2024年高考数学一轮复习：函数的图像 函数的零点（八大题型）（解析版）

01题型归纳

目录：

♦题型01画函数的变换图像

♦题型02识别函数的图像

♦题型03函数图像变换的应用

♦题型04求函数的零点及个数

♦题型05二分法求函数的零点

♦题型06根据函数的零点求参数

♦题型07函数零点的其他应用

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

♦题型01画函数的变换图像

［版目口（2024高三・全国・专题练习）作出下列函数的图象:

园

/\力+2

（2o）y=ur；

（3）y=|log2z-l|；

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）去绝对值化简成分段函数，画出图象即可.

（2）原式变形为9=1+-^―，先作出？/=且的图象，再结合图象变换，即可得出结论.

X—1X

⑶先作出g=log2a;的图象，结合图象变换，即可得出结论.

（力22Q

［解析】（1）首先要化简解析式，V=；

［―T,a?>0

利用二次函数的图象作出其图象,如图①所示.

/

・.尸.J

/

.BBl

/.）L

I

（2）原式变形为夕=1+先作出沙=&的图象,再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位,

X—1X

即得如图②所示.

（3）先作出夕=log2a;的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留，轴上方的部分，将，轴下方的图象翻折

到c轴上方来，即得y=|log22-1|的图象，如图③所示.

【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档题.

♦题型02识别函数的图像

题目囱（2023•湖南岳阳•模拟预测）函数夕的图象为（）

【答案】。

【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.

【解析】因为夕=不上一，所以当。=0时，«=7》一=2,故排除ABC,

又夕==———的图象可由函数y=--的图象向右平移一个单位得到，则D正确.

1—XX—1X

故选：D

［题目区（2024.湖北.模拟预测）函数/㈤=e"—e'ln/的图象大致为（）

MS

【答案】A

[分析】根据cV0时/（,）的单调性可排除3C;再由奇偶性可排除D.

r翩』、xi}2jeJe"-21n（—①），，＜0

【解析】/（2）=e—e—111/=41,

[e'—e"一21ngre＞0

因为当力VO时，g=e=g=—e",g=—21n（—力）都为增函数，

所以，j二^一1—2111（—力）在（-oo,0）上单调递增，故石，。错误；

又因为/（—力）=e~x—e，一ln/w—/（6）,

所以于⑸不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A

〔题目④（2024.宁夏固原.一模）己知函数/⑺的部分图像如图所示，则/⑸的解析式可能为（

4+尸

c./(n)=

4㈤一3

【答案】A

【分析】利用/（①）在（1,+8）上的值排除B,利用奇偶性排除排除。，利用f（x）在（1,+8）上的单调性排除

。，从而得解.

【解析】对于B,当，＞1时，/（*）=f-e"，易知e"—e-0＞O,3—4，＜0,

则/（切V0,不满足图象，故B错误;

对于°/⑶=疗》定义域为（—00「今）u（44）呜，+8），

又于（一X）=——芈一=e1+e-=于（X），则/（名）的图象关于g轴对称，故。错误；

4：\—x\—34⑶一3•••

]

对于。，当力>1时，/（6）=1+

X—1

由反比例函数的性质可知，/（力）在（1,+8）上单调递减，故。错误;

检验选项A,f（x）=e：；e工满足图中性质，故人正确.

4团一3

故选：4

♦题型03函数图像变换的应用

［题目回（2024.四川南充.二模）已知函数/（,）=：,则函数夕=/（2—1）+1的图象（）

A.关于点（1,1）对称B.关于点（-1,1）对称

C.关于点（-1,0）对称D.关于点（1,0）对称

【答案】A

【分析】

首先判断函数/（①）=且为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.

X

【解析】函数/（6）=—的定义域为{x\x丰0},又/（—力）1-=—/（x）,

所以/（N）=—为奇函数，则函数/（N）的图象关于原点（0,0）对称，

X

又力一1）+1的图象是由/（力）=旦的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到,

x

所以函数1y=+1的图象关于点（1,1）对称.

故选：4

「题目回（22-23高二上•河南•阶段练习）直线2ax+by—2=0（Q>0,6>0）过函数/（6）=/++1图

象的对称中心，则上+告的最小值为（）

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】4

【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得了（冗）的对称中心，从而得到Q+6=1,再利用基本不等式

“1”的妙用即可得解.

【解析】函数/（力）=x-\------+l=x—H--------^―-+2的图象，

x—1x—1

可由^=力+工的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到，

x

又^=力+’的定义域为（一8,0）U（0,+oO）,—x-\----L=—（/+1）,

所以g=力+工是奇函数，则其对称中心为（0,0）,

x

故于（x）的对称中心为（1,2）,所以2a+2b—2=0,即a+b=1,

所以»（a+b）O"=5+邛+怖>5+2用%=9，

当且仅当四=3，即a=2b=^■时，等号成立，

ab6

所以国+《的最小值为9.

ab

故选：A.

［直目⑦（2022高三・全国・专题练习）已知二次函数/（⑼的图象的顶点坐标是（2,2）,且截2轴所得线段的■长度

是4,将函数/(⑼的图象向右平移2个单位长度,得到抛物线y=g⑸,则抛物线y=g{x)与y轴的交点是

()

A.(0,—8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得了(2)，再利用平移的特征求得江⑼，从而得解.

【解析】因为二次函数/(①)的图象的顶点为(2,2),

故于⑸的对称轴为直线,=2,

又/(2)的图象截2轴所得线段的长度是4,

所以/(a;)的图象与立轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),

设/(①)=a(x—2)2+2(a丰0)，将点(0,0)代入得a(—2)2+2=0,解得a=—.

所以/⑸=—「(/—2>+2,

因为g(力)的图象为/(力)的图象右移2个单位得到的，

所以g(宓)=/(6-2)=——2—2)2+2=—^-(x—4)2+2,

令7=0,则g=g(0)=―^-(0—4)2+2=—6,

所以。(力)与U轴交点生标为(0,-6).

故选：

「题目0(23-24高一上•河南南阳•期末)已知函数/(①)的定义域为(1,+s),且满足*3'+1)=c,cCR,将

/(,)的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(,)的图象.

(1)分别求/(力)与g(C)的解析式；

(2)设函数无(劣)=［g(力)F+mg(/2),若九(/)在区间［1,V3］上有零点,求实数m的取值范围.

【答案】⑴/(劣)=log3(x-1)Q>1),g{x}=log36+1(优>0)

【分析】(1)利用换元法求得了(力)的解析式，根据图象变换的知识求得gQ)的解析式.

(2)先求得无Q)的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的性质

求得7n的取值范围.

【解析】(1)令3。+1=力，力ER,贝U力£(l,+oo),x—log3(t—1),

所以/(力)=log3(t-l)，则/(力)=1。83(力-1)(力>1).

由题意可得，g(x)=于3+1)+1=log3(/+1—1)+1=log3rc+l(a?>0).

222

(2)无(/)=(log3T+l)+m(log33；+l)=(log3rc+l)+m(21og3x+1).

令h=log3力，当力6［1,，^］时，"e［o,y］,

函数h{x)有零点等价于关于n的方程(九+l)2+m(2n+1)=0在［。，］］上有解.

令2n+l="，则“C［1,2］,n—UJ,

由双勾函数的单调性可知，

函数m=—~W1Z+—+2)在［1,2］上单调递减,•••

当〃=2时，该函数取得最小值，即7nmin=-7X（2+4■+2）=―

当〃=1时，该函数取得最大值，即mmax=—/X（1+:+2）=—1,

因此，实数772的取值范围为I"―11.

【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可转

化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题来进

行求解.

♦题型04求函数的零点及个数

题目回（2023高三・全国・专题练习）已知指数函数为/Q）=4）则函数9=/（,）—2"+i的零点为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】。

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【解析】函数/（⑼=4",由f（x）-2计1=0,即4x-2x+1=0,整理得2'（2°—2）=0,解得2=1,

所以函数y=f（①）—2计1的零点为1.

故选：C

题目叵]（2023•陕西西安・模拟预测）函数/Q）=l—lg（3，+2）的零点为（）

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根据零点的定义即可求解.

【解析】令/（。）=1-lg（3%2）=0,得3'+2=10,则工=log38.

故选：A

题目⑪（2024高三.全国.专题练习）函数/（,）=22+2—2的零点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：/（2）=2,In2+1>0,所以f（x）在R上单调递增，/（0）=-1,/（1）=1,故函数的零点个数为1.故选

B.

题目3（2019高三.山东.学业考试）函数/（,）=卜2,气:零点个数为（）

[—1+Inx,a;>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据零点的定义计算即可.

【解析】由/（力）=0得：

或（x>0,

[x2-\-x—2=051―1+Ina;=0,

解得x=—2或/=e.

因此函数/（力）共有2个零点.

故选：

[题目（2024•广东湛江.二模）已知函数/（劣）=\2X—1\—a,g（力）=/—4团+2—G,则（）

•••

A.当g⑸有2个零点时,f(x)只有1个零点B,当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点

C.当/(2)有2个零点时，以①)有2个零点D.当/(乃有2个零点时，g(c)有4个零点

【答案】。

【分析】作出函数y—|2'—1|,y—a:2—4|rc|+2图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与“=<1的图象的

公共点的个数，结合图象可得答案.

【解析】两个函数的零点个数转化为图象与g=a的图象的公共点的个数，

作出y=|作—1|,y=/—4国+2的大致图象，如图所示.

由图可知，当g(rc)有2个零点时，/(①)无零点或只有1个零点；

当g(z)有3个零点时,/(切只有1个零点;

当了(2)有2个零点时，g(c)有4个零点.

故选：D

［题目QT］(2024.全国.模拟预测)函数/⑺=2sin(2a:+W)〈W〈三)的图像关于点传,0)中心对称，将

函数/(力)的图像向右平移于个单位长度得到函数9(2)的图像，则函数g(2)在区间［—兀，兀］内的零点个数

O

为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

［分析］正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换

【解析】；函数f(工)的图像关于点传,0)中心对称，."((■)=2sin(二+。)=0,1+<p=kit,kEZ,

又一彳<R=告，则f(x)=2sin(2c+y).

将函数/(c)的图像向右平移y个单位长度得到函数gQ)=2sin(2①—年)的图像,

令2c—J=k兀,keZ,得①=5+塔,kCZ,函数g(rr)在区间［―7t,7t］内的零点有x=—^-,x=—^-,x=

3b2o3

兀答，共4个.

~Q，X~

故选：D.

♦题型05二分法求函数的零点

题目口引(2023高三・全国・专题练习)用二分法求函数/(C)=ln(c+1)+。一1在区间(0,1)上的零点,要求精

确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】。

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过九(九eN*)次操作后,区

间长度变为」-，若要求精确度为0.01时则」-V0.01,解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

2n2n

【解析】因为开区间(0,1)的长度等于1,每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，•••

所以经过九(neN*)次操作后，区间长度变为表,

令去<0.01,解得九>7,且九CN*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

:题目'(2019高三・全国・专题练习)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是

【答案】。

【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案.

【解析】根据二分法的思想，函数/(⑼在区间［a,6］上的图象连续不断，且/(a)仔(b)<0,即函数的零点是变

号零点，才能将区间(a,6)一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各选项的函数图象分析可知,A,B,D都符合条件，

而选项。不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点.

故选：C.

♦题型06根据函数的零点求参数

题1包(23-24高三上.浙江绍兴.期末)已知命题p：函数/Q)=2X3+X-a在(1,2］内有零点，则命题p成

立的一个必要不充分条件是()

A.3Wa<18B.3<a<18C.a<18D.a)3

【答案】。

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出a的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断

即得.

【解析】函数/(①)=2X3+X—a在H上单调递增,由函数f(x)=2X3+X—a在(1,2］内有零点，

得［照］:「。可c，解得3<a418,即命题p成立的充要条件是3<a418,

—lo—aNU

显然3<a418成立，不等式3Wa<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式a>3恒成立，反之，当a>3时，3<aW18不一定成立，

所以命题p成立的一■个必要不充分条件是a>3.

故选：D

题目包(2023高三•全国・专题练习)函数/(①)=2•2。—•一2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围

是.

【答案】(0,3)

MS

【分析】根据题意将问题转化为夕=k与g(c)=2-2,/£(1,2)的图象有交点，再由g(,)在(1,2)上递增，可

X

求得结果.

【解析】令/(2)=0,则，•2x—kx—2=0,即k=2"—―,

x

即y=A;与g(x)=2。——,xE(1,2)的图象有交点,

x

因为y=2①和y=—―在(1,2)上递增，所以g{x)=2X—―在(1⑵上递增，

xx

所以g(l)<g(x)<g(2)，即0Vg(x)<3,

所以0Vk<3,

即实数k的取值范围是(0,3),

故答案为：(0,3)

x

［题目正(22-23高三・全国•课后作业)已知函数/⑸=20-3--x的零点x0E(k,k+1),%eZ,则k=

【答案】2

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.

【解析】因为函数9=3一”为R上单调减函数，

故函数/(。)=20・3i一名为R上单调减函数，

又/⑵=20-3--2=罟-2=看>0,〃3)=20-3-3-3=1^—3<0,

故/(2)=20•3~x-x在⑵3)上有唯一零点，

结合题意可知k=2,

故答案为：2

蜃目冈(22-23高三.全国・对口高考)方程x2+ax-2=0在区间［1,5］上有解，则实数a的取值范围为

【答案】［—m,1］

【分析】根据/(乃=x2+ax-2在区间［1,5］端点的正负列式求解即可.

【解析】考查/(2)=x2+ax-2,因为f(0)=—2<0,且/(2)开口向上,

故/(①)在区间［1,5］上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程/+/1；-2=()在区间［1,5］上有

解，

则y⑴即(俨+a—2W0解得ae［—至1］

故答案为：［—学,1］

1题目区(2024.全国.模拟预测)若不等式/(①)>0或<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式.

2

已知不等式a(X+l)-|log2s|+1>0为单元集不等式,则实数a的取值范围是.

【答案】(-！，o］

2

【分析】不等式转化为Ilog22：I<a(x+1)+1,引入函数/(①)=|log2a；|,g(x)=a(x+l/+l,分类讨论作出函

数图象，利用数形结合思想求解.

【解析】根据题意可转化为满足Uog22VaQ+iy+l的整数C的个数为1.

2

令/(c)=|log2x|,ff(x)=a(x+1)+1,

当a>0时，作出函数f(工)=|log2a;|和g(rr)=a［x+1)—1的图象，如图所示,

MS

数形结合得，/(2)<g(c)的解集中整数的个数有无数多个,不符合题意；

当a=0时，。(2)=1,所以|log22；|<1,解得<,<2,只有一个整数解2=1,

所以a=0符合题意；

当a<0时，作出函数<(6)=|log2rc|和g(rc)=a(x+1)—1的图象，如图所示,

<7(1)>0

要使Ilogccl<a(x+1y+1的整数解只有一个，只需满足

2/⑵>9⑵'

4a+1>0

即，结合a<0可得—<a,<0.

1>9a+1

综上所述，实数a的取值范围是

故答案为：(—.

【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法:

(1)转化为函数最值问题，利用导数解决；

(2)转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题;

(3)参变分离法，结合函数最值或范围解决.

♦题型07函数零点的其他应用

题目区(23-24高三上.山东威海.期末)已知函数夕=/(力)的图象是连续不断的，且/Q)的两个相邻的零点

是1,2,则“布()6(1,2),/(g)>0”是，,6(1,2),/3)>0”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】。

【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断方法求解即可.

【解析】解：由题意知，/⑴=f(2)=0,对任意cC(l,2),f(x)L0,

而函数y=f(x)的图象是连续不断的，

由3x0E(1,2),f(xo)>0,可得V工C(1,2),/(re)>0,充分性成立,

反之(1,2),/3)>0,显然可推出3xoe(1,2),/(割)>0,必要性成立,

故"3Xoe(1,2),/(g)>0”是“V工G(1,2),/(x)>0”的充要条件，

故选：C

题目叵(2020•江西赣州•模拟预测)设函数/(C)=ex+a(x—1)+6在区间［0,1］上存在零点，则a2+b2的最小

值为()

MS

A.eC.7D.3e

【答案】B

【分析】设t为/(①)在［0,1］上的零点，可得e*+a(t—1)+b=0,转化为点(a,b)在直线(t—l)z+y+e<=0

2t2t

上，根据a2+/的几何意义，可得(e+b2^—%—，令g(t)=—J—，利用导数求得函数的单调性和最

”1)2+1(i-l)2+l

值，即可得答案.

【解析】设t为f(x)在［0,1］上的零点，则e*+a(t—l')+b=0,

所以(力-l)a+b+e'=0,即点(a,b)在直线(t—l)x+y+e*=0,

又a2+b2表示点(a,b)到原点距离的平方，

则>:的，，即a2+b2>,e，

V(t-1)2+1”1)2+1

人(4e2t可用"八2e?"+2—2t)—e气2力—2)2e2t(i2-3i+3)

令§⑴=不诃，可仔g⑴=------kr--------=(「+2—2人

因为e2‘>0,F—3t+3>0,

所以g(t)>0,

可得5(t)在［0,1］上为单调递增函数，

所以当t=0是，g(t)min=g(0)=4，

所以a2+b2^,即a2+b2的最小值为

故选:B

【点睛】解题的关键是根据a?+b2的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解,

分析、计算难度大，属难题.

■^乜^)(2023•湖北武汉•模拟预测)已知g是函数/(①)=+Inc的一个零点，若gC(l,g),gC

(以+8),则()

A./⑹<0,/(®2)<0B./⑶)>0,y(a；2)>0

c.y(Si)>0,/(x2)<0D./(Z1)<0,/(g)>0

【答案】O

［分析］利用数形结合判定函数值大小即可.

【解析】令/(①)=---FInc=0.从而有Inrc=一二■,此方程的解即为函数/(①)的零点.

1—XX—1

在同一坐标系中作出函数g=Inx与y=—^―-的图象，如图所示.

x—1

由图象易知，一>Ing,从而Inxi---V0,故lng+7」—V0,即/(g)<0.

Xi—1力1—Xi

同理/(电)>0.

故选：。

•••

遮目,(23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)已知三个函数/(,)=x3+x-3,g(c)=22x+x-2,

无(劣)=ln/+力一5的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】。

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.

【解析】因为y=砂,g=在R上为增函数，g=ln力在(0,+8)上为增函数，

所以由题知函数/(力),gQ),九(力)在各自定义域上都为增函数，又/(I)=-1<0,/(2)=7>0,Aa6

(L2);g(0)=—lVO,g⑴=3>0,・・・be(0,1);

hz(3)=ln3—2<0,/z(4)=ln4—1>0,/.cE(3,4),

c>a>fe.

故选：D

lip'll_Q0V/V3

'、（其中aCA）,若

{|lg（6—x）\—a,3<x<6

4

/Q）的四个零点从小到大依次为ah,g,，4,则汇心的值是（）

i=l

A.16B.13C.12D.10

【答案】。

【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.

Ilg^L0Vn43

【解析】令/(力)=0na=

|lg（63V比V6'

所以有0Va?i<1<62V3<gV5<力4V6,

且Tg劣尸lgT2=-lg（6-g）=lg（6—弱）=Q,

-aa-aa

因此可得力i=10,x2=10,g=6—10,64=6—10,

4

所以Zxt=10-a+10a+6-10-a+6-l（r=12,

i=l••

故选：c

♦题型08补函数的应用(一)：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

【题目包(2024.宁夏吴忠.模拟预测)从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油

量Q(单位：L)与速度”(单位：km/h)(0WnW120)的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是()

32

A.Q=0.5"+aB.Q—av+bC.Q—av+bv+cvD.Q—klogav+b

【答案】。

【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.

【解析】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为［0,120］;第二，在定义域单调递增且单位增长率

变快；第三，函数图象过原点.

入选项：函数Q=0.5”+a在定义域内单调递减，故A错误；

B选项：函数Q=an+b的单位增长率恒定不变，故3错误；

C选项：Q=av3+bv2+cv满足上述三点，故。正确；

。选项:函数Q=klogav+6在”=0处无意义，。错误.

故选：C

以

孙

纺

6

12F

8F

2F

~020406080160120140160*

［题目药(23-24高三上•福建泉州•期末)函数/(,)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如()

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A./⑸=kcb+bB.f(x)=kxex+bC.—k\x\+bD.f(x)—k{x—l)2+6

【答案】A

【分析】由函数/(c)的数据即可得出答案.

【解析】由函数/(⑼的数据可知，函数/(—2)=/(2)J(-l)=/(1),

偶函数满足此性质，可排除B,。；

当a;>0时，由函数/(①)的数据可知，函数/(c)增长越来越快，可排除C.

故选：A.

邀目亘(23-24高三上.黑龙江哈尔滨.阶段练习)小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列

一组数据：

M月份23456

「元

1.402.565.311121.30••

请从模型9=/,模型沙=g中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为

O

（）（参考数据：近3-0.477,lg2也0.301）

A.8B.9C.10D.11

【答案】。

【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出自

变量的范围.

【解析】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数沙=/及9=3"的图象.

O

如图：

Ay/元T

21.31------------------------“丁

1

一

-上

32-

5Z.-X

L十-

-飞

.457

份

_15_月

观察发现，这些点基本上是落在函数沙二卷图象上或附近，因此用g=4■这一函数模型.

OO

当与>300时，2X>900，则有c>log900=年孚=产“9.814.

-22”

3lg2lg2

由14力412且/GN,力最小值为10.

故选：C.

【题目M（2024.北京朝阳・二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式/=}pCSd,其中0

是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，。是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率。=加.当p,S不变，n比原来提

高10%时，下列说法正确的是（）

A.若。不变，则P比原来提高不超过30%B.若。不变，则P比原来提高超过40%

C.为使P不变，则。比原来降低不超过30%D.为使P不变，则。比原来降低超过40%

【答案】。

【分析】由题意可得P=^rpCSv3,C=NJ,结合选项，依次判断即可.

2pSv

【解析】由题意，/=^-pCSv2,P=加，所以P=^-pCSv3,C=，

22pSv

A:当p,S,。不变，&比原来提高10%时，

则P尸JpCS（l+10%）V=}pCS（Ll）3"=1.33-^-pCSv3,

所以P比原来提高超过30%,故A错误；

B:由选项A的分析知，吕=1.33--^-pCSv3,

所以P比原来提高不超过40%,故B错误；•••

。：当p,s,P不变，。比原来提高10%时，。1=—落工=—=0.75•工^,

3

l23pSdL33pSdpSv

所以。比原来降低不超过30%,故。正确；

。：由选项。的分析知，。比原来降低不超过30%,故。错误.

故选：C

金目包(2024.全国.模拟预测)2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大

任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道

半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：ln2也

0.693,e0-462^1.587)()

A.1.587B.1.442C.0.587D.0.442()

【答案】。

【分析】利用指数和对数的运算求解即可.

【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，

设72=k收,

当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为

则(27)2=后密,

两式相比得：4=(黑)3,即ln4=ln(等)：］n去=^0.462,

故磐462vl.587,

故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587—1=0.587.

故选：C.

〔题目|32)(23-24高三下•陕西•阶段练习)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合：Q(t)=悬■(其

中e为自然对eg2.71828…)，给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是()

A.该生物群的数量不超过10

B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小

C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比

D.该生物群的数量的增长速度最大的时间古代(2,3)

【答案】。

【分析】对解析式上下同时除以e‘,结合反比例函数模型可判断4正确；对Q(t)=，求导，Q'⑴即为该

生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断。错，BD正确

【解析】因为ei>0,。⑴=芈£=10x-f-<10,故该生物种群的数量不会超过10,故4正确；

CIe/tzItz

由QU)=芈二求导得Q'U)=,90e'=—，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成

e*+9©+9)21+18+9

正比，故。错误；

因为e'+&^为对勾函数模型，故6*+—y->2Je*x=18,

当且仅当e'=9,即力=ln9时取至1等号，

当力£(0,ln9)时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当tE(ln9,+oo)时生物群的数量的增长速

度随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；•••

且当t0=ln9e（2,3）时,QU）最大，故BD正确.

故选：C.

［版目叵（23-24高三下•甘肃•阶段练习）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发

生里氏6.2级地震,震源深度10公里.面对突发灾情,社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中

华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关.震级是以地震仪测定的每次地震活动释放

的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准,是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级.能量E与里

氏震级的对应关系为lgE=4.8+L5M,试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

【答案】C

【分析】借助能量E与里氏震级M■的对应关系计算即可得.

【解析】由lgE=4.8+L5朋'，设炮打=4.8+1.5（凶+2）,

则lgE0-lgE=4.8+1.5(Af+2)-4.8-1.5M=3,

即lg£=3,单=1()3=1000.

h/

故选：c.

国（2024.江苏.一模）德国天文学家约翰尼斯・开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观测资料和

星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律--绕以太阳为焦

点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T=二篆•/,其中

4GM

M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为

水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.

【解析】设火星的公转周期为Z,长半轴长为a”火星的公转周期为外，长半轴长为a2,

3.

2兀

3=4GM

则，3=87,且/②

2兀

Ti—4GM

鱼得：岂出