=45°,

2

-,OB=OQ,

.•，ZOB.Q=ZOQB=15",

.-.ZAQE=90°-15°-45°=30°

（D）如图②中，连接OQ.

图②

•;OB=OQ,

ZB=ZOQB=65°,

.•./BOQ=50°,

•//AOB=90°,

/AOQ=40°,

•,OQ=OA,

/.ZOQA=/OAQ=70°,

「EQ是切线，

.\ZOQE=90°,

.-，ZAQE=90°-70°=20°

■「DE是OO的切线，

/DEXOD,/ACXDE,

.,.dDIIAC,

Z_ODB=/C,

\OB=OD,

/B=/ODB,

ZB=ZC,

：AB=AC.

(2)设AC与OO相切于点F,连接OF,作AH_LBC于H.设半径为r.

\AB=AC,AH±BC,

：BH=CH=1,

■■-AH=VAB2-BH2=2>

tanZC=-L^i.=2,

HC

'.■/OFE=/ODE=/DEF=90",

二四边形ODEF是矩形，

■,OD=OF,

四边形ODEF是正方形，

；.EF=DE=r,

■."tanC=-5^,=2,

CE

，EC=J

2

--AF=V5-r-'^r=V5-yr>

在RtAAOF中，-/OA2=AF2+OFZ,

（Vg-r）2=12+（近一_|r）2,

解得r=g匹.

g

8.证明：（1）；AB是。。直径，

r./AMB=90°,

.•RABCD是菱形，

,-.AD=AB,

/ADB=/ABD,

,/四边形AEMB是圆内接四边形，

/DEM=/ABD,

ZADB=ZDEM,

/.ME=MD.

（2）直线CD与。O相切

理由如下：

过O作OH^CD于H,过D作DF^AB于F,

HDC

\DF±AB,ABHCD,

/.DFXCD,且OH_LCD,

..OH//DF,且AB//CD,

四边形OFDH是平行四边形，

：OH=DF,

•.在RtZkADF中，/DAF=30°,

,'.DF=1-AD,

2

又...四边形ABCD是菱形，

,-.AD=AB,

二OH=DF=1_AD=A-AB,

22

又.OH^CD,

二直线CD与。O相切.

9.解：（1）如图，

连接BD,-.-ZBAD=90°,

二点。必在BD上，即：BD是直径,

/BCD=90°,

/DEC+/CDE=90°,

■//DEC=/BAC,

/BAC+/CDE=90°,

/BAC=/BDC,

/BDC+/CD«E=90°,

/.ZBDE=90°,即：BDXDE,

•・•点D在。O上，

•.DE是。。的切线；

(2)•.•/BAF=/BDE=90°,

ZF+ZABC=ZFDE+/ADB=90°,

\AB=AC,

/./ABC=/ACB,

/ZADB=ZACB,

/F=/EDF,

,-.DE=EF=3,

/CE=2,ZBCD=90°,

,\ZDCE=90°,

•■-CD=VDE2-CE2=VB>

•/ZBDE=90°,CD1BE,

△CDEto△CBD,

.CD=BD

"CEDEJ

X

-BD=V533>/5-

22

.-.©o的半径=色/5.

4

10.(1)证明：如图连接EC交OA于H.

.-.OA1EC,

「CD是。O的直径,

/DEC=90°,

/.DF±EC,

/.OA//DF,

.「BF是。。的切线，

/.OAIBF,

.-.DF±BF,

「./F=90°,

「.△DFB是直角三角形.

（2）解：,//DEC=/F=90°,

ECIIFB,

.OC=OH=2

"BCAH'

：OH=2AH,设AH=m,则OH=2m,OC=3m,

・「CH2=OC2-OH2=AC2-AH2,

/.9m2-4m2=40-m2,

Am=2>/15（负根已经舍弃），

3

.CH=10-/3；

3

-.-OA±EC,

•FH=HC=10愿,

3

/F=ZFAH=/AHE=90°,

二.四边形AFEH是矩形，

...AF=EH=」°质.

3

11.解：（I）如图，连接BE

图①

•."ABC=45°,ZC=60°,

ZBAC=75°,

「AB是直径，

.-.ZAEB=90°,

/ABE=/AEB-/BAC=15°,

,「/ABE=/ADE,

/.ZADE=15°,

(n)连接OA,OD,

图②

•.AC是OO的切线，

ZOAC=90°,

■「/ABC=45°

/AOD=90°,且OA=OD

「./OAD=45°

/DAC=/OAC-/DAO=45°,且/C=60°

/ADC=75°

12.(1)证明：.「OD^BC,

­-BD=CD>

/CBD=/DCB,

•//DFE+/EDF=90°,

/.ZEDF=90°-ZDFE,

■「OD=OA,

.-./ODA=i(180°-ZAOD)=90-J-/AOD,

22

.-.90°-ZDFE=90°-J-ZAOD,

2-

/DEF=1*/AOD,

2

・•,NDFE=zADC+ZDCB=ZADC+ZCBD,

ADC+ZCBD=L/AOD；

2

(2)解：•.•OD-BC,

二.BE=CE，而=而，

BD=CD,

・「OA=OD,

/./_ADO=/OAD,

「PA切OO于点A,

.-.ZPAO=90°,

/.ZOAI>ZDAP=90o,

/PFA=/DFE,

ZPFA+ZADO=90°,

/PAF=ZPFA,

,-.PA=PF.

13.(1)证明：:AD平分/EAC,

/EAD=/CAD,

■「A,D,C,B四点共圆，

/EAD=/DCB,

由圆周角定理得，ZCAD=/CBD,

/_DCB=/DBC,

/.DB=DC;

(2)解：由圆周角定理得，/COB=2/CAB=60°,/GDB=/CAB=30°,

.1△COB为等边三角形,

OC=BC=4,

•・DC=DB,/CDB=30°,

.-.ZDCB=75°,

/DCO=15°,

ZCOD=150°,

则劣弧面的长='5°7Tx4=12■:

31803

理由是：连接AD.

,；AB是0O的直径，

ZADB=90",即AD_LBC,

又「DC=BD,

：AB=AC;

(2)连接OD、过D作DHJ_AB.

••.AB=8,/BAC=45°,

/.ZBOD=45°,OB=OD=4,

DH=2,,J7

..△OBD的面积=,x4X20二历

2

扇形OBD的面积4=2兀，阴影部分面积=2兀

15.解：（1）MN是OO切线.

理由：连接OC.

B

/OA=OC,

:.乙OAC=/OCA,

,一/BOC=/A+/OCA=2/A,/BCM=2/A,

/.ZBCM=/BOC,

,/ZB=90°,

ZBOC+ZBCO-=90°,

ZBCM+ZBCO.=90°,

/.OCXMN,

：MN是。O切线.

（2）由（1）可知/BOC=/BCM=60°,

ZAOC=120°,

在RT^BCO中，OC=OA=6,/BCO=30°,

.-.BO=AOC=3,BC=3A/3，

2

.-.s=S-S=120-7l.6,1.6,3^3=12^-9^.

阴扇形OACAOAC3602VJ丫丁

16.证明：（1）连接OC,

■「AB是。。的直径，点C是菽的中点，

ZAOC=90°,

・「OA=OB,CD=AC,

/.OC是4ABD是中位线，

,\OC//BD,

.•./ABD=/AOC=90°,

/.ABXBD,

.•点B在。。上，

，BD是。O的切线;

解：(2)由(1)知，OC//BD,

AOCEC^ABFE,

.PC0E

"BF=EB，

■,OB=2,

.-.OC=OB=2,AB=4,还•上，

EB~3

.22

BF-3

；.BF=3,

在RtZXABF中，ZABF=90°,根据勾股定理得，AF=5,

■.-s=XAB«BF=XAF*BH,

△ABFg2

:AB・BF=AF・BH,

4X3=5BH,

.-.BH=1£.

5

17.(1)证明：连接OA、OD,如图，

•••D为BE的下半圆弧的中点，

/.ODXBE,

.\ZODF+ZOFD=90°,

\CA=CF,

/CAF=/CFA,

而ZCFA=/OFD,

ZODF+ZCAF=90°,

\OA=OD,

/ODA=/OAD,

.\ZOAD+ZCAF=90°,即/OAC=90°,

/.OA1AC,

：AC是。。的切线；

(2)解：设OO的半径为r,则OF=8-r,

在RtzXODF中，(8-r)2+r2=(J^)2,解得\=6,：=2(舍去),

即。O的半径为6;

(3)解：•.•/BOD=90°,OB=OD,

ABOD为等腰直角三角形，

,-.OB=2Z1BD=^1.,

22

二.OA=亚，

2

/AOB=2/ADB=120°,

/AOE=60°,

在Rt^OAC中，AC=、/^OA=返,

-冗

..・阴影部分的面积=JL.返.4⑥-