2024年中考数学一轮复习 二次函数的应用的核心知识点 讲义（含答案）

高考复习材料

二次函数的应用的核心知识点精讲

复京露||

1.会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题.

2.经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。

考藐

考点1：用二次函数的性质解决实际问题

利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围

（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值

考点2：用二次函数图象解决几何问题

二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、

最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标

和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利

用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的

V典例期领

【题型1：用二次函数解决抛物线型问题】

【典例1】（2024•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8加的/处射门，球射向球门的路线呈抛物

线.当球飞行的水平距离为6加时，球达到最高点，此时球离地面3加.已知球门高02为2.44加，现以。

为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；

（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动

多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

高考复习材料

（2）当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25仅处.

【解答】解：（1）：8-6=2,

抛物线的顶点坐标为（2,3）,

设抛物线为y=a（x-2）2+3,

把点/（8,0）代入得：36a+3=0,

解得。=-A,

12

...抛物线的函数表达式为y=-A.（x-2）2+3；

当x=0时，y—-_l_X4+3=—>2.44,

123

球不能射进球门.

（2）设小明带球向正后方移动加米，则移动后的抛物线为夕=-吉（x-2-%）2+3,

把点（0,2.25）代入得：2.25=-（O-2-w）2+3,

12

解得m=-5（舍去）或m=\,

・••当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25相处.

工目口时梏泅

1.（2024•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线,

运动员离水面的高度y（m）与离起跳点/的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离

起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为

7m.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长.

L

、

押

后

狂

法

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0,10）和（3,7）,对称轴为直线x=l,

设y关于x的函数表达式为y=a/+6x+c,

高考复习材料

'c=10

9a+3b+c=7

，a=-l

解得：，b=2，

tc=10

关于X的函数表达式为歹=-X2+2X+10；

(2)在尸-/+2x+10中，令尸。得0=-/+2x+10,

解得x=JTI+1或x=-J五+1(舍去)，

•••运动员从起跳点到入水点的水平距离03的长为(丁五+1)米.

2.(2024•河南)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,

下面是他对击球线路的分析.

如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，球网N8与y轴的水平距离OA=3>m,CA=2m,击球

点尸在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系了=-

0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(加)与水平距离x(加)近似满足二次函数关系y=a(x-

1)2+3.2.

(1)求点尸的坐标和a的值；

(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计

(2)选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近.

【解答】解：(1)在y=-0.4x+2.8中，令x=0得>=2.8,

二点尸的坐标为(0,2.8)；

把尸(0,2.8)代入y=a(x-1)?+3.2得：。+3.2=2.8,

解得：a--0.4,

•'•a的值是-0.4；

(2)'：OA=3m,CA=2m,

：.OC=5m,

高考复习材料

：.C(5,0),

在y=-0.4x+2.8中，令y=0得x=7,

在y=-0.4(x-1)2+3.2中，令y=0得工=-2弧+1(舍去)或彳=2&+1心3.82,

V|7-5|>|3.82-5|,

.•.选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近.

3.(2024•陕西)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高

之积为48加2,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这

两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12”,拱高产E=4m.其中，点N在x轴上，PE±ON,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8加，拱高PE=6m.其中，点N'在x轴上，P'E'10'N',

OE'=E'N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD

的面积记为点/、。在抛物线上，边8c在ON上；方案二中，矩形框架48C'。的面积记为$2,

点4,O在抛物线上，边笈。在ON上.现知，小华已正确求出方案二中，当4笈=3加时，

2;

S2=12^m请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；

(2)在方案一中，当48=3相时，求矩形框架的面积&并比较Si，$2的大小.

【答案】(1)方案一中抛物线的函数表达式为夕=-上^+刍；

93

(2)&=18加2；SX>S2.

【解答】解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4),

设抛物线的函数表达式为y=aG-6)2+4,

把。(0,0)代入得：0=。(0-6)2+4,

解得：a=-―,

9

-—(x-6)2+4=-Ar2+Ar；

993

高考复习材料

...方案一中抛物线的函数表达式为>=-lx2+Ar；

9O

（2）在^=--x2+—x中，令y=3得：3=-^-x2+—x；

9393

解得x=3或x=9,

：.BC=9~3=6(m),

：.Si=AB^C=3X6=lS(加2)；

V18>12V2，

：.Si>S2.

A

工典例第箍

【题型2：用二次函数解决最优化问题】

【典例2】（2024•丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克

4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时，每天售出大

米950奴；当每千克售价为6元时，每天售出大米900彷，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量

y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系.

（1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？

（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据题意设

当每千克售价为5元时，每天售出大米950幅；

当每千克售价为6元时，每天售出大米900恒，

则［5k+b=950,

l6k+b=900

解得：。=-50,

lb=1200

则y与x的函数关系式；y=-50x+1200（44W7）,

（2）...定价为x元，每千克利润（x-4）元，

由（1）知销售量为y=-50x+1200（4WxW7）,

则（x-4）（-50x+1200）=1800,

解得：=22（舍去），尤2=6,

超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元;

（3）设利润为沙元，

根据题意可得：W=（x-4）（-50x+1200）,

高考复习材料

即W=-50X2+1400X-4800=-50(x-14)2+5000,

"：a=-50<0,对称轴为x=14,

...当x<14时，少随x的增大而增大，

又：4WxW7,

；.x=7时，平最大值=-50（7-14）2+5000=2550（元），

.♦.当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元.

60时检测

1.（2024•绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富.为增加该村村民收入，计划

定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量/（袋）和每袋售价x

（元）记录如下：

时间第一天第二天第三天第四天

x/兀15202530

w袋25201510

若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：

（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；

（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利

润.（利润=销售额-成本）

【答案】（1）y=~x+40；

（2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.

【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为了=

kx+b,

得［25=15k+b

l20=20k+b，

解得［k=T,

lb=40

故日销售量》（袋）与销售价X（元）的函数关系式为：y=-X+40；

（2）依题意，设利润为w元，

得尸（x-10）（-x+40）=-X2+50X-400,

配方，得卬=-(x-25)2+225,

V-1<0

.•.当x=25时，W取得最大值，最大值为225,

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.

2.（2024•荷泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩

高考复习材料

形花园，用一道篱笆把花园分为/,3两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120

米.

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A,2两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株

售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

AB

【答案】(1)垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；

(2)最多可以购买1400株牡丹.

【解答】解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120-3%)

米，

根据题意得：S=x(120-3x)=-3X2+120X=-3(x-20)2+1200,

：-3<0,

...当x=20时，S取最大值1200,

/.120-3x=120-3X20=60,

.•.垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；

(2)设购买牡丹机株，则购买芍药1200X2-加=(2400-加)株，

•••学校计划购买费用不超过5万元，

.,.25加+15(2400-m)W50000,

解得"zW1400,

最多可以购买1400株牡丹.

3.(2024•黄石)某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本

为10万元/件.设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与龙之间的函数解析式是z=

<15,°<x<12,其中x是正整数.当工=16时，z=14；当x=20时，z=13.

mx+n,12<x<20

(1)求加，n的值；

(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20.

①当12cxW20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？

②当0<xW20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于。万元，求实数0的取值范围.

【答案】(1)m=-?7=18；

4

(2)①工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；

②a的取值范围400<aW403.75.

高考复习材料

【解答】解：(1)把x=16时，z=14；x=20时，z=13代入歹=加工+〃得：

(16m+n=14

[20m+n=13

解得m=-—,〃=18；

4

(2)①设第x个生产周期创造的利润为攸万元，

由(1)知，当12VxW20时，z=-_lx+18,

4

(z-10)y=(-Xx+18-10)(5x+20)=(-Ax+8)(5x+20)=-^-x2+35x+160=-(x-14)

4444

2+405,

；-5<0,12cxW20,

4

.•.当x=14时，w取得最大值，最大值为405,

工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元;

②当0cxW12时，z=15,

；.w=(15-10)(5x+20=25x+100,

’25x+100(0<x<12)

(x-14)2+405(12<x<20),

由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元,

.•.当x=13,15时w=403.75,

当x=12,16时，w=400,

：.a的取值范围400<aW403.75.

FJMM

【题型3：二次函数的综合应用】

【典例3】(2024•烟台)如图，抛物线>="2+加+5与x轴交于/,2两点，与了轴交于点C,48=4.抛物

高考复习材料

线的对称轴x=3与经过点/的直线y=fcc-1交于点。，与x轴交于点£.

(1)求直线4D及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点使得△4DM是以40为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以点8为圆心，画半径为2的圆，点尸为08上一个动点，请求出PC+LP/的最小值.

2

备用图

【答案】(1)直线/。的解析式为y=x-1；抛物线解析式为y=x2-6x+5；

(2)存在，点M的坐标为(4,-3)或(0,5)或(5,0)；

⑶V41.

【解答】(1)解：••,抛物线的对称轴x=3,AB=4,

：.A(1,0),B(5,0),

将/(1,0)代入直线》=履-1,得左-1=0,

解得k=1,

/.直线AD的解析式为y=x-1；

将N(1,0),B(5,0)代入'=0?+乐+5,得

(a+b+5=0，解得(a=l,

125a+5b+5=0lb=_6

，抛物线的解析式为夕=x2-6x+5；

(2)存在点M,

,/直线AD的解析式为y=x-1,抛物线对称轴x=3与无轴交于点E,

当x=3时，y=x-1=2,

：.D(3,2),

①当NZX4M=90。时，

设直线的解析式为y=-x+c,将点/坐标代入，

得-1+。=0,

高考复习材料

解得c=l,

直线AM的解析式为y=-x+1,

解方程组,得（x=l或卜=4,

Ly=x-6x+5ly=Oly=-3

，点Af的坐标为（4,-3）；

②当N/OM=90°时，

设直线0M的解析式为y=-x+d,将。（3,2）代入，

得-3+d=2,

解得d=5,

・・・直线DM的解析式为y=-x+5,

解方程组,解得（x=0或卜=5,

Ly=x-6x+5ly=5ly=0

.•.点”的坐标为（0,5）或（5,0）,

综上，点〃的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如图，在N8上取点R使8尸=1,连接CR

yk

"：PB=2,

,•BF-1,

PB2

.••PB=2=1,

AB42

•••BFZ2---PB，

PBAB

又,:ZPBF=ZABP,

：.△PBFsAABP,

.•.更QL。，即尸尸二。4,

PAPB22

...PC+ljiA=PC+PF>CF,

2

高考复习材料

当点C、P、尸三点共线时，尸。+工尸工的值最小，即为线段CF的长,

2

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,

C7?=VOC2-K)F2=VS2+42，

：.PC+^A的最小值为yr

1.(2024•攀枝花)如图，抛物线y=ax2+6x+c(aWO)经过坐标原点O,且顶点为N(2,-4).

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴正半轴的交点为2,点尸位于抛物线上且在x轴下方，连接04、PB,若NN02+

/PBO=90°,求点P的坐标.

(2)P(X-1).

24

【解答】解：⑴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2-4,

将O(0,0)代入得：4a-4=0,

解得a=lj

・・.歹=(x-2)2-4=x2-4x；

(2)过/作轴于T,过尸作尸K_Lx轴于K,如图:

在y=N-4x中，令y=0得x=0或x=4,

：.B(4,0)；

VZAOB+ZAOT=90°,ZAOB+ZPBO=90°,

：.ZAOT=/PBO,

高考复习材料

VZATO=90°=ZPKB,

：./\AOT^/\PBK,

•AT=OT；

"PKEK'

'：A(2,-4),

2―4,

-m2+4m4-m

解得加机=4（此时尸与8重合，舍去）,

2

：.P(X-工).

24

2.（2024•自贡）如图，抛物线＞=-生^+公+4与x轴交于/（-3,0）,2两点，与了轴交于点C.

3

（1）求抛物线解析式及瓦C两点坐标；

（2）以/,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标;

（3）该抛物线对称轴上是否存在点E,使得//CE=45°,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-9Y2-g_x+4,点c的坐标为（0,4）,点8的坐标为（1,0）.

33

（2）点。的坐标为（-4,4）或（-2,-4）或（4,4）,

(3)E的坐标为(-1,ZL).

7

【解答】解：（1）把点/的坐标代入解析式得6=3,

3

...抛物线的解析式为了=-A?-&X+4,

33

高考复习材料

:.点C的坐标为（0,4）,点2的坐标为（1,0）.

（2）以4,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况:

①若NC为对角线，设NC的中点为R则根据中点坐标公式可得尸的坐标为（-3,2）,

2

f1+a3

------——---

22

设点。的坐标为（a,b）,则有1,

地_9

解得4=-4,6=4,此时点。的坐标为（-4,4）,

②若以N8为对角线，设N8的中点为尸，则尸的坐标为（-1,0）,

（0+a_,

丁=7

设点。的坐标为（。，6）,则有1,

等=。

解得4=-2,b=-4,此时点。的坐标为（-2,-4）,

③若以5c为对角线，设8c的中点为尸，则点尸的坐标为（/，2）,

~3+a1

-2~下

设点。的坐标为（。，b）,则有《，

Ojk_9

解得。=4,b=4,此时点。的坐标为（4,4）,

综上所述，点D的坐标为（-4,4）或（-2,-4）或（4,4）；

（3）存在，理由如下:

tan//CO=迫=Ji<1,

CO4

ZACO<45°,

不可能出现在直线NC下方，也不可能在直线/C上，

当点£在直线NC上方时，ZACE=45°,过点E作瓦0L/C,如图:

高考复习材料

根据点/(-3,0)和点C(0,4)可得直线NC的解析式为>=生乂+4,设直线/C与对称轴交于点

3

.,.点〃(-1,A),HC=L,

33

轴，

/.ZEHM=ZHCO,

.*.tanNEHM=tanZHCO=9=A=趴，

CO4HM

4

VZACE=45°,

：.EM=CM,

：.HC=HM+CM,即3小幺

34

解得〃收=型，

21

7

在RtZkEM/中，^=VEM2+HM2;

解得£77=空，

21

：.E的纵坐标为&僖=21，

3217

.•.点E的坐标为(-1,27).

7

3.(2024•阜新)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-N+bx-°的图象与％轴交于点％(-3,0)

高考复习材料

和点8(1,0),与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线NC：y=x+3交于点D,若点M是直线/C上方抛物线上的

一个动点，求△MCD面积的最大值.

(3)如图2,点尸是直线/C上的一个动点，过点P的直线/与2C平行，则在直线/上是否存在点

使点8与点尸关于直线C。对称？若存在，请直接写出点0的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-x2-2x+3；

(2)旦；

8

(3)Q(1-遥，-遥)或(1+遥，炳).

【解答】解：(1)由题意得，

y—-(x+3)(x_1)=-/-2x+3；

(2)如图1,

作般_L/C于0,作a于尸，交4c于E,

'：OA=OC=3,ZAOC=90°,

：.ZCAO=ZACO=45°,

ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,

抛物线的对称轴是直线：x=WL=_i，

2

•3~-1+3=2,

高考复习材料

：.D(1,2),

VC(0,3),

：.CD=42>

故只需△肱7£>的边CD上的高最大时，丛MCD的面积最大,

设过点M与NC平行的直线的解析式为：y=x+m,

当直线y=x+加与抛物线相切时，△MCD的面积最大，

由x+m=-无2-2x+3得，

X2+3X+(m-3)=0,

由A=0得，

32-4(m-3)=0得，

m-3=—,

4

.'.x2+3x+—=0,

4

•.・％1—_X2—_—^3―，

2

.\v=-(_3)2_2X(/_)+3=里

212}4

y=x+3=-=

’22

;.胸=型力"，

424

：.MQ=ME'sinZMEQ=ME-sin45a=上乂^2上区

428

S&MCD最大=、■XV2X£■；

288

图2

当点P在线段NC上时，连接AP,交C。于夫,

丁点2和点0关于C0对称，

：.CP=CB,

高考复习材料

设P5什3）,

由CP2=CB2得,

2於=10,

**-t\=-^2=V5（舍去），

:.P（-V5，3-遥），

'JPQ//BC,

.CRBR」

：.CR=QR,

四边形BCPQ是平行四边形，

1+（-y/s）-0=1-yfs，0+（3-y/s）-3—-A/5，

--Q（1-依，-粕）；

如图3,

图3

当点尸在/C的延长线上时，由上可知：尸（返，3+灰），

同理可得：Q（1+V3，A/5）,

综上所述：0（1-V5>-Vs）或（1+。^,

4.（2024•浙江）在二次函数>=/-2女+3（f>0）中.

（1）若它的图象过点（2,1）,贝卜的值为多少？

（2）当04W3时，y的最小值为-2,求出/的值；

（3）如果/（加-2,a）,B（4,b）,C（m,a）都在这个二次函数的图象上，且a<b<3.求机的取值

范围.

【答案】（1）-3；

2

（2）f的值为遥；

（3）3<加<4或加>6.

【解答】解：⑴将（2,1）代入产N-2及+3得：

高考复习材料

1=4-4什3,

解得：-3；

2

(2)抛物线歹=/-2a+3对称轴为x=t.

若0V/W3,当x="寸函数取最小值，

:,住-2P+3=r2,

解得/=

若方>3,当x=3时函数取最小值，

・・・9-6什3=-2,

解得t上(不符合题意，舍去)；

13

综上所述，f的值为遥；

(3)'：A(m-2,a),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，

・••二次函数y=N-2及+3的对称轴直线％=£即为直线工=出@%=加-1,

2

••t~~YYl-1,

,》0,

.9•m-1>0,

解得m>L

Vm-2〈冽,

・・・4在对称轴左侧，。在对称轴右侧，

在y=/-2tx+3中，令x=0得y=3,

・・・抛物线y=4-2枕+3与。轴交点为(0,3),

/.(0,3)关于对称轴直线工=加-1的对称点为(2m-2,3),

・"V3,

/.4<2m-2,

解得m>3；

①当4(m-2,a),B(4,b)都在对称轴左侧时，

9•y随x的增大而减小，且a<b,

.".4<zw-2,

解得冽>6,

此时m满足的条件为m>6；

②当/-2,a)在对称轴左侧，B(4,b)在对称轴右侧时，

•:a〈b,

：.B(4,b)到对称轴直线工=m-1距离大于4(m-2,a)到对称轴直线工=切-1的距离,

高考复习材料

.*.4-（m-1）>m-1-（m-2）,

解得：m<4,

此时m满足的条件是3<m<4,

综上所述，3〈加V4或冽>6.

好嬴

£基础过关

选择题（共7小题）

1.在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一

条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度夕（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间

具有函数关系y=--2+旦共3,则小康这次实心球训练的成绩为（）

【答案】B

【解答】解：当y=0时，贝｝上_d+3+3=0,

1682

解得x=-2（舍去）或x=12.

故选：B.

2.物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度〃（单位：m）与小球运

动时间f（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：

①小球在空中经过的路程是40m

②小球抛出3s后，速度越来越快

③小球抛出3s时速度为0

④小球的高度〃=30加时，f=1.5s

其中正确的是（）

高考复习材料

A.①②③B.①②C.②③④D.②③

【答案】D

【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40加；故①错误；

②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；

④设函数解析式为：h=a(f-3)2+40,

把。(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得朴一^，

@9

2

/.函数解析式为h=—典(t-3)+40，

9

把〃=30代入解析式得，30=-理■(t-3)2+40，

9

解得：，=4.5或f=1.5,

...小球的高度〃=30加时，f=1.5s或4.5s,故④错误；

故选D

3.某超市销售某款商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为＞=-/+iox+i25,则

销售这款商品每天的最大利润为()

A.125元B.150元C.175元D.200元

【答案】B

【解答】解：-/+iox+125=-(x-5)2+150,且开口向下，

...当x=5时，y有最大值，最大值＞=150,

销售这款商品每天的最大利润为150元.

故选：B.

4.向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度y的关系式为y=a/+6x+c(aNO),若

此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是()

A.第8秒B.第9秒C.第10秒D.第11秒

【答案】C

【解答】解：：此炮弹在第6与第14秒时的高度相等，

.♦.抛物线的对称轴是直线》=也支=10,

2

炮弹所在高度最高是10秒，

故选：C.

5.某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每

提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为()

A.y=x(100-x)B.y=x(100-6x)

C.y=(100-x)(15+x)D.y=(100-6x)(15+x)

高考复习材料

【答案】D

【解答】解：根据题意得，y=（100-6x）（15+x）,

故选：D.

6.飞机着陆后滑行的距离s（单位：加）与滑行的时间，（单位：s）的函数解析式是s=-1.5P+603那么

飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）

A.10sB.20sC.30sD.40s

【答案】B

【解答】解：-1.5<0,

.•.函数有最大值，

当t=-2=---------K------=20（秒），

2a2X（1.5）

即飞机着陆后滑行20秒能停下来，

故选：B.

7.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-02x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与

篮圈底的距离/是（）

【答案】C

【解答】解：如图,

把C点纵坐标y=3.05代入y=0.2x2+3.5中得:

x=±1.5（舍去负值），

高考复习材料

即02=1.5,

所以/=48=2.5+1.5=4.

故选：C.

填空题(共3小题)

8.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60加长的篱笆围成中间有一道篱笆的

养鸡场，设养鸡场的长为xw,当x=30加时,养鸡场的面积最大.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

设养鸡场的长为X”，则宽为处工打，设养鸡场的面积为S,

3

根据题意可得S=x(60-x.)=_AX2+20X=-—(x-30)2+300,

333

-A<o,

3

抛物线开口向下，

...当x=30时，S有最大值，

即当尤=30加时，养鸡场的面积最大，

故答案为：30.

9.东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的

零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价5元.

【答案】5.

【解答】解：设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为忆由题意，得

W=(100-70-x)(20+x),

W=-X2+10X+600,

W=-(x-5)2+625,

"：a=-l<0,

当尤=5时，平最大=625.

故答案为：5.

10.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高。〃为14的奖杯，杯体轴截面N8C是

抛物线+5的一部分，则杯口的口径/C为9.

高考复习材料

【解答】解：为14,

.•.令14=AX2+5,

9

解得x=±9,

2

：.A(-旦,14),C(9,14),

22

：.AC=^--(-9)=9,

22

故答案为：9.

三.解答题(共4小题)

11.如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米.

(1)若矩形/BCD的面积为96平方米，求矩形的边N3的长.

(2)要想使花圃的面积最大，N8边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？

AD

花圃

Bc

【答案】⑴12米；

(2)48边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米.

【解答】解：(1)设为x米，贝ij5C=(32-2x)米，

由题意得：x(32-2x)=96,

解得：肛=4,工2=12,

,・,墙长为14米，32米的篱笆，

.*.32-2x^14,2x<32,

・・x=12,

高考复习材料

.•.42=12,

答：矩形的边的长为12米；

(2)设为x米，矩形的面积为了平方米，则5C=(32-2x)米，

.\y=x(32-2x)=-2X2+32X=-2(x-8)2+128,

•；9Wx<16,且-2<0,故抛物线开口向下，

.•.当x=9时，y有最大值是126,

答：N2边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米.

12.综合与实践

问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁

水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一.桥拱截面OA4可以看作抛物线

的一部分(如图2),在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点8到水面的距离为4米.

模型建立：

(1)如图2,以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线

的解析式.

问题解决：

(2)求在距离水面2米处桥拱宽度.

(3)现有两宽为4米，高3米(带货物)的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从

桥下穿过，并说明理由.

2;

【答案】⑴y=-^(x-10)+4(0<x<20)

(2)在距离水面2米处桥拱宽度为1CK旧米；

(3)两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析.

【解答】解：(1)由题意得，点。和点/的坐标分别为(0,0)和(20,0),

•••2为函数顶点,

：.B(10,4),

设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,

•.•顶点8(10,4),

'•y—a(x-10)2+4,

再将O(0,0)代入解析式可得，a(0-10)2+4=0,

高考复习材料

抛物线的解析式为y=4(x-10)2+4(0<x420)；

(2)由题意得，令y=2可得，——(x-10)2+4=2f

25

解得X[=10+5&,x2=10-572;

桥拱宽度为：10+5加-(10-5&)=10我(米)

(3)两小舟能